2020北京各区中考一模分类汇编-10几何压轴（答案含解析）

专题10几何压轴

一.解答题（共15小题）

1.（2020•丰台区一模）已知403=120。，点P为射线0A上一动点（不与点。重合），点C为Z4OB内部

一点，连接CP,将线段“绕点C顺时针旋转60。得到线段CQ,且点。恰好落在射线OB上，不与点。重

合.

（1）依据题意补全图1;

（2）用等式表示NCPO与NC。。的数量关系，并证明；

（3）连接OC,写出一个OC的值，使得对于任意点P,总有OP+OQ=4,并证明.

【分析】（1）根据题意补全图形即可；

（2）根据四边形内角和为360。可得答案；

（3）连接OC,在射线。4上取点D,使得DP=OQ,连接CD,首先证明ACOQ=ACDP,然后△COZ）为

等边三角形，进而可得答案.

【解答】解：（1）补图如图1:

（2）NCQO+NCPO=180°,

理由如下：；四边形内角和360。，

且ZAOB=120。，NPCQ=60°,

ZCQO+ZCPO=Zl+Z2=180°.

(3)OC=4时，对于任意点?，总有OP+OQ=4.

证明：连接OC,在射线上取点。，使得。尸=OQ,连接

OP+OQ=OP+DP=OD.

­.Zl+Z2=180°,

•/Z2+Z3=180°,

/.Z1=Z3.

CP=CQ,

在ACQO和bCPD中

CP=CQ

<ZX—N3，

QO=DP

:△COQwbCDP(SAS).

.•.N4=N6,OC=CD.

Z4+Z5=60°,

/.Z5+Z6=60°.

即ZOCD=60°.

\COD是等边三角形.

.•.OC=OD=OP+OQ=4.

B

0PDA

2.(2020•燕山一模)AA8C中，ZACB=90°,AC=BC=42,M为8c边上的一个动点(不与点B,C重

合)，连接AM,以点A为中心，将线段AM逆时针旋转135。，得到线段AN,连接8N.

CMB

由，备用图

(1)依题意补全图1;

(2)求证：4BAN=NAMB；

(3)点P在线段BC的延长线上，点M关于点P的对称点为。，写出一个PC的值，使得对于任意的点M,

息有AQ=BN,并证明.

【分析】(1)根据题意作出图形便可;

(2)先证明NABC=45。，再由三角形内角和求得N/WB与NBA"的数量关系，再利用角的和差也可求得

NB/W与NB/W的关系，进而得结论;

(3)不妨设PC的值为1(也可为其他值).任取满足条件的点M，作点M关于点C的对称点M',连接AM',

证明△AM'。三AAA®,便可得结论.

【解答】解：(1)根据题意，补全图形，如图1,

CM

图1

(2)zS4CB=90°,AC=BC,

/.ZABM=45°.

ZMAB+ZABM+ZAMB=180°,

.・.ZAMB=135°-ZMAB.

又・ZAWV=135°,

:.ZBAN=}350-ZMAB,

・•.ZBAN=ZAMB；

(3)不妨设PC的值为1.

ZACB=90°,AC=BC=叵,

:.AB=2.

如图2,任取满足条件的点M,作点用关于点。的对称点M',连接AAT,

.\AMr=AM=AN,MM'=2CM,

:.AAM'C=AAMC,

ZAM'Q=ZAMB=乙BAN.

;点M关于点P的对称点为Q,

:.MQ=2MP,

M'Q=MQ-MM'=2MP-2MC=2PC=2,

:.M'Q=AB,

:./\AM'Q=^ANB,

AQ=BN.

3.（2020嗨淀区一模）已知NMON=a,A为射线0M上一定点，OA=5,B为射线ON上一动点，连接

AB,满足NOAB,NO3A均为锐角.点C在线段08上（与点。，8不重合），满足AC=A3,点C关于

直线OM的对称点为D,连接AD,OD.

（1）依题意补全图1;

（2）求NBA。的度数（用含a的代数式表示）；

a

（3）若tana=±,点P在OA的延长线上，满足AP=OC,连接8P,写出一个A8的值，使得BP//OD,

4

并证明.

图1备用图

【分析】（1）根据要求画出图形即可.

（2）首先证明NO+ZA3O=180。，再利用四边形内角和定理解决问题即可.

（3）假设P3//OD,求出A6的值即可.

【解答】解：（1）图形，如图所示.

图1

(2)C,。关于AO对称，

「.AAOD3AAOC,

：.ZD=ZACO,ZAOD=ZAOC=a,

AC=AB,

ZACB=ZABC,

ZACO+ZACB=180°,

/.ZD+ZABC=180°,

・•.ZDAB+ZDOB=\SO0,

NDOB=2a,

/.ZZMB=180°-2a.

（3）如图2中，不妨设O//PB.作A〃JL8C于H,于J.

图2

3

在RtAAOH中，(24=5,tanZAOH=-,

4

.•.AH=3,OH=4,设CH=BH=x,则8C=2x,

OD//BP,

/.NDOA=NOPB,

ZDOA=ZAOB,

/.ZAOB=NOPB、

PB=OB=4+x,

BJ.LOP,OP=OA+AP=5+4-x=9-x,

.-.OJ=JP=^(9-x),

cosZAOH=

4_5(9-X)

54+x

解得x=l.

BH=L

：.AB=yjAH2+BH2=,3?+『=而.

4.（2020•平谷区一模）AABC中，AB=BC,ZABC=90°,将线段AB绕点A逆时针旋转a（0。<a<90。）得

到线段40.作射线B。，点C关于射线80的对称点为点E.连接AE,CE.

(1)依题意补全图形;

(2)若a=20。，直接写出NAEC的度数;

(3)写出一个a的值，使AE=75时，线段CE的长为6-1,并证明.

【分析】(1)作CF_LB£＞并延长CF到E使EF=CF,如图1,

(2)连结8E,如图2,利用对称的性质得8E=8C,则BC=8E=8A,则根据等腰三角形的性质得出

NBCE=NBEC,NBAE=NBEA,由四边形的内角和可计算!11

ZBCE+ZBEC+ZBAE+ZBEA+ZABC=360°，进而得至U2(ZB£C+ZBEA)=270°,即可证得

NBEC+NBEA=135°,即4EC=135°；

(3)如图2,先证明AAGE为等腰直角三角形，则AG=G£=1,当a=30。时，则NEBC=30。，进而求得

ZACG=30°,解直角三.角形求得CG=y/3,即可证得CE=CG-EG=拒-I.

【解答】解：(1)如图1,

(2)ZAEC=135°,

证明：过A作AG_LCE于G.连接AC、BE,如图2,

由题意，BC=BE=BA,

ZBCE=ZBEC,NBAE=NBEA,

ZBCE+ZBEC+ZBAE+4BEA+ZABC=360°

.ZABC=90。，

/.2(NBEC+NBEA)=270°,

ZBEC+ZBEA=]35°,即ZAEC=135。，

(3)a=30°,

证明：ZAFC=135°,

.,.ZAEG=45。，

•.AE=立,

AG=GE=\,

当a=30。时，

Z£BC=30°,

BC=BE,

.-.ZBCG=75°,

ZBC4=45°,

:.ZACG=30°,

：.CG=6

C£=>/3-l.

5.（2020•顺义区一模）已知，如图，A48C是等边三角形.

（1）如图1,将线段AC绕点A逆时针旋转90°,得到AD,连接2。，ABAC的平分线交BD于点E,连

接CE.

①求ZAED的度数；

②用等式表示线段AE、CE、之间的数量关系（直接写出结果）.

（2）如图2,将线段AC绕点A顺时针旋转90。，得到AO,连接8。，N8AC的平分线交QB的延长线于

点E,连接CE.

①依题意补全图2；

②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明.

【分析】（1）①证明NAE£>=NO=15。，N54E=30。，再利用三角形的外角的性质即可解决问题.

②结论：BD=2CE+应AE.作CKd.BC交BD于-K,连接CO.证明BE=EK,OK=0AE即可解决问

题.

（2）①根据要求画出图形即可.

②结论：BD=叵AE-2CE.过点A作AF_LAE,交的延长线于点尸（如图3）,利用全等三角形的性

质以及等腰直角三角形的性质解决问题即可.

【解答】（1）解：①如图1中，

AABC是等边二角形,

AB=AC,ABAC=60'

AE平分NBAC,

ZBAE=-ZBAC=30°,

2

由旋转可知：AD=AC,ZC4£>=90°.

AB=AD,NBA。=150°,

:.ZABD=ZD=15°,

ZAED=ZABD+NBAE=45°.

②结论：BD=2CE+丘AE.

理山：作CKJ_3C交8。于K,连接8.

AB=AC,NBAE=NCAE,AE=AE.

AAEB=MEC(SAS),

:.BE=EC，ZAEB=ZAEC=]35°f

・•.ZBEC=90°,

/.NEBC=NECB=45。,

/BCK=90。，

/.NCKB=NCBE=45。,

:・CB=CE,

CEA.BK,

..BE=EK,

ZADC=45°,ZADB=150,

・•.ZCDK=ZCAE=30°,

NCKD=NAEC=135。,

.MDKsbCAE、

坐旦s

AEAC

;.DK=&AE,

:.BD=BK+DK=2BE+尬AE.

(2)解：①图形如图2所示:

E

图2

②结论：BD=&AE-2CE.

理由：过点A作A尸交EO的延长线于点尸(如图3).

AABC是等边二角形，

AB=AC,ABAC=60°,

AE平分N84C,

N1」NBAC=3O°,

2

由旋转可知：AD=AC,NC4D=90。，

:.AB=AD.Z2=ZCAD-ABAC=30°,

/.Z3=Z4=75°,

.・.N5=N4—Nl=45。，

AF.LAE,

ZF=45°=Z5,

・•.AF=AE,

.,.EF=6AE,

・.・Z6=ZEAF-Zl-Z2=30°,

/.Z6=Zl=30°,

又-ZF=Z5=45°,AD=AB,

.\AADF=^ABE(SAS),

：.DF=BE,

AB=AC,AE平分"AC,

/.AE垂直平分BC,

/.CE=BE，

BD=EF—DF—BE,

:.BD=>/2AE-2CE.

6.(2020•东城区一模)如图，在正方形A88中，AB=3,仞是CO边上一动点(不与。点重合)，点。

与点E关于AM所在的直线对称，连接4E,ME,延长C8到点尸，使得B尸=£>M,连接EF,AF.

(1)依题意补全图1;

(2)若ZW=1,求线段EF的长；

(3)当点M在C力边上运动时，能使A4E尸为等腰三角形，直接写出此时tanND4M的值.

【分析】(1)根据题意作出图形便可,

(2)连接8M,先证明AAZW=AAfiF,再证明AMEMAWW,求得,便可得所；

(3)设。M=x(x>0),求出AE、AF.EF,当A4EF为等腰三角形，分两种情况：AE=E/或AP=£F,

列出方程求出x的值，进而求得最后结果.

【解答】解：(1)根据题意作图如下:

(2)连接,如图2,

.点。与点E关于AM所在直线对称,

:.AE=AD,ZMAD=ZMAE,

••四边形438是正方形，

.-.AD=AB,ZD=ZABF=90°,

BM=BF,

:./^ADM=AABF(SAS)，

/.AF=AM,ZFAB=ZMAD,

/FAB=/NAE,

:.ZFAE=ZMAB,

:.AFAE=AMAB(SAS),

:.EF=BM,

,四边形A8CD是正方形，

.・.BC=CD=AB=3,

DM=1,

；,CM=2,

.・.BM=4BC1+CM1=V13,

.\EF=y/\3;

(3)iSDM=x(x>0),则CM=3-x,

EF=BM=y]cM2+BC2=7x2-6x+18,

AE=AD=3,AF=AM=JDM2+AD2=7^+9,

AF>AE，

.•.当AAE尸为等腰三角形时，只能有两种情况：AE=EF,或AF=E产,

①当AE=E/时，有6-6x+18=3,解得x=3

DM3,

/.tanZ.DAM=----=-=1；

DA3

②当4尸=石尸时，&—6x+18=&+9，解得，x=-,

2

3

小…DM?1

/.tanZ.DAM=---=—=—,

DA32

综上，tanNOAM的值为1或1.

2

故答案为：tanZDAW的值为1或1.

2

7.（2020•石景山区一模）如图，点E是正方形A8CD内一动点，满足Z4E3=90。且N84E<45。，过点。

作DFLBE交BE的延长线于点F.

（1）依题意补全图形；

（2）用等式表示线段所，DF,8E之间的数量关系，并证明；

（3）连接CE,若AB=2后,请直接写出线段CE长度的最小值.

【分析】（1）依题意补全图形；

（2）过点4作AM_L田交FD的延长线于点M，可证四边形AEFM是矩形，由“AAS”可证AAEB=AAMD,

可得AE=AM,可证矩形AEFM是正方形，可得EF=MF,可得结论；

（3）取A8中点O,连接OC,由勾股定理可求OC=5,由点E在以。为圆心，08为半径的圆上，可得

当点E在OC上时，CE有最小值，即可求解.

【解答】解：（1）依题意补全图形，如图,

(2)线段£/，DF,BE的数量关系为：EF=DF+BE,

理由如卜.：如图，过点人作AMJ_FD交FO的延长线于点M,

ZM=ZF=ZAFF=90°,

四边形AEFM是矩形，

/.ZZME+ZM4D=90°,

•.四边形ABCD是正方形，

ZBAE4-ZZME=90°,AB=AD,

：.ZBAE=ZMAD.

又二ZAEB=/M=90。,

../iAEB^AAMD(AAS)

.,.BE=DM,AE=AM,

二.矩形AEEM是正方形，

:.EF=MF,

MF=DF+DM，

:.EF=DF+BE；

(3)如图，取A3中点O,连接。C,

AB=2也

OB=#),

OC=《OB?+BC°=75+20=5，

ZAEB=90°,

.•.点E在以。为圆心，OB为半径的圆上，

当点E在OC上时，CE有最小值，

.•.CE的最小值为5-方.

8.(2020•西城区一模)如图，在等腰直角AA8C中，NACB=9()。.点尸在线段8C上，延长8c至点。，

使得CQ=CP,连接AP,AQ.过点B作3DLAQ于点。，交AP于点E,交AC于点F.K是线段AD

上的一个动点(与点A，。不重合)，过点K作GNLA尸于点H,交AB于点G,交AC于点交尸。的

延长线于点N.

(1)依题意补全图1;

(2)求证：NM=NF；

(3)若4W=CP,用等式表示线段AE,GN与BN之间的数量关系，并证明.

【分析】（1）根据题意补全图1即可；

（2）根据等腰三角形的性质得到AP=AQ,求得NAPQ=NQ,求得ZMFN=NQ,同理，ZNMF=ZAPQ,

等量代换得到乙MFN=ZFMN,于是得到结论；

（3）连接CE,根据线段垂宜平分线的性质得到AP=4Q,求得NPAC=NQ4C,得到NCAQ=NQ8O,

根据全等三角形的性质得到CP=B,求得4W=C/，得到AE=BE,推出直线CE垂直平分A8,得到

NECB=ZECA=45%根据全等三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：（1）依题意补全图1如图所示；

（2）CQ=CP,ZACB=90°,

AP=AQ,

ZAPQ=ZQ,

BDVAQ,

NQBD+NQ=NQBD+NBFC=90°,

ZQ=ZBFC,

AMFN=ZBFC,

4MFN=NQ,

同理，ZNMF=ZAPQ,

ZMFN=4FMN,

NM=NF、

(3)连接CE,

ACA.PQ,PC=CQ,

・•.AP=AQ,

NPAC=NQAC,

BD±AQ,

.・.NZ)8Q+NQ=90。,

NQ+NC4Q=90。，

/.ZCAQ=4QBD,

/PAC=NFBC，

AC=BC,ZACP=ZBCF,

:.AAPC=ABFC(AAS),

:.CP=CF,

AM=CP,

AM=CF,

ZCAB=ZCBA=45°，

:.NEAB=NEBA,

AE=BE，

AC=BC,

.•・直线CE垂直平分AB,

/.ZECB=ZECA=45°，

:.ZGAM=ZECF=45°,

ZAMG=ZCFE,

AAGM=ACEF(ASA),

GM=EF,

BN=BE+EF+FN=AE+GM+MN,

:.BN=AE+GN.

9.（2020•通州区一模）已知线段AB,过点A的射线/_LA8.在射线/上截取线段AC=A3,连接BC,点

何为BC的中点，点P为AB边上一动点，点N为线段上一动点，以点P为旋转中心，将A8/W逆时

针旋转90。得到ADPE,8的对应点为。，N的对应点为E.

（1）当点N与点M重合，且点P不是AB中点时，

①据题意在图中补全图形；

②证明：以A,M,E,。为顶点的四边形是矩形.

（2）连接EM.若AB=4,从下列3个条件中选择1个：

@BP=1,②PN=1,③BN=叵,

当条件③（填入序号）满足时，一定有EM=£4,并证明这个结论.

C-------------------B

【分析】（1）①按照题中叙述画出图形即可；②如图，连接AE,AM.由题意可知AABC是等腰直角三角

形，由旋转可知=通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形及有一个角是直角的四边

形是矩形进行判断即可；

（2）当条件③BN=&满足时，一定有EM=EA.先证明四边形RM0E是矩形再证明FE垂直平分40,

从而可得答案.

【解答】解：（1）①补全图形如下:

AM.

由题意可知：。在8c上，AABC是等腰直角三角形，则A"_L8C,AM=-BC,

2

•.•旋转,

:.ADPE=ABPN,

:.DE=BN=-BC,NEDP=ZPBD.

2

ZEDB=ZEDP+NPDB=APBD+4PDB=90°,

:.EDLBC,

:.ED//AM,且瓦)=4W,

四边形AMDE为平行四边形.

又・AM±BC,

NAMD=90°,

四边形AMZ乃是矩形.

(2)答：当条件③3N=&满足时，一定有EM=EA.

证明：与(1)②同理，此时仍有AZ)PE=Afi/W,

;.DE=BN=0DELBC,

取AM的中点F,连接FE,如图所示：

48=4,则AM=4xsin45°=2>/5,

FM=0.

:.ED//FM,且ED=FM,

四边形FMDE是平行四边形，

又FMA.BC,

ZFMD=90°,

四边形FMDE是矩形.

:.FE±AM,且=

EA=EM.

故答案为：③.

10.(2020•延庆区一模)如图1,在等腰直角AABC中，ZA=90°,AB=AC=3,在边48上取一点。(点

。不与点A,B重合)，在边AC上取一点E,使AE=A£>,连接。E.把AADE绕点A逆时针方向旋转

a(O0<a<360°),如图2.

(1)请你在图2中，连接CE和BQ,判断线段CE和8。的数量关系，并说明理由：

(2)请你在图3中，画出当a=45。时的图形，连接CE和BE,求出此时AC3E的面积；

(3)若AO=1,点M是CO的中点，在AAOE绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段AM的最小值是.

【分析】(1)如图1中，连接EC,BD.结论：BD=CE.证明AAOB=AAEC(S4S)即可解决问题.

(2)证明：AE//BC,推出ACBE的面积与A4BC的面积相等，即可解决问题.

(3)如图3中，延长AM到N,使得MN=AM,连接CN,DM.求出AM的取值范围即可解决问题.

【解答】解：(1)如图1中，连接EC,BD.结论：BD=CE.

图2

理由：ZBAC=ZDAE=90°,

:.ZBAD=ZCAE,

AB=AC>AD=AE,

:.AADB^^AEC(SAS).

:.BD=CE.

(2)如图2中,

图2

由题意：ZC4E=45°,

AC=AB,ZCAB=90°,

ZACB=ZABC=45°,

/.AE/IBC.

ACBE的面积与AABC的面枳相等.

AA8C的面积为4.5,

△CBE的面积4.5.

(3)如图3中，延长AM到N,使得MV=AM,连接CN,DM.

图3

AM=MN,CM=MD,

二.四边形ADNC是平行四边形,

；.AD=CN=L

AC=3,

.•.3-啜）W3+1,

2^AM4,

.,.啜AM2,

AM的最小值为1.

故答案为1.

11.(2020•房山区一模)如图1,在等腰RtAABC中，NB4C=9()。，A3=AC=2,点〃为BC中点.点P

为48边上一动点，点。为BC边上一动点，连接。P,以点P为旋转中心，将线段尸。逆时针旋转90。，得

到线段PE,连接EC.

图1图2

（1）当点P与点A重合时，如图2.

①根据题意在图2中完成作图；

②判断EC与BC的位置关系并证明.

（2）连接EM,写出一个BP的值，使得对于任意的点。总有=EC,并证明.

备用图备用图

【分析】（1）①根据要求画出图形即可.

②结论：EC±BC.证明ABADMAOE,推出NACE=N8=45。即可解决问题.

（2）当8尸=一时，总有EM=EC.如图3中，作PS_L8c于S,作PN工PS,并使得PN=PS,连接NE,

3

延长NE交5c于Q,连接EM,EC.通过计算证明QM=QC,利用线段的垂直平分线的性质解决问题即

可.

【解答】解：（1）①图形如图2中所示:

A(Kt

MD

图2

②结论：EC±BC.

理山：AB=AC,N3AC=90。，

ZB=ZACB=45°,

ZEAD=ZBAD=90°,

/BAD=NCAE,

AD=AE,

:.ABAD^ACAE(SAS),

ZB=ZACE=45°,

/.ZBCE=ZACB+ZACE=90°,

s.ECLBC.

(2)当BP=」时，总有EM=EC.

2

理山：如图3中，作PSJL8C于S,作PN_LPS,并使得尸N=PS,连接NE,延长NE交8c于Q,连接EM,

EC.

PD=PE,NDPE=/SPN=90°,

ZDPS=4EPN，

PS=PN,

:.△DPS^AEPN(SAS),

:.PN=PS,ZPSD=ZN=90°,

ZPEQ=ZPSQ=ZSPN=90°，

四边形PNQS是矩形，

PS=PN,

四边形PNQS是正方形,

3

BP=-ZB=45°,AB=2,

2f

.-.B5=PS=—,6c=20,

4

/.BQ=2BS=^,QC=今,

M是8c的中点,

.\MC=42,

：.MQ=QC=^,

EQVCM,

NQ是CM的垂直平分线，

EM=EC.

12.（2020•门头沟区一模）在A48C中，ZACB=90°,NC48=30。，点。在A8上，连接CQ,并将CD绕

点D逆时针旋转60°得到DE,连接AE.

（1）如图1,当点。为4B中点时，直接写出。E与AE长度之间的数量关系；

（2）如图2,当点。在线段A8上一时，

①根据题意补全图2；

②猜想QE与AE长度之间的数量关系，并证明.

图1图2

【分析】（1）想办法证明AAOE是等边三角形即可解决问题.

（2）①根据要求画出图形即可.

②首先证明△的长，AFBC都是等边三角形，再证明AECFnAOCB,推出N4=N5=60。，证明

AEFA=AEFC（SAS）可得结论.

【解答】解：（D结论：DE=AE.

理由：如图1中,

ZACB=90°,ABAC=30°,

:.AB=2BC,ZB=60°,

AD=DB,

;.CD=AD=DB,

bCDB是等边三角形，

NCDB=60。,

DC=DE,NCDE=60。，

ZADE=[S00-ZED-ZCDB=60

DA=DC,DC=DE,

/.AD=DE,

・•.AADE是等边三角形，

DE=AE.

(2)①图形如图2所示：

'B

D

图2

②如图2-1中，结论：DE=AE.

理由：取的中点尸，连接CE,CF,EF.

ZACB=90°,AF=BF,

CF=AF=BF,

N3=60。，

ABCb是等边三角形，

.DC=DE,ZCDE=60°,

「.△ECO是等边三角形，

/.Zl+Z2=Z2+Z3=60°,CE=CD,CF=CB,

Z1=Z3,

.\AECF=ADCB(SAS),

/.Z5=ZB=60%

.N6=60。，

/.Z4=Z5=60°,

EF=EF,FA=FC,

\EFA三AEFC(SAS),

AE=EC,

EC=ED,

AE=ED.

13.(2020•朝阳区一模)四边形A8CO是正方形，将线段CQ绕点C逆时针旋转2a(0。<«<45。)，得到线

段CE,连接OE,过点8作8尸，OE交OE的延长线于尸，连接BE.

(1)依题意补全图1;

(2)直接写出NF8E的度数；

(3)连接AF,用等式表示线段AF与OE的数量关系，并证明.

【分析】(1)按照题中的表述画出图形即可;

(2)NEBE的度数为45。.由题意得，CD=CE=CB,NECD=2a,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,

根据三角形内角和与互余关系分别推理即可；

(3)作,交BR的延长线于点，，判定A/Z43三AM£>(A5A),可得“B=ED,AH=AF,HF=DE,

NH=45°,从而可得，尸与AF的数量关系，则可得线段A尸与OE的数量关系.

【解答】解：(1)补全图形，如图所示:

图1

(2)ZFBE=45°.设。尸与AB交于点G,如图所示:

图2

由题意得，CD=CE=CB,ZECD=2a，ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,

/.ZEDC=90°-a,/BCE=90。-2a,

ZCBE=45°+a,ZADF=a,

・•.ZABE=45°-a.

BFLDE.

:.NBFD=9U0.

ZAGD=/FGB,

：.ZFBG=a

NFBE=NFEB=45。.

(3)DE=j2AF.

证明：如图，作A”_LA尸，交8尸的延长线于点“，

由(2)得NFBE=NFEB=45。.

:.FB=FE.

AH1AF,ZBAD=90°,

AHAB=ZFAD，

AHABSAFAD（ASA）,

:.HB=FD,AH=AF,

HF=DE,NH=45。.

:.HF=j2AF.

:.DE=41AF.

14.（2020•密云区一模）已知NA/CN=45。，点8在射线CM上，点A是射线CN上的一个动点（不与点C

重合）.点B关于CN的对称点为点。，连接AB、AQ和8,点尸在直线BC上，且满足AF=A8.小明

在探究图形运动的过程中发现：APLA。始终成立.

（1）如图1,当0°<N8AC<90。时.

①求证：AF1AD；

②用等式表示线段CF、CO与CA之间的数量关系，并证明；

（2）当90。</34。<135。时，直接用等式表示线段CF、CO与CA之间的数量关系是.

【分析】（1）①根据轴对称的性质得到AABCMAWC,求得Z48C=Z4OC,4（78=48=45。，根据

等腰三角形的性质和四边形的内角和即可得到结论；

②过A作AP_LAC交C3的延长线于P,求得A4PC是等腰直角三角形，ZPAC=9Q°,AP=AC,得到

ZPAF=ZDAC,根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；

(3)如图2,过A作AP_LAC交C5的延长线于P，求得AAPC是等腰直角三角形，APAC=90。，AP=AC,

得到Na4E=N0AC