西安交大教授谈如何学好高等数学课件

为什么要学习高等数学

高等数学是高等学校许多专业学生必修的重要基础理论课程。数学主要是研究现实世界中数量关系与空间形式。在现实世界中，一切事物都发生变化，并遵循量变到质变的规律，凡是研究量的大小，量的变化，量与量之间关系以及这些关系的变化，就少不了高等数学。

数学不但研究数量关系与空间形式，还研究现实世界的任何关系和形式。因此，数学的研究对象是抽象的关系与形式，数学研究的是各种抽象的“数”和“形”的模式结构。恩格斯说：“要辩证而又唯物地了解自然，就必须掌握数学”。英国著名哲学家培根说：“数学是打开科学大门的钥匙”。

数学如今已经越来越被人们认为是在科学发展中具有高度重视课程。它不仅是各专业的后继课程所必需。而且它本身就是科学思维，逻辑分析的素质*训练。通俗地说数学是思维方法的体操。

自然科学各学科数学化的趋势，社会科学各部门定量化的要求，使许多学科都在直接间接地，或先或后地经历着一场数学化的进程。

联合国教科文组织在一份调查报告中强调指出：“目前科学研究工作的特点之一是各门学科的数学化”。“反过来科学技术的发展，又成为数学产生和发展的源泉与动力。”数学有一个特殊的位置，它是一个专门的领域，但又为其他科学领域提供思维的工具。

在常量数学时期,即“初等数学”时期，在这个时期里，数学已由具体的阶段过渡到抽象的阶段，并逐渐形成一门独立的、演绎的科学。数学的发展的几个主要阶段算术、初等几何、初等代数、三角学等都已成为独立的分支．这个时期的基本成果就构成现在中学课程的主要内容。

在变量数学时期,即“高等数学”时期。这个时期以17世纪中叶笛卡儿的解析几何的诞生为起点,在这一时期用运动和变化的观点来探究事物变化和发展的规律。

变量与函数的概念进入了数学，随后产生了微积分。这个时期基本成果是解析儿何、微积分、线性代数、微分方程等，就是现今高等院校中的基础课程。

在现代数学时期，这个时期始于19世纪中叶直到现在。在这个阶段，数学研究的对象被推广，这相应地引起了量的关系和空间形式在概念本身的重大突破。

现代数学不仅研究各种变化着的量的关系，而且研究各种量之间的可能关系和形式。

数学基础学科之间、数学和物理等其他学科之间相互交叉和渗透，形成了许多边缘学科和综合性学科。集合论、计算数学、电子计算机等的出现和发展构成了现在丰富多彩、渗透到各个科学技术部门的现代数学。高等数学课教学的特点

(1)课堂大。高等数学一般都是一个系同年级的几个小班合班上课。教师授课的基点，只能照顾大多数，不可能给跟不上、听不全懂的少数同学细讲、重复讲。

(2)时间长,连贯性强。高等数学每上一次课，一般都是连续讲授两节。而且各章的内容有很强的连贯性。

(3)概念多，进度快。由于高等数学的内容极为丰富,而学时又有限，因此平均每一大节课要讲授教材的8至10页（有时还更多）,老师的讲课主要是讲重点、难点、疑点，讲思路。讲概念多，推理多，举例也较少。

高等数学的主要学习内容

高等数学的内容为两部分，即微积分学和线性代数、空间解析几何。但主要是微积分学和线性代数。微积分学研究的对象是函数，而极限则是微积分学的基础，也是最主要的推理方法。与微积分创立密切相关的科学技术问题，从数学角度归纳起来有四类：

第一类是，在已知变速运动的路程为时间的函数时，求瞬时速度和加速度；

第二类是，求已知曲线的切线；

第三类是，求给定函数的最大值与最小值；

第四类是，求给定曲线长；求已知平面曲线围成的面积；求已知曲面围成的体积；求物体的重心；已知变速运动物体的速度、加速度，求物体运动的路程与时间的关系等。第一类、第二类问题为微分学的基本内容，属于求函数的导数问题。第三类问题为导数的应用，也是微分学的主要内容。第四类问题属于积分学的中心问题。怎样才能学好高等数学要学好高等数学，首先要了解高等数学的特点，高等数学具有三个显著的特点：高度的抽象性，严谨的逻辑性，广泛的应用性。

(1)高度的抽象性。数学的抽象性在高等数学中非常突出。我们运用抽象的数字，概念来表达客观变化的事物和规律，却并不打算每次都把它同具体的对象联系起来。

(2)严谨的逻辑性。数学的每一个定义，定理，只有当它已经从逻辑的推论上严格地被证明了的时候，才能在数学中成立。而且每门课的各章节之间又有很强的连贯性。

(3)广泛的应用性。高等数学广泛的应用性是很明显的。

一、数列的极限若数列及常数a，当n趋向于无穷大时,趋向于a时，则称xn

以a为极限，记作让我们来看一些实例：怎样来严格地刻画这个概念呢？若数列及常数a有下列关系:此时也称数列收敛

,否则称为数列发散。几何解释

:即当n>

N

时,总有记作或则称该数列的极限为a,二、无穷小量时的无穷小量。定义1.

若时,函数则称函数为当无穷小量的运算和比较*设

,

对同一自变量的变化过程为无穷小,且是的高阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小实际上，整个微、积分可以说就是无穷小量的分析。若则就是无穷小量。三、函数连续性的定义定义:在的某邻域内有定义,则称函数设函数且对自变量的增量有函数的增量：当为无穷小量时，也为无穷小量时，则称函数左连续右连续函数在点连续有下列等价命题:当时,有曲线的切线斜率曲线在M

点处的切线割线MN

的极限位置

MT(当时)割线MN

的斜率切线MT

的斜率四、导数两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.变化率问题类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限曲线的切线方程由直线的点斜式方程知函数的极大值与极小值(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,所以函数取得极值的必要条件是内有导数,且在空心邻域经济学的厂商理论里有一个称为“边际”的概念。设某厂商在组织生产时追求利润极大。令他达到利润极大时的生产量为q，产品的市场价格为p,故他的收入为pq。设他生产q的成本为c(q),则他的利润为q0当他生产q0使其达到利润极大时，他的边际利润必为零，即五、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积解决步骤:用微元法（分，粗，合，精）1)

化整为另.在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)

以常代变.在第i

个窄曲边梯形上任取并以此小作以为底,为高的小矩形,梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得3)

近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积2.

变速直线运动的路程解决步骤:1)

化整为另.2)

以常代变.得设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.已知速度将它在每个小段上n

个小段物体经过的路程为分成3)

近似和.4)取极限.上述两个问题的共性:

解决问题的方法步骤相同，即（分，粗，合，精）

:“化整为另,以常代变,近似和,取极限”

所求量极限结构式相同:

特殊乘积和式的极限。线性代数线性方程组的基本问题：

解线性方程组的基本方法是消去法，何时有无穷多解？如何求出通解（全部解）？何时无解？

何时有解何时有唯一解？

将线性方程组简化和抽象为一个数组，称为系数的增广矩阵。例如

求解线性方程组的解：

解：

注意抓好六个环节的学习

(1)预习。为了提高听课效果，在每次上高等数学课前一天，对第二天教师要讲的内容先作预习，即用少量的时间（例如，用讲课时间的10％一20％左右）自学教材。

(2)听课。课堂上听教师讲授是同学们进大学学习获得知识的一个主要环节．因此，应带着充沛的精力、带着获