行列式的计算

行列式的计算1第一页，共二十六页，编辑于2023年，星期一3.4行列式的计算

3.4.1降阶法

内容小结

3.4.2三角化方法

3.4.3归纳法

3.4.4递推法

3.4.5分拆法

3.4.6升阶法

第二页，共二十六页，编辑于2023年，星期一行列式计算常用方法有:降阶法、三角化方法、归纳法、递推法、分拆法、升阶法等.行列式计算的理论根据:行列式的按行(列)展开法则行列式初等变换的性质行列式乘积法则

3第三页，共二十六页，编辑于2023年，星期一例3.9

计算四阶行列式3.4.1降阶法应用初等变换使行列式的某行或某列的零元充分多,然后按该行或该列展开,化为低阶行列式来计算.4第四页，共二十六页，编辑于2023年，星期一解5第五页，共二十六页，编辑于2023年，星期一解将

|

A|

按第

n

行展开,得例3.10

计算

n

阶行列式6第六页，共二十六页，编辑于2023年，星期一例3.11

计算

n

阶行列式解将第

2,

3,

,

n

列都加到第一列得3.4.2三角化方法利用行列式的初等变换将其化为三角行列式.7第七页，共二十六页，编辑于2023年，星期一8第八页，共二十六页，编辑于2023年，星期一9第九页，共二十六页，编辑于2023年，星期一例3.12

计算

解

先把第一行乘以

(1)

加到以下各行,再把后面各列加到第一列.

10第十页，共二十六页，编辑于2023年，星期一3.4.3归纳法通过计算低阶行列式,发现某种规律,进而猜想k阶行列式符合这种规律,然后证明k1阶行列式也呈现此规律,这就是数学归纳法的思想.11第十一页，共二十六页，编辑于2023年，星期一

证对行列式的阶数

n

用数学归纳法.例3.13

证明

Vandermonde

行列式因为所以n

2

时,等式成立.

12第十二页，共二十六页，编辑于2023年，星期一假设等式对

n

1阶

Vandermonde

行列式

Vn

1

成立,n

1阶Vandermonde行列式则13第十三页，共二十六页，编辑于2023年，星期一因此由归纳法假设得

所以等式对所有n

2都成立.

14第十四页，共二十六页，编辑于2023年，星期一3.4.4递推法利用按行

(列)

展开法则,将

n

阶行列式化成形式相同的

n

1

阶行列式,从而建立递推关系,反复应用这个递推关系便可求出

n

阶行列式.15第十五页，共二十六页，编辑于2023年，星期一例3.14

计算解将

Dn

按第一行展开,得Dn1Dn216第十六页，共二十六页，编辑于2023年，星期一从而因故再把第二个行列式按第一列展开,得17第十七页，共二十六页，编辑于2023年，星期一于是18第十八页，共二十六页，编辑于2023年，星期一3.4.5分拆法分拆法是指利用行列式的性质将复杂的行列式分解为简单的行列式之和或之积.例3.15

计算

n

阶行列式解先将

Dn

的最后一行拆开,得19第十九页，共二十六页，编辑于2023年，星期一将y

与

z

互换,行列式Dn不变,从而20第二十页，共二十六页，编辑于2023年，星期一当

z

y

时,解得当

z

y

时,由例3.11

的结果知21第二十一页，共二十六页，编辑于2023年，星期一解

细心观察可以发现,当n3时,有例3.16

计算行列式22第二十二页，共二十六页，编辑于2023年，星期一从而当n3时,

A

0.23第二十三页，共二十六页，编辑于2023年，星期一当n1

时,显然当n2

时,有24第二十四页，共二十六页，编辑于2023年，星期一3.4.6升阶法为便于应用行列式的性质,有时在原来的行列式中添加一行一列,即把行列式的阶数增加1,这就是升阶法.升阶必须给计算带来方便,而且要求升阶后的行列式