集合与函数的概念章末总结

1/142一、集合的概念与表示，集合间的关系与运421．理解用描述法表示的集合中元素的属性是解决集合问题的重要基本功．(2)集合A是直线y＝x上的点的集合，集合B是抛物线y＝x2的图象上点的集合，∴A∩B是方程组〈|(y＝x的解为坐|y＝x2Venn关系与运算能起到事半功倍的效果．44∴结合数轴可知－∴结合数轴可知－≤－1，∴p≥4.4UUU()U在A圈外，B圈内，又(∁A)∩(∁B)＝{a，e}，∴a，e填在A、B两圈外，只剩下一元素c不能填在上述三个位置，故UU3．含字母的集合的相等、包含、运算关系问题常常要进行分类讨论．讨论时要特别注意集合元素的互异性．bb|a2＝1|a＋b＝1|b＝0，|b＝0，4．空集是任何集合的子集，解题时要特别注意．4414.14.1/1[例7](1)如果全集U＝{x|x2－5x－6<0，x∈N}，A＝{2,3}，B＝{1,3,5}，则∁(A∪B)＝________，A∩∁B＝＋UUA．1B．－1[解析](1)∵U＝{x|(x－b)(x＋1)<0，x∈N}＝{x|－1<x<6，x∈N}＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,2,3,5}，＋＋UU二、函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值及应用1．解决函数问题必须首先弄清函数的定义域为[0，＋∞)．2．求复合函数的定义域，关键是深刻理解“函数的定义域是使函数有意义的自变量x的允许取值范围”．221故所求定义域为[2，1]．3．熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数和y＝Vx等的图象特征．熟练判断函数的单调性、奇偶性，了解常见对称特征和平移．a图形即可．三、注重数学思想与方法的提炼与掌握，养成自觉运用数学思想与方法分析解决数学问题的思维习惯．数形结合的思想(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如下图所示f(x)在区间[－3，－1]，[0,1]上为减函数，在[－1，0)，[1,3]上为增函数．|f(x)>0|f(x)<0yaxyxa数a的取值范围是()|a>1|a<－12．函数与方程的思想函数与方程可以相互转化，注意运用函数与方程的思想解决问题掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布b讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)(※)的根的分布情况可以用(1)判别式(Δ＝b2－4ac)与韦达定理(x1＋x2＝－a，cx1·x2＝a)或(2)构造函数(f(x)＝ax2＋bx＋c)结合图象和求根公式两种思路来讨论．①方程(※)有两不等实根⇔Δ>0，方程(※)有两相等实根⇔Δ＝0，方程(※)无实根⇔Δ<0，方程(※)有实数解②方程(※)有零根⇔c＝0.|x1x>12|x1x>12Δ≥0..Δ≥0|x1x2<0|－2a>0.1212⑥方程(※)的两根都在区间A＝[m，n]内(A是其它区间时类似讨论)⇔|f(m)≥0f(n)≥01212|f(n)<0，..4b4b.一元二次方程根的分布比较复杂，以上仅列出了一些常见情形，只要抓住根的判别式、韦达定理、根的表达式和相应的图象，进行综合考察，总能顺利解决．A．奇函数而不是偶函数B．偶函数而不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数xA．k>0B．k<－4CkD．k<－4或k>032323232323323∴23．分类讨论的思想在求解数学问题中，遇到下列情形常常要进行分类讨论．概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；限制条件引起的分类．⑤由实际问题的实际意义引起的分类．⑥数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同的结果．⑦较复杂的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的．⑧由图形的不确定性引起分类|ly＝－y2|ly＝y2，|ly＝1|ly＝－1，A＝B,0∈B，即是解题的突破口．4．转化与化归的思想在处理问题时，把待解决或难解决的问题，采用某种手段通过某种转化过程，将问题进行变换和转化，归结为一类已经解决或容易解决的熟知问题，进而实现解决问题的目的，就是转化与化归的思想方法．这种思想方法一般总是将复问题转化为容易求解的问题，从而找到解决问题的突破口，转化在高中数学中具有神奇的威力，要在今后的学习中不断体A．a≤2B．a≥－2CaD．a≤－2或a≥2()bfagagbfbfagagb23211f3211fafbgbgaA．①④C①③B．②③D．②④[解析]本题中的函数比较抽象，直接根据已知条件来选正确结论有困难，不妨将满足条件的函数具体化．fC32k32539329514，316，2D14，316，23232216，295∴k∈[－]．∴选95∴k∈[－]．∴选D.222②若本题中，将“……有实根”改为“……有两个不等实根”，就不能利用上述转化方法．因为即使k在y＝x2－x232的值域内，也不能保证方程有两不等实根，此时，一般应通过画出函数y＝x2－x(－1≤x≤1)的图象，用数形结合法32[分析]解决这类问题应去掉抽象函数符号，利用等价转化思想，化为普通函数．12212111[点评]1.赋值法是讨论抽象函数问题中的常用方法，利用单调性化去函数符号“f”是解决函数不等式的主要方法．5．换元法117171171772∴函数的值域是(－∞，]．2tt的值域即得原函数的值域，用换元法解题，换元后一定要先确定新元的取值范围．单调性来解．7．待定系数法8．关于对称与平移[解析]由f(x)是偶函数可知，f(x)与x轴的n个交点的横坐标，即f(x)＝0的n个根x，x，x…x中，若有一根123n12n在x轴右侧，则必有关