数理统计的MATLAB求解课件

1随机变量及其分布注：以后碰到命令末尾为：rnd----产生随机数X；cdf----产生分布函数F(x)pdf----产生密度函数p(x)或分布列Px=P{X=x}inv----计算x=F-1(p)→p=F

(x)6/6/20231常见分布的随机数产生6/6/20232专用函数计算概率密度函数表6/6/20233专用函数的累积概率值函数表6/6/20234常用临界值函数表6/6/20235常见分布的均值和方差6/6/202363.1随机变量及其分布例3.1某人向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5。这100次中正面向上的次数记为X：(1)试计算x=45的概率和x≤45的概率；(2)绘制分布函数图象和分布列图象。程序：》clear;px=binopdf(45,100,0.5)%计算x=45的概率

px=0.0485fx=binocdf(45,100,0.5)%计算x≤45的概率

fx=0.1841》x=1:100;p1=binocdf(x,100,0.5);plot(x,p1,'+');title('分布函数图')6/6/202373.1随机变量及其分布p2=binopdf(x,100,0.5);plot(x,p2,'*r')；title('概率分布图'）6/6/202383.1随机变量及其分布例3.2设X~N(2,0.25)(1)求概率P{1<X<2.5}；(2)绘制分布函数图象和分布密度图象;(3)画出区间[1.5,1.9]上的分布密度曲线下方区域。程序:(1)p=normcdf(2.5,2,0.5)-normcdf(1,2,0.5)

p=0.8186(2)x=0:0.1:4;px=normpdf(x,2,0.5);fx=normcdf(x,2,0.5);plot(x,px,'+b');holdon;plot(x,fx,'*r');legend('正态分布函数','正态分布密度');(3)specs=[1.5,1.9];pp=normspec(specs,2,0.5)6/6/202393.1随机变量及其分布6/6/2023103.2随机变量函数的分布根据概率统计教材中的定理：如果已知随机变量X的密度fX(x),随机变量函数Y=g(X)单调，则Y的密度函数为：fY(x)=fX(h(y))|h'(y)|,其中x=h(y)是y=g(x)的反函数。如果y=g(x)不单调，则将定义域分成若干单调区间进行讨论。也可利用：据此意思，计算随机变量函数的分布相当于编程6/6/202311例3.3设随机变量X服从均匀分布U[0,1]，求Y=eX的分布。程序：clear;x=solve('y=exp(x)')x=log(y)dy=diff(x,'y')dy=1/yfy=1*abs(dy)fy=1/|y|注：取值区域需要自己确定，用积分求法作为练习！3.2随机变量函数的分布6/6/2023123.3随机变量的数字特征随机变量的数学期望1.数组的平均值---Y=mean(X)功能：当X为向量时，输出一个平均数；当X为矩阵时，输出为行向量，对应于矩阵每列的平均值；因此计算矩阵所有数的平均值，应用嵌套：mean(mean(X))或m=mean(X(:))与此类似的有：求和(sum),最大(max),最小(min)等2.离散型随机变量的期望----EX=sum(X.*P)功能：计算随机值向量X与对应概率向量P的乘积之和3.连续型随机变量的期望----EX=int(x*fx,x,a,b)功能：用积分计算期望6/6/2023133.3随机变量的数字特征例3.4设随机变量X的分布列，求期望。程序：clear;x=[-1,0,2,3];p=[1/8,1/4,3/8,1/4];EX=sum(x.*p)1.3750X-1023P1/81/43/81/46/6/2023143.3随机变量的数字特征例3.5设随机变量X的分布密度为：且EX=3/5，求常数a,b的值。程序：clear;symsabx;fx=a+b*x^2;EX=int(x*fx,x,0,1)EX=1/4*b+1/2*a

F=int(fx,x,0,1)F=a+1/3*b

f1=EX-3/5;f2=f-1;[a,b]=solve(f1,f2)a=3/5,b=6/56/6/2023153.3随机变量的数字特征例3.6设随机变量X的分布密度为：求随机变量Y=|X|的期望。程序：clear;symsx;fx1=0.5*exp(x);fx2=0.5*exp(-x);EY=int(-x*fx1,x,-inf,0)+int(x*fx2,x,0,inf)EY=16/6/2023163.3随机变量的数字特征随机变量的方差1.统计数据的方差---D=var(X,1)功能：当X为向量时，输出一个标量；当X为矩阵时，输出为行向量，对应于矩阵每列的方差值；因此计算矩阵所有数的方差值，应用嵌套：var(var(X))

缺省1，计算：否则计算：2.统计数据的标准差---S=std(X,1)功能：用法和1的解释同上3.

一般随机变量的方差----DX=E(X2)-(EX)2功能：用积分或级数编程计算6/6/2023173.3随机变量的数字特征例3.7设随机变量X的分布密度为：求随机变量X的期望和方差。程序：clear;symsx;fx=2/pi*(cos(x))^2;EX=int(x*fx,x,-pi/2,pi/2)E2X=int(x^2*fx,x,-pi/2,pi/2)DX=E2X-EX^2

6/6/2023183.3随机变量的数字特征常见分布的期望和方差1.二项分布---[E,D]=binostat(n,p)说明:n,p可以是标量,向量,矩阵,则E,D是对应的标量,向量,矩阵2.超几何分布---[E,D]=hygestat(M,N,K)3.泊松分布---[E,D]=poissstat(lambda)4.均匀分布---[E,D]=unifstat(a,b)5.指数分布---[E,D]=expstat(lambda)6.正态分布---[E,D]=normstat(mu,sigma)其他：gamstat(),tstat(),fstat(),chi2stat()等等6/6/2023193.3随机变量的数字特征协方差与相关系数的计算1.随机变量的协方差---cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)2.随机变量的相关系数---ρ=cov(X,Y)/sqrt(DX*DY)3.统计数据的协方差cov(X)-----当X为向量时,cov(X)=var(X);当X为矩阵时,结果为X的协方差矩阵.对角线是X每列的方差,Xij为X的第i列和第j列的协方差值。cov(X,Y)-----计算向量X和Y的协方差值4.统计数据的相关系数corrcoef(X),corrcoef(X,Y)-----说明与用法与cov()相同6/6/2023203.3随机变量的数字特征矩的计算1.随机变量的k阶中心矩---Bk=moment(X,k)2.随机变量的k阶原点矩---Ak=sum(X.^k)/length(X)6/6/2023213.4参数估计常用分布的参数估计1.正态分布的参数估计格式：[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,alpha)功能：数组X服从正态分布,给定显著水平alpha,缺省时为0.05,前二项给出点估计，后二项给出区间估计。X为矩阵时,针对列进行计算。2.二项分布的参数估计(n重已知,p未知)格式：[phat,puci]=binofit(X,n,alpha)3.泊松分布的参数估计格式：[lbdhat,lbdci]=poissfit(X,alpha)4.均匀分布的参数估计格式：[ahat,bhat,aci,bci]=unifit(X,alpha)6/6/2023223.4参数估计5.指数分布的参数估计格式：[lbdhat,lbdci]=expfit(X,alpha)6.通用命令mle()格式：[输出参数项]=mle('分布函数名',X,alpha[,N])说明：分布函数名有：bino(二项),geo(几何),hyge(超几何)poiss(泊松),uinf(均匀),unid(离散均匀),exp(指数)norm(正态),t(T分布),f(F分布),beta(贝塔),gam(伽吗)N当二项时需要，其他没有。6/6/202323例3.8设生成一组均值为15,方差为2.52的正态分布的随机数据，然后对这组数据进行置信度97%的参数估计。程序：clear;w=normrnd(15,2.5,50,1);或w=15+2.5*randn(50,1);alpha=0.03;[mh,sh,mc,sc]=normfit(w,alpha)运行一次：mh=15.1076sh=2.4038mc=14.3478~15.8674sc=1.9709~3.07033.4参数估计6