新教材人教B版高中数学必修3课件：第七章-733-余弦函数的性质与图像

第七章三角函数7.3.3

余弦函数的性质与图像学习目标

知识梳理一、余弦函数的定义与性质

1.余弦函数的定义

2.余弦函数的性质定义域值域最值周期性单调性奇偶性零点

周期函数，最小正周期为2π

偶函数

二、余弦函数的图像

如图所示.正弦函数与余弦函数的图像形状完全相同，只是位置不同.

常考题型一、余弦函数的性质——定义域、值域1.利用余弦函数的值域求参数例1［2019·江西宜春第三中学期中］若cosx＝2m-1，且x∈R，则m的取值范围是

（）A.（-∞，1］

B.［0，+∞）

C.［-1，0］

D.［0，1］

【解题提示】（1）（2）利用整体代换法；（3）利用二次函数的性质求解；（4）先分离常数或反解出cosx，再利用-1≤cosx≤1求解.

二、余弦函数的性质——周期性

2、求余弦型函数的周期

例4求下列函数的最小正周期：y＝cos2x.解：令u＝2x，则y＝cos2x＝cosu是周期函数，且最小正周期为2π，∴cos（u+2π）＝cosu，即cos（2x+2π）＝cos［2（x+π）］＝cos2x.∴y＝cos2x的最小正周期为π.

三、余弦函数的性质——奇偶性

◆函数奇偶性的判断方法判断三角函数的奇偶性，首先要观察定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的前提下，再根据f（-x）与f（x）的关系确定奇偶性.函数解析式能化简的要化简，必须进行恒等变形.四、余弦函数的性质——单调性1.利用余弦函数的单调性，比较余弦值的大小◆利用单调性比较大小的方法单调性是对一个函数的某个区间而言的，一般按如下情况进行比较：1.比较同名的三角函数值的大小，将所给的角运用诱导公式转化到同一单调区间，在同一单调区间上运用单调性比较大小，若比较复杂，先化简；2.比较不同名的三角函数值的大小，应先化为同名的三角函数值，再进行比较.><2.利用余弦函数的单调性，求复合函数的单调区间

【答案】（1）D（2）A◆利用余弦函数的单调性，求复合函数的单调区间的方法1.形如y＝acosx+b（a≠0）的函数的单调区间当a>0时，其单调性同y＝cosx的单调性一致；当a<0时，其单调性同y＝cosx的单调性恰好相反.2.形如y＝Acos

（ωx+φ）（ω>0）的函数的单调区间当A>0时，由2kπ≤ωx+φ≤π+2kπ（k∈Z），解得函数的减区间；由-π+2kπ≤ωx+φ≤2kπ（k∈Z），解得函数的增区间.当A<0时，由2kπ≤ωx+φ≤π+2kπ（k∈Z），解得函数的增区间；由-π+2kπ

≤ωx+φ≤2kπ（k∈Z），解得函数的减区间.若ω<0，则先利用诱导公式化为ω>0的情形.3.复合函数的单调性按照同增异减进行求解.和对数有关的函数，因为要保证真数大于零，所以必须先求函数的定义域.

3.已知复合函数的单调性，利用余弦函数的单调性，求参数

五、余弦函数的图像1.五点法作余弦型函数的图像例8用“五点法”作函数y＝2cosx+1，x∈［0，2π］的简图.

x0π2πcosx10-101y31-113描点，连线，得函数y＝2cosx+1，x∈［0，2π］的简图，如图所示.

解：按五个关键点列表：x0π2π-1-1

2.图像的变换【答案】C训练题［浙江卷］把函数y＝cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是

（）

A

B

C

DA3.借助余弦函数的图像，求复合函数的定义域（解三角不等式）【解题提示】将被开方数不小于0转化为三角函数不等式，利用余弦函数图像求解.

B

4.

与余弦函数有关的函数图像的判断问题例11

［2019·甘肃武威高一检测］函数y＝xcos

x+sin

x的图像

大致为

（）

ABCD【解析】函数y＝xcosx+sinx在x＝π时为负，排除A；易知函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B；再比较C，D，不难发现当x取接近于0的正数时，y>0，排除C.【答案】

D◆函数图像的辨析方法若所给函数不是基本初等函数，没有现成的图像可供参考，则此时应对函数的定义域、奇偶性等性质进行综合分析，排除一些选项，然后通过取特殊值或研究函数值随自变量x的变化趋势来求解.

训练题

［2019·海南海口高一检测］函数y＝x2cosx的部分图像是

（）

ABCDA5.借助余弦函数的图像，解与方程相关的问题例12［2011·陕西卷］方程|x|＝cosx在（-∞，+∞）内（

）A.没有根

B.有且仅有一个根C.有且仅有两个根

D.有无穷多个根【解析】在同一直角坐标系中作出函数y＝|x|和y＝cosx的图像，如图所示.

训练题

A【点拨】研究方程根的个数问题时，如果无法解出方程，一般转化为研究两函数的图像的交点个数问题.六、余弦函数的对称性

分析：本题主要考查余弦函数图像的对称性，解本题时可用对称图形的面积相等来解决.解：由题图可以看出，直线y＝2与y＝2cosx（0≤x≤2π）围成的封闭图形的面积S＝S2+S3+S5，图形S1与S2，S3与S4分别是两组对称图形，∴S1＝S2，S3＝S4.∴S＝S2+S3+S5＝S1+S4+S5＝S矩形OABC.∵|OA|＝2，|OC|＝2π，∴

S矩形OABC＝2×2π＝