高考数学一轮复习-映射与函数课件-人教大纲版

第二章函数§2.1映射(yìngshè)与函数基础知识自主(zìzhǔ)学习要点梳理1.映射（1）定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的，在集合B中都有的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及(yǐjí)集合A到集合B的对应关系f）叫做的映射，记作f：A→B.任何一个元素唯一集合A到集合B第一页，共44页。（2）象和原象：给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的，元素a叫做元素b的.2.函数(hánshù)（1）函数(hánshù)的定义设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的，在集合B中都有，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(hánshù).记作y=f(x),x∈A.x的取值范围A叫做函数(hánshù)的，叫做函数(hánshù)的值域.象原象任意(rènyì)一个数x唯一确定(quèdìng)的数f(x)和它对应定义域函数值的集合{f(x)|x∈A}第二页，共44页。（2）函数的三要素、和.（3）函数的表示(biǎoshì)法表示(biǎoshì)函数的常用方法：、、.3.反函数（1）定义函数y=f(x)（x∈A）中，设它的值域为C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示(biǎoshì)出来，得到x=φ(y).如果对于y在C中的，通过x=φ(y)，x在A中都有和它对应，那么,x=φ(y)就表示(biǎoshì)y是自变量，x是自变量y的函数，这定义域值域对应(duìyìng)法则解析(jiěxī)法列表法图象法任何一个值唯一的值第三页，共44页。样的函数x=φ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的，记作，习惯上用x表示自变量，用y表示函数，把它改写成.（2）互为反函数的函数图象(túxiànɡ)的关系函数y=f(x)的图象(túxiànɡ)和它的反函数y=f-1(x)的图象(túxiànɡ)关于直线对称.反函数(hánshù)x=f-1(y)y=f-1(x)y=x第四页，共44页。基础自测1.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数(hánshù)关系的有 （ ）

A.①②③④B.①②③C.②③D.② 解析由映射的定义，要求函数(hánshù)在定义域上都有图 象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.D第五页，共44页。2.给出四个命题： ①函数是其定义(dìngyì)域到值域的映射；②f（x）= 是函数；③函数y=2x（x∈N）的图象是一条直线；④f（x）=与g(x)=x是同一个函数.其中正确的有 （ ） A.1个B.2个C.3个D.4个 解析由函数的定义(dìngyì)知①正确. ∵满足f（x）=的x不存在，∴②不正确. 又∵y=2x（x∈N)的图象是一条直线上的一群孤立的点，∴③不正确. 又∵f（x）与g（x）的定义(dìngyì)域不同，∴④也不正确.A第六页，共44页。3.下列各组函数(hánshù)是同一函数(hánshù)的是 （ ）第七页，共44页。解析(jiěxī)排除A；排除B；当即x≥1时,y=|x|+|x-1|=2x-1,排除C.故选D.答案D第八页，共44页。4.函数(hánshù)f(x)=3x+5,x∈［0,1］的反函数(hánshù)f-1(x)=.解析∵y=3x+5,又0≤x≤1,∴5≤y≤8,∴f(x)的反函数(hánshù)为y第九页，共44页。5.已知f（）=x2+5x,则f(x)=.

解析(jiěxī)第十页，共44页。题型一求函数的解析式【例1】（1）设二次函数f(x)满足(mǎnzú)f(x-2)=f(-x-2)，且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为 ，求f(x)的解析式； （2）已知 （3）已知f(x)满足(mǎnzú)2f(x)+=3x,求f(x).问题（1）由题设f（x）为二次函数，故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解；问题（2）已知条件是一复合函数的解析式，因此可用换元法；问题（3）已知条件中含x，，可用解方程组法求解.题型分类深度(shēndù)剖析思维(sīwéi)启迪第十一页，共44页。解（1）∵f（x）为二次函数(hánshù)，∴设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，且f(x)=0的两根为x1,x2.由f(x-2)=f（-x-2），得4a-b=0. ① ②由已知得c=1. ③由①、②、③式解得b=2,a=,c=1,∴f（x）=x2+2x+1.第十二页，共44页。第十三页，共44页。第十四页，共44页。探究提高求函数解析式的常用方法(fāngfǎ)有：(1)代入法，用g(x)代入f(x)中的x,即得到f［g(x)］的解析式；(2)拼凑法，对f［g(x)］的解析式进行拼凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可；(3)换元法，设t=g(x),解出x,代入f［g(x)］，得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法，若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；(5)赋值法，给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式.第十五页，共44页。知能迁移(qiānyí)1（1）已知f(+1)=lgx，求f（x）； (2)已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f(x-1)=2x+17，求f（x）.解(1)

（2）设f（x）=ax+b（a≠0），则3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，∴a=2，b=7，故f（x）=2x+7.第十六页，共44页。题型二分段函数【例2】设函数f(x)=若f(-4)= f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x解的个数为 （ ） A.1B.2 C.3 D.4 求方程f(x)=x的解的个数，先用待定系数(xìshù)法求f（x）的解析式，再用数形结合或解方程.思维(sīwéi)启迪第十七页，共44页。解析(jiěxī)由f(-4)=f(0),得b=4,再由f(-2)=-2,得c=2,∴x>0时，显然x=2是方程f(x)=x的解；x≤0时，方程f（x）=x即为x2+4x+2=x，解得x=-1或x=-2.综上，方程f（x）=x解的个数为3.答案C分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题，关键要抓住在不同的分段内研究问题.如本例，需分x>0时，f（x）=x的解的个数和x≤0时，f（x）=x的解的个数.探究(tànjiū)提高第十八页，共44页。知能迁移(qiānyí)2（2009·山东理，10）定义在R上的函数 f(x)满足 则f(2009)的值为 （ ） A.-1B.0 C.1 D.2解析当x＞0时，∵f(x)=f(x-1)-f(x-2),∴f(x+1)=f(x)-f(x-1).∴f(x+1)=-f(x-2)，即f(x+3)=-f(x)∴f(x+6)=f(x).即当x＞0时，函数f(x)的周期是6.又∵f(2009)=f(334×6+5)=f(5),∴由已知得f(-1)=log22=1，f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1.C第十九页，共44页。题型三函数的实际应用【例3】（12分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高(tígāo)产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高(tígāo)的比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；第二十页，共44页。（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么(shénme)范围内？准确理解题意，构建函数模型.解题示范解（1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为1+x(万元)，而出厂价为1.2×(1+0.75x)(万元)，销售量为1000×(1+0.6x)(辆).故利润y=［1.2×(1+0.75x)-(1+x)］×1000×(1+0.6x), ［4分］整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1). ［6分］思维(sīwéi)启迪第二十一页，共44页。（2）要保证本年度利润比上一年有所增加，则y-(1.2-1)×1000>0, ［8分］即-60x2+20x+200-200>0,即3x2-x<0. ［10分］解得0<x<,适合0<x<1.故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x的取值范围是0<x<. ［12分］函数的实际应用问题，要准确构建数学模型，求得函数解析式后，要写出函数的定义域（一般情况(qíngkuàng)下，都要受到实际问题的约束）.探究(tànjiū)提高第二十二页，共44页。知能迁移(qiānyí)3（2009·浙江，文15理14）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价(单位:元/千瓦时)50及以下的部分0.568超过50至200的部分0.598超过200的部分0.668第二十三页，共44页。低谷时间段用电价格表

低谷月用电量（单位：千瓦时）

低谷电价(单位:元/千瓦时)

50及以下的部分

0.288

超过50至200的部分

0.318超过200的部分0.388

若某家庭5月份(yuèfèn)的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元（用数字作答）.第二十四页，共44页。解析高峰时段的电价由两部分(bùfen)组成，前50千瓦时电价为50×0.568元，后150千瓦时为150×0.598元.低谷时段的电价由两部分(bùfen)组成，前50千瓦时电价为50×0.288元，后50千瓦时为50×0.318元，∴电价为50×0.568+150×0.598+50×0.288+50×0.318=148.4（元）.答案148.4第二十五页，共44页。思想方法感悟提高方法与技巧1.若两个函数的对应关系一致，并且定义域相同，则两个函数为同一函数.2.函数有三种(sānzhǒnɡ)表示方法——列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有代入法、换元法、待定系数法和解函数方程等，特别要注意将实际问题化归为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域，还应注意使用待定系数法时函数解析式的设法，针对近几年的高考分段函数问题要引起足够的重视.第二十六页，共44页。3.求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： (1)若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R； (2)若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；(3)若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；(4)若f(x)是由几个(jǐɡè)部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(5)若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.第二十七页，共44页。失误与防范1.建立实际问题的函数式，首先要选定变量，而后寻找等量关系，求函数解析式，但要根据实际问题确定定义域.2.判断对应(duìyìng)是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有象”和“且象惟一”.但要注意：（1）A中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多；（2）B中元素可无原象，即B中元素可有剩余.第二十八页，共44页。一、选择题1.下列四组函数(hánshù)中，表示同一函数(hánshù)的是（）定时(dìnɡshí)检测第二十九页，共44页。解析(jiěxī)答案D第三十页，共44页。2.已知f(x)=使f(x)≥-1成立(chénglì)的x的取值范围是 ()A.［-4，2）B.［-4，2］C.（0，2］D.（-4，2］解析(jiěxī)B第三十一页，共44页。3.（2009·广东(guǎngdōng)文，4）若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数，且f(2)=1,则f(x)=（）A. B.2x-2C.D.log2x解析函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)=logax,又f(2)=1,即loga2=1，所以a=2,故f(x)=log2x.D第三十二页，共44页。4.（2008·山东(shāndōnɡ)）设函数的值为 （ ）解析A第三十三页，共44页。5.（2008·陕西）定义(dìngyì)在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(-3)等于（） A.2 B.3 C.6 D.9解析f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+2×0×1 =f(0)+f(1),∴f(0)=0. f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)+2×(-1)×1 =f(-1)+f(1)-2,∴f(-1)=0. f(-1)=f(-2+1)=f(-2)+f(1)+2×(-2)×1 =f(-2)+f(1)-4,∴f(-2)=2. f(-2)=f(-3+1)=f(-3)+f(1)+2×(-3)×1 =f(-3)+f(1)-6,∴f(-3)=6.C第三十四页，共44页。6.函数f(x)=x2-2ax-3在区间(qūjiān)［1,2］上存在反函数的充要条件是（）A.a∈(-∞,1］B.a∈［2,+∞)C.a∈［1,2］D.a∈(-∞,1］∪［2,+∞)解析由二次函数的对称轴为x=a可得答案.D第三十五页，共44页。二、填空题7.某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3千米以内为起步价8元（即行程不超过3千米，一律收费8元），若超过3千米除起步价外，超过部分再按1.5元/千米收费计价，若某乘客再与司机(sījī)约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为7.4，则乘客应付的车费是元.解析车费为8+（7.4-3）×1.5=14.6≈15（元）.15第三十六页，共44页。8.（2009·北京(běijīnɡ)文，12）已知函数 若f(x)=2,则x=. 解析当x≤1时，3x=2,∴x=log32; 当x>1时，-x=2,∴x=-2(舍去).log32第三十七页，共44页。9.已知符号函数(hánshù)sgnx=解析(x+1)sgnx>2的解集是

.{x|x<-3或x>1}则不等式第三十八页，共44页。三、解答题10.已知函数f(x)和g(x)的图象(túxiànɡ)关于原点对称，且f(x)=x2+2x.（1）求g(x)的解析式；（2）解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.解（1）设函数y=f(x)的图象(túxiànɡ)上任一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P（x，y），

第三十九页，共44页。∵点Q（x0,y0）在函数y=f(x)