线性系统的数学模型

线性系统的数学模型第一页，共三十八页，编辑于2023年，星期一§2-1线性系统的输入-输出时间函数描述一、线性系统输入-输出微分方程描述的建立（机理分析法）例1机械位移系统第二页，共三十八页，编辑于2023年，星期一例2R-L-C系统第三页，共三十八页，编辑于2023年，星期一其中n＞＝m微分方程的一般形式：第四页，共三十八页，编辑于2023年，星期一描述线性定常系统的微分方程为：实验辨识方法的理论依据：C(t)=H(t)r(t)假设线性系统是定常的，初始条件为零或初始状态为零，其响应和输入之间满足齐次和线性关系，即：二、脉冲响应（实验辨识法）第五页，共三十八页，编辑于2023年，星期一给定输入是单位脉冲函数时实验辨识基本原理脉冲函数的表达式为：A为脉冲面积或脉冲强度。脉冲强度A=1时的脉冲函数记为，令并求取极限，则称为单位脉冲函数。，令第六页，共三十八页，编辑于2023年，星期一零初始条件的线性定常系统的输入δ(t)，得到的输出称为系统的单位脉冲响应，也称为权函数，记作g(t)。第七页，共三十八页，编辑于2023年，星期一§2.2线性系统的输入—输出传递函数描述为什么采用传递函数来描述？微分方程描述不直观、求解困难。线性常微分方程经过拉氏变换，即可得到系统在复数域中的数学模型，称之为传递函数。将单位脉冲响应g(t)的曲线转换成相应的传递函数。表示其输入输出关系。第八页，共三十八页，编辑于2023年，星期一R(s)输入r(t)的像函数，即输入函数的拉氏变换；C(s)输出c(t)的像函数，即输出函数的拉氏变换。传递函数——初始条件为零的线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。几点说明：只适用于线性定常系统。是系统的动态数学模型。分母的阶数一定高于分子的阶数。(为什么？）有惯性元件和受到功率的限制第九页，共三十八页，编辑于2023年，星期一一个传递函数只能表示一个输入量对一个输出量的关系。单输入-单输出系统，若多输入多输出要采用传递函数矩阵。传递函数可以表示成有理分式，也可以表示成零极点表示的形式。也可以表示成时间常数的形式相似原理:有相同的数学模型，有相同的运动形态第十页，共三十八页，编辑于2023年，星期一§2-3非线性数学模型的线性化非线性方程难于求解，用线性数学模型近似表示非线性数学模型。在一定工作范围内进行线性化处理。将非线性函数在平衡点附近展成泰勒级数，并忽略高次项。例：直流发电机X轴表示励磁电流Y轴表示输出电势由于存在磁路饱和，y和x呈非线性关系y=f(x)可以在(x0,y0)附近泰勒级数

第十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期一忽略高次项，然后用增量表示经上述处理后，就变成了线性方程。第十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期一上述方法称为小偏差线性化方法。它是基于这样一种假设：输入量和输出量只是在静态工作点附近作微小变化。几点注意：(1)只适用于不太严重的非线性系统，其非线性函数是可以利用泰勒级数展开的（非本质非线性）。(2)实际运行情况是在某个平衡点(即静态工作点)附近，且变量只能在小范围内变化。(3)不同静态工作点得到的方程是不同的。(4)对于严重的非线性，例如继电特性，因为处处不满足泰勒级数展开的条件，故不能做线性化处理。(5)线性化后得到的是增量微分方程。第十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期一§2-4

典型环节的数学模型

比例环节

如：刚性杠杆(水位控制中的杠杆)、理想运放、测速发电机的电压与转速的关系

特征：输入输出成比例，不失真，无延迟

控制系统数学模型的处理方法：使用简单的典型的环节模型，通过串、并联组成复杂系统。第十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期一

惯性环节如：R-C、R-L、励磁环节特征：输出不能立即跟随输入的变化

--惯性环节时间常数。越大，响应越慢。R-C串联电路与直流电压接通，电容上电压建立过程。第十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期一

积分环节微分方程输入不为零则输出无限增加，一旦输入为零，输出不回零，而是保持在输入为零时刻的值（记忆）。第十六页，共三十八页，编辑于2023年，星期一

微分环节

特征：输出与输入的变化成正比（预测功能）带惯性微分环节

实际：一阶微分环节微分方程第十七页，共三十八页，编辑于2023年，星期一

振荡环节如：R-L-C、弹簧阻尼系统特征：具有一般系统的特征，输出会振荡1>ζ>0第十八页，共三十八页，编辑于2023年，星期一

纯滞后环节特征：输出是输入的延迟如：传送带、间隙等G（s）=第十九页，共三十八页，编辑于2023年，星期一§2-5框图及其化简方法一、框图（方块图或结构图）的基本概念

把方块图和传递函数结合起来，是描述系统各组成元件之间信号传递关系的一种数学图形。结构图既给出了信息传递的方向又给出了输入、输出信号的拉氏变换的定量关系。即C(s)=R(s)G(s)。第二十页，共三十八页，编辑于2023年，星期一二、结构图的组成和建立由四种基本图形符号组成。（1）函数方块(2)信号线(3)分支点(引出点)（4)综合点(比较点或相加点)第二十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期一系统结构图的建立第二十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期一三框图变换和化简1、环节串联G(s)=G1(s)*G2(s)C(s)=G2(s)*C1(s)=G2(s)*G1(s)*R(s)常用的结构图变换方法有二：一是环节的合并，二是信号分支点或综合点的移动。原则是：变换前、后的数学关系(输入量、输出量）保持不变。第二十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期一

负载效应问题上图中，后一个网络的输入接到前一个的输出，由于存在负载效应，就不能进行上述的变换，即第二十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期一G(s)=G1(s)+G2(s)2、环节并联3、反馈联接C(s)=G1(s)*[R(s)±G2(s)*C(s)]整理得.请注意这里的符号！第二十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期一4、引出点的移动

始终保持输出不变第二十六页，共三十八页，编辑于2023年，星期一5、相加点的移动

同样，始终保持输出不变第二十七页，共三十八页，编辑于2023年，星期一四、方框图简化

引出点前移引出点交换G4(s)输入不变

下一步怎样移？第二十八页，共三十八页，编辑于2023年，星期一按前移做—变为无交叉的两部分：反馈相加G(s)第二十九页，共三十八页，编辑于2023年，星期一§2-6信号流图一、基本概念是一种将线性代数方程用图形表示的方法。支路有三个特点：联接有因果关系的节点；有方向性；有加权性。第三十页，共三十八页，编辑于2023年，星期一二、术语和定义节点：表示变量或信号的点。支路：起源于一个节点，终止于另一个节点，这两个节点之间不包含或经过第三个节点。出支路：离开节点的支路。入支路：指向节点的支路。源(节)点：只有出支路的节点，对应于自变量或外部输入，如x0。汇节点：只有入支路的节点，对应于因变量，如x6

。第三十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期一开通道：如果通道从某节点开始终止在另一节点上，而且通道中每个节点只经过一次，则该通道称为开通道。通道：又称路径，从一个节点出发，沿着支路的箭头方向相继经过多个节点的支路。混合节点：节点既连接入支路又连接出支路。闭通道：如果通道的终点就是通道的始点，并且通道中每个节点只经过一次，该通道称为闭通道或反馈环、回环、回路等。如果从一个节点开始，只经过一个支路又回到该节点的，称为自回环。第三十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期一前向通道：在开通道中，从源节点开始到汇节点终止，而且每个节点只通过一次的通道，称为前向通道。不接触回环：如果一些回环没有任何公共节点，就称它们为不接触回环。支路传输：两个节点之间的增益。通道传输或通道增益：沿通道各支路传输的乘积。回环传输或回环增益：闭通道中各支路传输的乘积。第三十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期一混合节点的消除回路的消除自回路的消除串联支路的合并并联支路的合并三、信号流图的简化第三十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期一四、梅逊(Mason)公式及其应用梅逊公式为：T—从源节点到任何节点的传输；Pk—第k条前向通道的传输；Δ—信号流图的特征式ΣL1—为所有不同回环的传输之和；ΣL2—为任何两个互不接触的回环传输的乘积之和；ΣL3—为任何三个互不接触的回环传输的乘积之和；ΣLm—为任何m个互不接触的回环传输的乘积之和；Δk—为余子式，即从Δ中除去与第k条前向通道Pk相接触的回环的回路增益后余下的部分特征式。第三十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期一四、梅逊(Mason)公式及其应用梅逊公式为：T—从源节点到任何节点的传输；Pk—第k条前向通道的传输；Δ—信号流图的特征式ΣL1—为所有不同回环的传输之和；ΣL2—为任何两个不互不接触的回环传输的乘积之和；ΣL3—为任何三个不互不接触的回环传输的乘积之和；ΣLm—为任何m个不互不接触的回环传输的乘积之和；Δk—为余子式，即从Δ中除去与第k条前向通道Pk相接触的回环的回路增益后余下的部的特征式。第三十六页，共三十八页，编辑于2023年，星期一例1L2=abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij

1-31-41-52-42-53-55-6L3=abefijL1=ab+cd+ef+gh+ij+kfdb回环6个：两个互不接触回环7对：三个