平面向量的坐标运算教案及平面向量的坐标运算

“平面向量的坐标运算”教学方案教学目标：知识与技能：理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量坐标的运算。过程与方法：在对平面向量坐标表示及坐标运算的学习过程中使学生的演绎、归纳、猜想、类比的能力得到发展，利用图形解决问题，也让学生体会到数形结合的思想方法解决问题的能力的重要性。情感、态度与价值观：通过本节课的学习，使学生感受到数学与实际生产、生活的密切联系，体会客观世界中事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点。教学重点：平面向量的坐标表示及坐标运算。教学难点：平面向量坐标表示的意义。教学方法：结合本节课的目标要求、重难点的确定以及学生实际思维水平，教学设计中采取启发引导、类比归纳、合作探究、实践操作等教学方法。教学手段：投影仪、多媒体软件教学过程1.情境创设教师借助多媒体动画演示人站在高处抛掷硬物的过程作为本节课的问题情境引入课题，引导学生注意观察硬物下落轨迹，提出问题：结合同学们的生活常识及物理学知识，想一想硬物的速度可做怎样的分解？学生回答：速度可按竖直和水平两个方向进行分解设计目的：情境与生活联系，激发学生学习兴趣，同时为下面展开的知识做好铺垫。2.展开探究问题一：平面向量的基本定理内容是什么？教师请一学生回答，同时投影出示其内容。问题二：向量能不能象平面坐标系中点一样给出坐标表示呢？我们如何表示更加合理呢？组织学生谈论，给出各种想法，教师做点评归纳。投影展示：将一任意向量a置于直角坐标系中，给出向量的起点、终点坐标，并提出问题问题三：既然向量的起点和终点的坐标是确定的，那么向量也可以用一对实数来表示吗？设计目的：此问题引发学生联想，对平面向量坐标表示方法具有指导性作用。教师讲授：在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y，使得a=xi+yj,我们把叫做向量a的（直角）坐标，记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标，(x,y)式叫做向量的坐标表示。3.深化理解一.平面向量坐标表示的的理解提出问题：(1)、如果以原点O作为起点作一向量OA=a（投影动画同步演示），那么点A的位置是否可以唯一确定呢？(2)、点A的坐标与向量OA的坐标之间有什么关系？(3)、两个向量相等的充要条件利用坐标如何进行表示呢？(4)、如果我们将一个平面向量在直角坐标系中作任意平移（不该表大小和方向），那么它的坐标会改变吗？组织学生以小组为单位展开探究交流活动

，在讨论后回答上述问题，可师生共同完善答案，归纳如下:(1)

、点A的位置受向量OA决定，唯一确定。(2)、以原点O为起点的向量OA的坐标和终点A的坐标事完全相同的。(3)、两个平面向量相等的充要条件是两个向量的坐标相同。(4)、在直角坐标系中平面向量在大小和方向不变的前提下自由移动，它们的坐标就是相同的。设计目的：让学生在合作探究中去主动学习，不仅锻炼了解决问题的能力，还培养了探究协作的能力。出示练习：用基底i、j分别表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标（图略）。教师让学生独立完成，之后借助投影让个别学生展示完成情况，教师点评。设计目的：增进了所学新知的内化。二、平面向量的坐标运算提出问题：通过以上研究，我们了解了平面向量的坐标表示，向量是可以进行运算的，如何运用所学的知识进行两个向量的和与差的坐标表示及实数与向量积的坐标表示呢？投影出示：已知向量a=（s，t），b=(m,n)，求向量a+b，a-b,λa的坐标

学生展开讨论，可能给出多种推导方法，教师要耐心给与点评，并做最后归纳。（1）向量加减法的坐标等于向量坐标的加减法。（2）实数与向量的积的坐标等于是属于向量坐标的积。

（3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点坐标教师提问：设AB是表示向量a的有向线段，点A(s,t)，B(m,n)，那么向量a的坐标如何表示？学生结合向量坐标运算可得出答案，a=(m-s,n-t)，教师强调一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。设计目的：此环节教师充当引导者，以学生为主体，让学生在讨论思考中享受成功的快乐。4.例题剖析例1、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点D的坐标，使这四点成为平行四边形的四个顶点。教师给学生充足时间独立思考，适当时可提示作图理解，而变式对学生来说难度增大，要鼓励学生大胆尝试，独立求解，并提示要考虑图形的多种画法。设计目的：通过例题和变式综合考查学生对本节所学知识的理解和掌握程度，也促进学生应用知识解决问题的能力。5.课堂小结请学生对本节课内容作归纳，不足之处师生补充完善，最后教师作总结式说明。1.向量的坐标表示是向量的另一种表示形式，也可以称之为向量的代数表示，其背景是平面向量的基本定理。2.向量的坐标表示为我们进行向量的运算提供了方便。3.向量的坐标表示使得我们借助数的运算对图形的几何性质展开研究，体现了数形结合思想方法的应用。前面我们还学习了这留待我们下一节再来研究。6.布置作业（1）.课后习题（2）如何运用向量坐标来表示和判定共线向量呢？让学生预习下节内容。7.板书设计平面向量的坐标运算1.平面向量的坐标例1变式定义解：解：（1）（2）（3）2.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算一、知识精讲1．平面向量的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝xi＋yj，则把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标．记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示．(2)在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．3．平面向量的坐标运算向量的加、减法若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)．即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)实数与向量的积若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标向量的坐标已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，即向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标4．两个向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.[小问题·大思维]1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．2．已知向量＝(－1，－2)，M点的坐标与的坐标有什么关系？提示：坐标相同但写法不同；＝(－1，－2)，而M(－1，－2)．3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量．4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变．5．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，是否有eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)成立？提示：不一定．由于eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)的意义与x1y2－x2y1＝0的意义不同，前者不允许x2和y2为零，而后者允许，当x1＝x2＝0，或y1＝y2＝0或x2＝y2＝0时，a∥b但eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)不成立．二、典例精析例1、如图所示，已知△ABC，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标．变式练习：若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)bB.eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)bC.eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b D．－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b答案：B例2、已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及＝＋t.(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由．保持例题条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？变式练习：已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标．(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标．例3、已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？保持例题条件不变，是否存在实数k，使a＋kb与3a－b平行？变式练习已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？例4、(1)已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，(1)求证：A，B，C三点共线；(2)设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？变式练习设A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？例5、如图所示，已知点A(4,0)，B(4，4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．变式练习：在△AOB中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，＝eq\f(1,4)，＝eq\f(1,2)，AD与BC交于点M，求点M的坐标．三、课后检测一、选择题1．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；②a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；③若a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O；④若a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．其中，正确结论的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：由平面向量基本定理可知，①正确；②不正确．例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的始点是不是原点无关，故③错误；a的坐标与终点坐标是以a的始点是原点为前提的，故④错误．答案：B2．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，若ma＋nb＝(10,0)(m，n∈R)，则()A．m＝2，n＝4 B．m＝3，n＝－2C．m＝4，n＝2 D．m＝－4，n＝－2解析：∵ma＋nb＝m(3，－1)＋n(－1,2)＝(3m－n，－m＋2n∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m－n＝10，,－m＋2n＝0，))∴m＝4，n＝2.答案：C3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量A．(2,6) B．(－2,6)C．(2，－6) D．(－2，－6)解析：∵四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋∴d＝－6a－4b＋4答案：D4．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)满足(ka＋b)∥c，则k＝()A．3 B．－3C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)解析：ka＋b＝(k－1，k＋1)，由(ka＋b)∥c，得2(k－1)－4(k＋1)＝0，解得k＝－3.答案：B5．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))C．(3,2) D．(1,3)解析：令D(x，y)，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－0＝3－－1，,2y－2＝1－－2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝\f(7,2).))∴顶点D的坐标为(2，eq\f(7,2))．答案：A6．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝()A．13 B．－13C．9 D．－9解析：＝(－8,8)，＝(3，y＋6)．∵∥，∴－8(y＋6)－24＝0.∴y＝－9.答案：D7．已知a＝(－2,1－cosθ)，b＝(1＋cosθ，－eq\f(1,4))，且a∥b，则锐角θ等于()A．45° B．30°C．60° D．30°或60°解析：由a∥b得－2×(－eq\f(1,4))＝1－cos2θ＝sin2θ，∵θ为锐角，∴sinθ＝eq\f(\r(2),2)，∴θ＝45°.答案：A二、填空题8．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)，且a∥b，则tanθ＝________.解析：∵a∥b，∴2sinθ＝cosθ－2sinθ.即4sinθ＝cosθ，∴tanθ＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.解析：a＋b＝(2－1，－1＋m)＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c，得1×2－(m－1)×(－1)＝0，即m＝－1.答案：－110．已知点A(－1，－1)、B(1,3)、C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有＝λ＋(1－λ)，λ∈R，则x＝______.解析：取点O(0,0)，由＝λ＋(1－λ)，得(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－λ＋1－λ，,5＝－λ＋31－λ.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,x＝2.))答案：211．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________________．解析：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设点B坐标为(x，y)，则AB→＝(x－1，y－2)＝b.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2λ＝x－1，,3λ＝y－2，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－2λ，,y＝3λ＋2.))①又B点在