计算机中的数学问题

计算机中的数学问题1第一页，共五十四页，编辑于2023年，星期一计算机中的数制了解特点；表示方法；相互间的转换。2第二页，共五十四页，编辑于2023年，星期一一、常用记数制

十进制——符合人们的习惯二进制——便于物理实现十六进制——便于识别、书写八进制3第三页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.十进制特点：以十为底，逢十进一；

共有0-9十个数字符号。表示：4第四页，共五十四页，编辑于2023年，星期一2.二进制特点：以2为底，逢2进位；只有0和1两个符号。表示：5第五页，共五十四页，编辑于2023年，星期一3.十六进制特点：以16为底，逢16进位； 有0--9及A--F共16个数字符号。表示：6第六页，共五十四页，编辑于2023年，星期一进位计数制的一般表示一般地，对任意一个K进制数S都可表示为其中：Si

--

S的第i位数码，可以是K个符号中任何一个；n,m–

整数和小数的位数；K

--

基数；Ki

--K进制数的权7第七页，共五十四页，编辑于2023年，星期一如何区分不同进位记数制的数字在数字后面加一个字母进行区分：二进制：数字后面加B,如1001B八进制：数字后面加O,如1001O十进制：一般不加,如1001十六进制：数字后面加H,如1001H在明显可以区分其记数制的情况下，可以省略数字后面的字母8第八页，共五十四页，编辑于2023年，星期一二、各种数制间的转换1.非十进制数到十进制数的转换

按相应进位计数制的权表达式展开，再按十进制求和。

例：10110010B

=(?)10

13FAH

=(?)109第九页，共五十四页，编辑于2023年，星期一2.十进制到非十进制数的转换十进制→二进制的转换： 整数部分：除2取余；小数部分：乘2取整。十进制→十六进制的转换：整数部分：除16取余；小数部分：乘16取整。以小数点为起点求得整数和小数的各个位。10第十页，共五十四页，编辑于2023年，星期一例：将十进制数25.75转换为二进制数最终结果：

2521221余数06203211210低位(靠右)停止条件:商为0转换结果:（25）10=(11001)2高位(靠左)11第十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期一3.二进制与十六进制间的转换用4位二进制数表示1位十六进制数

例：10110001001.110=(?)H

0101

1000

1001.1100

589.C

注意：位数不够时要补012第十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期一无符号二进制数的运算无符号数算术运算

有符号数逻辑运算13第十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期一一、无符号数的运算算术运算

包括：加法运算减法运算乘法运算除法运算14第十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.规则加法：1+1=0（有进位）,…减法：0-1=1（有借位）,…乘除法：…一个数乘以2相当于该数左移一位；除以2则相当于该数右移1位。

15第十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期一[例]：00001011×0100=00101100B

00001011÷0100=00000010B…11B

即：商=00000010B

余数=00000011B16第十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期一2.无符号数的表示范围一个n位的无符号二进制数X，其表示范围为

0≤

X≤2n-1若运算结果超出这个范围，则产生溢出。（或者说运算结果超出n位，则产生溢出）判别方法：运算时，当最高位向更高位有进位（或借位）时则产生溢出。17第十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期一[例]：

11111111

+00000001

100000000结果超出８位（最高位有进位），发生溢出。（结果为256，超出８位二进制数所能表示的范围255）18第十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期一3.逻辑运算与(∧)、或(∨)、非(▔)、异或(⊕)特点：按位运算，无进借位运算规则

…..例：A=10110110,B=01101011求：A∧B,A∨B,A⊕B

19第十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期一4.逻辑门逻辑门：完成逻辑运算的电路掌握：与、或、非门逻辑符号和逻辑关系（真值表）；与非门、或非门的应用。20第二十页，共五十四页，编辑于2023年，星期一与门（ANDGate）Y=A∧BABY000010100111&ABY注：基本门电路仅完成1位二进制数的运算21第二十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期一或门（ORGate）Y=A∨BABY000011101111YAB≥122第二十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期一非门（NOTGate）1AYY=AAY011023第二十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期一异或门（eXclusiveORGate）Y=A⊕BYAB⊕ABY00001110111024第二十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期一5.译码器74LS138译码器：G1G2AG2BCBAY0Y7••••译码输出译码输入译码使能25第二十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期一74LS138真值表

使能端输入端输出端G1#G2A#G2B

CBA

#Y0#Y1#Y2#Y3#Y4#Y5#Y6#Y7

01

10

11

0

100100100100100100100100

000

001010011100101110111

11111111

11111111

11111111

11111111

01

111111

1

01

111111

1

01

1111

1

1

101

1111

1

1

1

01

11

1

1

1

1

1

01111111

10

111111

1

10

第二十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期一带符号二进制数的运算计算机中的带符号二进制数把二进制数的最高位定义为符号位符号位为0

表示正数，符号位为1

表示负数连同符号位一起数值化了的数，称为机器数。机器数所表示的真实的数值，称为真值。（在以下讲述中，均以８位二进制数为例）27第二十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期一[例]：

+52=+0110100=0

0110100

符号位

数值位

-52=-0110100=1

0110100

真值机器数28第二十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.符号数的表示对于符号数，机器数常用的表示方法有原码、反码和补码三种。数X的原码记作[X]原，反码记作[X]反，补码记作[X]补。

注意：对正数，三种表示法均相同。它们的差别在于对负数的表示。29第二十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期一原码[X]原定义 符号位：0表示正，1表示负；数值位：真值的绝对值。30第三十页，共五十四页，编辑于2023年，星期一原码的例子真值X=+18=+0010010X=-18=-0010010原码[X]原=00010010[X]原=10010010符号符号位n位原码表示数值的范围是对应的原码是1111～0111。31第三十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期一数0的原码8位数0的原码：+0=00000000-0=10000000即：数0的原码不唯一。32第三十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期一反码[X]反定义

若X>0，则[X]反=[X]原

若X<0，则[X]反=对应原码的符号位不变，数值部分按位求反33第三十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期一[例]：X=-52=-0110100[X]原=10110100[X]反=1100101134第三十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期一反码的例子真值X=+18=+0010010X=-18=-0010010反码[X]反=00010010[X]反=11101101符号符号位n位反码表示数值的范围是对应的反码是1000～0111。35第三十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期一0的反码：[+0]反=00000000[-0]反=11111111即：数0的反码也不是唯一的。36第三十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期一补码定义：若X>0，则[X]补=[X]反=[X]原若X<0，则[X]补=[X]反+137第三十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期一[例]：X=–52=–0110100[X]原=10110100[X]反=11001011[X]补=[X]反+1=11001100n位补码表示数值的范围是对应的补码是1000～0111。38第三十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期一0的补码：[+0]补=[+0]原=00000000[-0]补=[-0]反+1=11111111+1=100000000

对8位字长，进位被舍掉∴[+0]补=[-0]补=0000000039第三十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期一特殊数10000000该数在原码中定义为：-0在反码中定义为：-127在补码中定义为：-128对无符号数：(10000000)２=12840第四十页，共五十四页，编辑于2023年，星期一8位有符号数的表示范围：对8位二进制数：原码：-127~+127反码：-127~+127补码：-128~+127想一想：16位有符号数的表示范围是多少？41第四十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期一2.有符号二进制数与十进制的转换对用补码表示的二进制数：

1）求出真值2）进行转换42第四十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期一[例]：将一个用补码表示的二进制数转换为十进制数。

1)

[X]补=00101110B真值为：+0101110B

正数

所以：X=+462)[X]补=11010010B

负数

X=[[X]补]补=[11010010]补=-

0101110B所以：X=

-

4643第四十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期一3.补码加减法的运算规则通过引进补码，可将减法运算转换为加法运算。规则如下：[X+Y]补=[X]补+[Y]补[X-Y]补=[X]补-[Y]补其中X，Y为正负数均可，符号位参与运算。44第四十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期一*补码的运算原理

模(module)就是一个计数系统的最大容量。例如，钟表的模为12，8位二进制数的模为28。

凡是用器件进行的运算都是有模运算，运算结果超过模的部分会被运算器自动丢弃。因此，当器件为n位时，有

X=2n+X(mod2n)不难验证，

[X]补=2n+X(mod2n)因此，

[XY]补=2n+(XY)(mod2n)

=(2n+X)+(2nY)(mod2n) =[X]补+[Y]补45第四十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期一[例]：X=-0110100，Y=+1110100，求[X+Y]补[X]原=10110100[X]补=[X]反+1=11001100[Y]补=[Y]原=01110100所以：[X+Y]补=[X]补+[Y]补=11001100+01110100=0100000046第四十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期一4.符号数运算中的溢出问题进(借)位——在加法过程中，符号位向更高位产生进位；在减法过程中，符号位向更高位产生借位。溢出——运算结果超出运算器所能表示的范围。47第四十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期一溢出的判断方法方法１：同号相减或异号相加——不会溢出。同号相加或异号相减——可能溢出：两种情况： 同号相加时，结果符号与加数符号相反——溢出；异号相减时，结果符号与减数符号相同——溢出。方法２：两个8位带符号二进制数相加或相减时，若

C7C6＝1，则结果产生溢出。C7为最高位的进(借)位；C６为次高位的进(借)位。48第四十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期一[例]：有符号数运算，有溢出表示结果是错误的无符号数运算，有进位表示结果是错误的

10110101

+10001111

101000100

01000010

+0110001110100101

01000010

+11001101

100001111CASE1:CASE2:CASE3:49第四十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期一§1.5二进制编码一、十进制数的表示——BCD码用4位二进制数表示一位十进制数。有两种表示法：压缩BCD码和非压缩BCD码。压缩BCD码的每一位用4位二进制表示，0000~1001表