22下教资科三数学高频考点

高频考点数学

目录

第一模块数与代数........................................................................1

第一章方程...........................................................................1

第二章函数...........................................................................4

第三章不等式.........................................................................5

第二模块图形与几何......................................................................6

第一章解析几何.......................................................................6

第三模块统计与概率......................................................................9

第一章统计...........................................................................9

第二章概率..........................................................................11

第四模块高等数学.......................................................................16

第一章极限..........................................................................16

第二章导数与微分....................................................................20

第三章积分..........................................................................23

第四章空间解析几何与向量代数.......................................................27

第五章多元函数微分..................................................................33

第六章级数..........................................................................35

第五模块线性代数.......................................................................37

第一章行列式........................................................................37

第二章矩阵..........................................................................38

第三章线性空间与线性变换...........................................................41

第四章向量组的线性相关性...........................................................42

第五章线性方程组....................................................................44

第六章正交矩阵......................................................................46

第六模块概率论与数理统计..............................................................47

第七模块数学史.........................................................................50

第八模块课程与教学论..................................................................53

第一章义务教育课标..................................................................53

第二章高中课标......................................................................56

让每一个孩子都能遇到好老师

高频考点数学

第三章数学教学论....................................................................59

第四章案例分析......................................................................62

第五章教学设计......................................................................64

让每一个孩子都能遇到好老师

高频考点数学

第一模块数与代数

第一章方程

【高频考点11二元一次方程组的解法

解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程，

再解出未知数。

（1）代入消元法

将方程组中的一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中去，这就

消去了一个未知数，得到一个解。

（2）加减消元法

利用等式的性质，使方程组中两个方程中的某一个未知数的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加

（减），以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。

【经典例题】

1.简述二元一次方程组有哪些解法，并对其步骤进行简单说明。

【参考答案】

①代入消元法；

用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：

（1）在方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个

未知数；（2）将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一

元一次方程，求得一个未知数的值：（4）将这个求得的未知数的值再代入关系式，求出另一个未知数的值；

（5）写出方程组的解。

②加减消元法

用加减法解二元一一次方程组的一般步骤：

（1）确定消元对象，并把它的系数化成相等或互为相反数的数：（2）把两个方程的两边分别相加或

相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4）

将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值；（5）写出方程组的解。

【高频考点2】高次方程的解法

1.±1判根法

在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于0,则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次

项系数之和，则-1是方程的根。求出方程的±1的根后，将原高次方程用因式分解法分别除以（x-1）或（x+1）,

1让每一个孩子都能遇到好老师

高频考点数学

降低方程次数后依次求根。

注：常数项算在偶次项系数当中。

2.常数项约数求根法

根据定理：“如果整系数多项式。/"+41/一+…+qx+%可分解出因式即方程

…+罕+即=0有有理数根?（尸、。是互质整数），那么，”定是首项系数对的约数，

。一定是常数项4的约数”。常数项约数求根法有两种类型：第一种类型：首项系数为1。对首项（最高

次数项）系数为1的高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，

就是方程的根。依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求解；第

二种类型：首项系数不为1。对首项系数不为1的高次方程，首先以首项系数为“公因数”提取到小括号

外，然后对小括号内的方程的常数项列出公约数。特别注意此时代入方程验算的值一定是?而不是。，因

为此时原方程的因式是网-。，其余的解法步骤同首项系数为1的解法步骤相同。

3.倒数方程求根法

定义:系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。如："4+川+“2+公+e=0,其中，a=e,

6=1或者。=—6,b=-do

性质1：倒数方程没有零根；

性质2：如果。是方程的根，则上也是方程的根；

a

性质3：奇数次倒数方程必有一个根是-1或者1,分解出因式（x-1）或（x+1）,降低一个次数后的方程

仍是倒数方程。

【经典例题】

1.求解方程12x4-56x3+89x2_56x+12=0的实数根。

321

【答案】Xj=—,x2=x3=2,x4=—

【解析】原方程化为1214+。-56卜3+»+89》2=0,显然，上述方程中xwO,两边除以得

12卜+二）-56（X+，）+89=0。令x+，=y,则x?+J=（x+，）-2=/-2,代入上面方程得

12（/-2）-56y+89=0,BP12/-56y+65=0,即（6y-13）（2y-5）=0,.・.%=»,%='由弘="得

''626

2让每一个孩子都能遇到好老师

高频考点数学

I1a32515

=

x+—=j,即(2x—3)(3x—2)=0,/.x1=,x2y°由歹2=5得———>即2』—5x+2=0,即

1321

(%—2)(2x-1)=0,?.x3=2,x4=—0故原方程的根为司=5，/£=2,X4=5。

2.解方程4/一18牛3+28x2-18x+4=0的实数根。

【答案】1；2；-

2

【解析】由题意可知xwO,原方程化为-18/+28.-18*+4=0,可得_18x+28-更+0,

XXX

22

则4/+-4|-18|x+-|+28=0,令x+，=/,x+-L=t-2,则4(*-2)-18/+28=0,化简得

X);X)XX

4/2—18/+20=0,解得(=2,/2=—o当/=2时，x+—=2,则2x+l=0,解得西=工2=1；当Z=*

2x2

2

时，x+—=—»2x-5x+2=0,解得巧=2,x4=—o故原方程的解为1；2」。

x23422

【高频考点3】绝对值方程

L定义：绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对值方程。

2.解题步骤：去掉绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的方程来解。

3.不同类型绝对值方程的解法：

(1)形如何+4=c(awO)的绝对值方程的解法：

①当。<0时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；

②当c=0时，原方程变为+4=0,即〃x+b=O,解得x=-2;

③当c>0时，原方程变为or+b=c或or+b=-。，解得R=--■或x='--o

aa

(2)形如\ax+b\=cx+d(ac/0)的绝对值方程的解法：

①根据绝对值的非负性可知cx+c/>0,求出x的取值范围；

②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程g+6=ex+〃和以+b=-(ex+d)；

③分别解方程QX+6=cx+d和办+b=-(cx+d)；

④将求得的解代入cx+dNO检验，舍去不符合条件的解。

(3)形如辰+同=依+。|(或工0)的绝对值方程的解法：

①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ox+6=ex+d或or+b=-(ex+d)；

②分别解方程ax+A=cx+c/和or+力=-(cx+d)。

3让每一个孩子都能遇到好老师

高频考点数学

(4)形如,-4+卜-4=<?(4</))的绝对值方程的解法：

①根据绝对值的几何意义可知：|x-a|+k-同之|­力

②当c<|a-4时，方程无解；当c=|”“时，方程的解为.4x48；当c>|"4时，分两种情况：当

时，原方程的解为x="+'-c；当x>b时，原方程的解为x=""c。

22

【经典例题】

1.方程|x+5|-|3x-7|=l的解有()个。

A.lB.2

C.3D.无数

【答案】B

【解析】当时7，原方程可化简为x+5-3x+7=l,解得x=1U1符合题意；当_5<x〈7」时.，原方

323

程可化简为x+5+3x-7=l,解得x=±符合题意；当X4-5时，原方程可化简为-x-5+3x-7=1,解得

4

x=-13,不符合题意；所以x的值为1U1或13即方程的解有2个。故本题选B。

222

2.解绝对值方程卜-2|+卜+7|=11。

【答案】x=-8或x=3

【解析】当x<-7时，x—2<0,x+7<0,原方程化为：(2-x)+(-x-7)=11,解得：x=-8；当-7<x42

时，x-2<0,x+7>0,原方程化为(2-x)+(x+7)=ll,该方程无解；当x>2时，x-2>0,x+7>0,

原方程化为(x-2)+(x+7)=ll,解得：x=3o即原方程的解为x=-8或x=3。

第二章函数

【高频考点】函数的单调性

在公共定义域内：

增函数/(x)+增函数g(x)是增函数；

减函数/(x)+减函数g(x)是减函数；

增函数/(X)-减函数g(x)是增函数；

减函数/(x)-增函数g(x)是减函数。

4让每一个孩子都能遇到好老师

高频考点数学

【经典例题】

1.设函数/(x),g(x)的定义域都为R,且/(x)是增函数，g(x)是减函数，则下列结论正确的是()0

A./(x).g(x)是增函数BJ(x>g(x)是减函数

CJ(x)-g(x)是增函数D./(x)+g(x)是减函数

【答案】C

【解析】根据单调性法则：①增函数+增函数=增函数；②减函数+减函数=减函数；③增函数-减函数

=增函数；④减函数-增函数=减函数。故本题选C。

2.设函数/(x)是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是()。

A./(x)+/(-X)是偶函数且是增函数B./(x)+/(-x)是偶函数且是减函数

C.〃x)-/(-x)是奇函数且是增函数D./(x)-/(-x)是奇函数且是减函数

【答案】C

【解析】设F(x)=/(x)-/(-x),•.•/(X)是定义在R上的增函数，.•./(-X)是定义在R上的减函数，

从而_/(_x)是定义在R上的增函数，.•.尸(x)=/(x)-/(T)是在(-a>,+8)上的增函数，•.•F(x)=/(%)-

/(-X),F(-x)=/(-x)-/(x),贝!JF(x)=-E(-x),二函数尸(x)为奇函数，且在(-8,+8)上的增函数。

故本题选C«

第三章不等式

【高频考点】重要不等式

(1)设4、b是两个正数，则空2称为正数b的算术平均数，，石称为正数4、b的几何平均数。

2

(2)均值不等式：若°>0,b>0,则a+b22疝，即空义痴,当且仅当a=b时，"=”成立。

2

22

(3)常用的基本不等式：a+b>2ab,ab<^^；必《誓J,《誓J。

【经典例题】

1.(1)已知x>0,y>0,z>0,证明：-^+^+^>-+-+-.

xyzxyz

(2)已知〃>1,b>l,c>1,JEabc=8,logfta-log2a+logcb-log2h+logflc-log2c>k

求实数片的最大值。

5让每一个孩子都能遇到好老师

高频考点数学

【答案】（1）证明见解析；（2）3

【解析】(1)证明：由x>o,y>o,得名■+122,厚工=2,即斗同理:+_LN2,2+_L*2,

xyyxyxxyxyzyzxz

以上三式相力口，^^+^+^+-+-+(当且仅当x=y=z时取等号)，故斗+二+2

xyzyzxyzxxyz

111

N—l1—o"o

xyz

log；a,log；b,log；c_log〃2bg0210g2

-----------十------------十''十十li

(2)log*a-log,a+logt,b-log,b+log,,c-log,c根据

log2blog,clog,alog：2log；2log；2

⑴‘得黑露+11申

=log/+log,A+log?'=log/=log)=3,所以，k<3,

故实数左的最大值为3。

2.证明不等式：a,b,cGR,a4+i4+c4>abc(a+Z>+c)o

【答案】见解析

【解析】•・•/+/22",b4+c4>2b2c2,cA+a4>2c2a2,：.2(a4++c4)>2(a2b2+b2c2+c2a2),

444222222222222222222222

BPa+b+c>ab+bc+ca(>Xab+bc>2abc9bc+ca>2abc,ab+ca>2abcoA

2^a2b2+b2c2+c2a2j>2(ab2c+abc2+a1be),BPa2b2+b2c2+c2a2>abc(«+A+c),a4+h4+c4>

Qbc(a+6+c)o

第二模块图形与几何

第一章解析几何

【高频考点1】圆的方程

1.标准方程：（x-a）2+（j；-6）2=r2,其中，（〃，h）——圆心，r——半径。

2.一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0,(。2+£-4尸>0)

DE圆心，，）近三三五—半径。

-----9-----

222

x=a+rcos0,、「、

3.参数方程:,(a,b)----圆心，r----半径。

y=b+rsin0

6让每一个孩子都能遇到好老师

高频考点数学

【经典例题】

若/,8两点分另U在圆/+/-6》+16夕-48=0和/+/+4》-8夕-44=0上运动，则/,8两点距

离的最大值是()。

A.13B.32

C.36D.38

【答案】B

【解析】本题考查圆上的动点问题。将圆V+/-6x+16y-48=0化为标准方程，得

(X-3)2+(J^+8)2=121,所以该圆是以M(3,-8)为圆心，半径4=11的圆。同理可得/+/+以-8)，-44=0

的圆心为N(-2,4),半径4=8,所以两圆的圆心距为|〃N|=1(3+2)2+(-8-4)2二⑶因为工、g两点分

别在圆M、圆N上运动，所以当/、B在直线AW上，且用、N两点在4、8之间时取最大值。此

时，MMg、=1+々+1的1=11+8+13=32。故本题选B。

【高频考点2】圆锥曲线

1.椭圆

Y22

(1)标准方程：=+4v=1(。>6>0)

ab“

(2)定义域：｛x|-aWxWa｝；值域：｛N一64歹工。｝；

(3)长轴长2a,短轴长26,焦距2c,a2=b2+c2；

2

(4)准线方程：x=±<。

c

2.双曲线

(1)标准方程：—7―yy=1(67>0,Z?>0);

(2)范围：(一。｝；｛y|ywR｝；

(3)实轴长2a,虚轴长26,焦距2c,c2=a2+h2；

(4)准线方程：x=±-yO

3.抛物线

(1)标准方程：y2=2px(p>0),p为焦参数；

(2)焦点：仁，0｝通径|/却=2小

(3)准线：%=--；

2

7让每一个孩子都能遇到好老师

高频考点数学

（4）焦半径：|/?|=%+勺过焦点弦长|48|=玉+々+p。

【经典例题】

已知抛物线y=1x2,如图，抛物线在点尸（X。，为）（与W0）处的切线尸7与y轴交于点/，点光源放在

抛物线焦点尸（0,1）处，入射光线尸产经抛物线反射后的光线为PQ,即NFPM=NQPT,求证：光线P。与

y轴平行。

【答案】（见解析

【解析】证明：如图，因为/=gx,代入与可得k=g/，根据点斜式方程可得切线方程为y=申•x-》,

即当x=0时，y=小=_%，所以尸河=为+1。过尸点做准线的垂线交于点E,设尸点切线方程交y轴

于即尸E〃歹轴，连接ME,因为尸尸=尸6=为+1,即可得尸尸=PE=EM=%+1,所以在△FN尸中，

ZFMP=2FPM,又因为尸E〃y，所以NFMP=NMPE,由已知可知NFPM=NQP7,综上可得

NMPE=NQPT,因此E、P、。三点共线，故尸0平行于y轴。

8让每一个孩子都能遇到好老师

高频考点数学

第三模块统计与概率

第一章统计

【高频考点】统计学中的几个基本概念

（一）平均数

一般地，如果有〃个数X],孙…X"，那么，三=L（X]+》2+...+X,）叫做这〃个数的平均数，亍读作"X拔”。

n

（二）中位数

1.定义：将一组数据按大小顺序依次排列，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）

叫做这组数据的中位数。

2.中位数的算法：设样本有〃个数据，按大小顺序依次排列后，

（1）〃为奇数，第"个数据为中位数；

2

（2）〃为偶数，第四与2+1个数据的平均数为中位数。

22

3.特点：

（1）中位数仅与数据的排列位置有关，不受某些数据变动的影响；

（2）当一组数据中的个别数据变动较大时，中位数能较好的反映数据的集中趋势。

（三）样本方差

样本中所有个体现，々，…，斗与样本平均数斤的差的平方的平均数叫做样本方差，用表示。方差反

映了一组数据的波动情况。方差越大，数据的波动越大，越不稳定；方差越小，数据的波动越小，越稳定。

2

S=-X）-+（x2-X）'+...+卜“一丁）2]

常用结论：

若X1,x2,,Z的平均数为于，贝（ax,+/＞）,,（ax“+6）的平均数为6+6。

【经典例题】

1.在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分为10分的选做题，学生可以从48两道题目中任

选一题作答。某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划

从900名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名学生的选做题的成绩随机编号

为001,002,…，900,,

（1）若采用随机数法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读数，每

次读取三位随机数，一行数读完之后接下一行左端写出样本编号的中位数。

9让每一个孩子都能遇到好老师

高频考点数学

052693706022358515139203515977

595678068352910570740797108823

099842996461716299150651291693

580577095151268785855487664754

733208111244959263162956242948

269961655358377880704210506742

321755857494446716941465526875

875936224126786306551308270150

1529393943

（2）若采用分层随机抽样，按照学生选择/题目或8题目，将成绩分为两层，且样本中选择/题目的

成绩有8个，平均数为7,方差为4；样本中选择8题目的成绩有2个，平均数为8,方差为1。试用样本

估计该校900名学生的选做题得分的平均数与方差。

【答案】（1）667；（2）平均数为7.2；方差为3.56

【解析】（1）由题意知：读取的编号依次是512,916（超界）,935（超界）,805,770,951（超

界），512（重复），687,858,554,876,647,547,332。将有效的编号由小到大排序，得332,

512,547,554,647,687,770,805,858,876,样本编号的中位数为竺上■空=667。（2）

2

设样本中选择Z题目的成绩的平均数为亍，方差为S2；样本中选择8题目的成绩的平均数为歹，方差为「，

则于=7,?=4,歹=8,?=1,.•.样本的平均数为一?一亍+二一p=&x7+』x8=7.2,方差为

8+28+255

x[s2+（x-7,2）2]+[r+（7-7.2）2]=》[4+（7-7.2/]+U[1+（8-7.2=3.56。,该校900

名学生的选做题得分的平均数约为7.2,方差约为3.56。

2.甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人，甲班的平均成绩为80.5分，方差

为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360。那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多

少？

【答案】平均分是82.5分，方差为442.78

【解析】设甲班50名学生的成绩分别是q,出，…，牝。，那么甲班的平均成绩、权重和方差分别为

篇J*2.+.•上双=80.5（分），叫产"，J二+…+（阳一反）=500。设乙班

50490共50

10让每一个孩子都能遇到好老师

高频考点数学

40名学生的成绩分别是件%b40,那么乙班的平均成绩、权重和方差分别为私=）+<；…=gs

（分），卬乙=竺，S2=仅T）-+低-私）一+…+（既一无）:360。如果不知道a心和

乙90乙40-

砧％…，“，只知道甲、乙两班的平均成绩、权重及方差，全部90名学生的平均成绩应为

亍=埒五p+w乙和=1^x80.5+黑x85=82.5（分）。而全部90名学生的方差为s?=卬中卜+品-可〔+

w/s：+（而一可2]。因此，52=啊,卜,+（弓,_可2]+卬乙1方+任乙_亍）2]=|^x[500+（80.5-82.5）2]+

40「………\2150x500+50x4+40x360+40x6.25,“一

—x[360+（85-82.5）J=------------------------------«442.78。

第二章概率

【高频考点1】古典概型

1.特点

（1）所有可能出现的基本事件为有限个:

（2）每个基本事件发生的可能性相等。

2.概率公式

（）=事件[包含的基本事件的个数=机

（所有基本事件的个数

【经典例题】

1.甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成

两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（）。

【答案】D

【解析】根据题意，分两种情况讨论：①甲、乙在同一组：/>=-；②甲乙不在同一组，但相遇的概

3

率：^=-xixl=lo则甲、乙相遇的概率为尸=1+1=1。故本题选D。

23226362

2.盒子中装有编号为1-7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的标号之积为偶数的概率为（）。

【答案】C

11让每一个孩子都能遇到好老师

高频考点数学

【解析】7个球选出编号之积为偶数，则有两种情况，一种是从3个偶数中选择两个，概率为与=1,

C；7

另一种是从3个偶数中选择一个‘4个奇数中选择一个‘概率为C'吾C1=4,’则所求概率为1:+^4=与5。故本

题选C。

【高频考点2】条件概率

1.概念：对事件/和8,在己知事件8发生的条件下，事件/发生的概率，称为8发生时才发生的条

件概率，记为P（Z⑻。

2.概率公式：P"闻=,；；］,其中尸（8）＞0。

【经典例题】

1.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为当下雨的概率为耳，既吹东风又下雨的概率

为三。则在吹东风的条件下下雨的概率为（）。

98

-B-

1H

A.C

28

--

5D.9

【答案】D

【解析】设事件4表示“该地区四月份下雨”，8表示“四月份吹东风”，则尸（.）=!11,P（5）=—o,

8

8

故

本选

尸（"）=卷，从而吹东风的条件下下雨的概率为P（A\B）=:号-30=-题D

99O

30

2.设M,N为随机事件，尸（N）＞0,且条件概率尸（M|N）=1,则必有（）»

A.P（〃UN）＞P（M）B.P（〃UN）＞P（N）

C.P（A/UN）=P（A/）D.P（〃UN）=P（N）

【答案】C

【解析】由已知可得以〃W）=黑?

=1,所以P（MN）=P（N）,所以P（MUN）=

P（M）+P（N）-P（MN）=P（M）.故本题选C。

【高频考点3】离散型随机变量

12让每一个孩子都能遇到好老师

高频考点数学

1.概念：对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机

变量。

2.离散型随机变量的分布列

设离散型随机变量J可能的取值为不吃，…知…，J取每一个值x,(i=l,2,…)的概率为尸传=x,)=p,,

则随机变量04p,41,i=1,2,…的概率分布(简称。的分布列)为：

・・・.・・

芭X2须

…・・•

Pp2

分布列具有如下性质：

(1)0<p.<1>i=1,2,--•；(2)/?1+p,H—=1o

3.离散型随机变量的期望(均值)：E©=pFi+p/2+…+p吊+…

4.离散型随机变量的方差：

2

。⑶=.(占-E⑹丫+p2(X2-E^))+--+Pi(x-E《)j

【经典例题】

1.已知随机变量4~N(2,4),则+1)=()。

A.lB.2

C.0.5D.4

【答案】A

【解析】•*~N(2,4),⑷=4,.•.。(*+1]=[。团=1。故本题选A.

2.设X为随机变量，且X〜8(〃，p),若随机变量X的数学期望E(X)=1,£>(y)=|,则尸(X=2)=

()o

【答案】B

【解析】由E(X)=1,£>(X)=g,贝！=l,叩(1一p)=1，解得〃=5,p=g,p(X=2)=C；H-

[1一！丫=四。故本题选B。

(5)625

13让每一个孩子都能遇到好老师

高频考点数学

【高频考点4】独立事件

(-)相互独立事件

1.概念：事件力的发生对事件8的发生没有影响，同样事件8的发生对事件/的发生也没有影响，则

这两个事件称为相互独立事件。

2.特征:如果事件止和8独立,则尸(48)=尸(4)尸(5)。

(二)独立重复试验

1.概念：一次试验中，事件/发生的概率为p。相同条件下，独立、重复进行了〃次试验，称作〃次独

立重复试验。

2.概率公式：〃次独立重复试验中，事件/发生的次数记为4<=0,1,…，〃)，则事件,恰好发生4次的

概率为