工学结构力学课件9

2023/6/51第九章位移法2023/6/52§9-1位移法的基本概念ABCPθAθA荷载效应包括：内力效应：M、Q、N；位移效应：θAABCPθAθA附加刚臂附加刚臂限制结点位移，荷载作用下附加刚臂上产生附加力矩施加力偶使结点产生的角位移，以实现结点位移状态的一致性。ABC2023/6/53ABCPθAθA实现位移状态可分两步完成：分析：1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束力；2）在附加约束上施加外力，使结构发生与原结构一致的结点位移。2023/6/54位移法基本作法小结:（1）基本未知量是结点位移；（2）基本方程的实质含义是静力平衡条件；（3）建立基本方程分两步——单元分析（拆分）求得单元刚度方程，整体分析（组合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量;（4）由杆件的刚度方程求出杆件内力，画弯矩图。ABABCPCPA关于刚架的结点未知量2023/6/551MABMBA§9-2等截面杆件的刚度方程一、由杆端位移求杆端弯矩（1）由杆端弯矩MABMBAlMABMBA利用单位荷载法可求得设同理可得1

杆端力和杆端位移的正负规定①杆端转角θA、θB，弦转角

β＝Δ/l都以顺时针为正。②杆端弯矩对杆端以顺时针为正对结点或支座以逆时针为正。EI2023/6/56EIMABMBAlMABMBA（2）由于相对线位移引起的A和B以上两过程的叠加我们的任务是要由杆端位移求杆端力，变换上面的式子可得：2023/6/57ΔθAθB用力法求解单跨超静定梁X1X2Δ1/l1/lX2=112M1MX1=11令2023/6/58可以将上式写成矩阵形式12342023/6/59AMAB几种不同远端支座的刚度方程（1）远端为固定支座AMABMBA因B=0，代入(1)式可得（2）远端为固定铰支座因MBA=0，代入(1)式可得AMABMBA（3）远端为定向支座因代入（2）式可得lEIlEIlEI2023/6/510由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。单跨超静定梁简图MABMBAQAB=QBA4i2iθ=1ABAB1AB10ABθ=13i0ABθ=1i－i02023/6/511二、由荷载求固端反力mABEIqlEIqlmBA

»在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角位移方程）：2023/6/512§9-3位移法的基本体系一、超静定结构计算的总原则:

欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。

力法的特点：基本未知量——多余未知力；基本体系——静定结构；基本方程——位移条件（变形协调条件）

位移法的特点：基本未知量——

基本体系——

基本方程——

独立结点位移平衡条件？一组单跨超静定梁2023/6/513二、基本未知量的选取2、结构独立线位移：（1）忽略轴向力产生的轴向变形---变形后的曲杆与原直杆等长；（2）变形后的曲杆长度与其弦等长。上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。

CDABCD12每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：1、结点角位移数：结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。2023/6/514线位移数也可以用几何方法确定。140

将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。2023/6/5158m4mii2iABCD3kN/mF1PABCDF2PABCD1F11F21ABCD2F12F2222F11+F12+F1P=0………………(1a)F21+F22+F2P=0………………(2a)三、选择基本体系四、建立基本方程2023/6/5161.5i3(2i)2i4i2ABCDF12F22F11+F12+F1P=0………………(1a)F21+F22+F2P=0………………(2a)ABCD1F11F21ii2i=1k11k21=1k12k22=0………..(1)=0………..(2)k111+k122+F1Pk211+k222+F2Pk2104i6ik111.5ik12k22k11=10ik21=-1.5ik12=-1.5i2023/6/517F1PABCDF2P4kN`·m4kN·mMPF2P040F1P-6F1P=4kN·mF2P=-6kN位移法方程：六、绘制弯矩图4.4213.625.691.4M(kN·m)ABCD五、计算结点位移2023/6/518k111+k122+

··········+k1nn+F1P=0

k211+k222+··········+k2nn+F2P=0

··································kn11+kn22+

··········+knnn+FnP=0

121=1k11k21k12k222=1k11×0+k21

×1

k21=k12=k12

×1+k22

×0kij=kji具有n个独立结点位移的超静定结构：第四节无侧移刚架的计算

1、无侧移刚架基本未知量的判定：

结构上刚结点的独立角位移数=结构上的自由刚结点数

其位移法基本未知量等于：(a)(b)(c)(d)返回说明：1）强调：位移法基本未知量是结构中自由结点上的独立结点位移。对于无侧移刚架来说，结点上的独立角位移是自由刚结点上的角位移。

3）直杆的突变截面处视为刚结点。

2)结构的自由刚结点，指连接了两个及两个以上杆件的刚结点。注意刚结点处也会有支座链杆，见图（c）。2、位移法解无侧移刚架

例9-4-1

试用位移法计算图(a)所示连续梁，并作梁的弯矩图。

(a)解1)确定位移法基本未知量图(b)

(b)2)由结点B的平衡条件建立位移法典型方程

3)绘出刚臂发生单位位移的弯矩图和荷载作用下的弯矩图

4)利用静力平衡条件计算各系数和自由项

5)求解典型方程，得到基本未知量6）叠加作梁的弯矩图，见图(f)

(f)7）利用隔离体平衡条件，做剪力和轴力图例9-4-2

用位移法计算图(a)所示刚架，绘M图。

(a)解1)刚架有两个角位移未知量z1、z2，见图(b)所示。

(b)2)建立位移法方程

3)计算系数；求解方程；绘制弯矩图见图(c)。

4)校核(c)有侧移刚架第五节有侧移刚架的计算

有结点独立线位移未知量的刚架。

侧移结点线位移使某些杆件两端沿其杆轴线垂直方向发生相对线位移。1、结构线位移未知量的判断

(a)(b)(c)(d)

由两个已知不动点引出轴线不在一条线上的两根受弯直杆（或刚性链杆）相交的一点也是不动点。这里所说得不动点，指无线位移的结点。

附加链杆法

(a)(b)(a)(a1)(b)(b1)(b2)用附加链杆法判断结构的线位移未知量，一般先考虑杆端交于（刚接或铰接）一点的两根杆件，两杆的另一端应至少有一端是不动点（固定端或固定铰）。

说明：例9-5-1

判定图示结构的位移法基本未知量。

(a)(a1)(a2)(b)(b1)(b2)说明：1)轴向刚度条件对于曲杆不适用。

(d)(d1)(c)2、位移法解有侧移刚架例9-5-2

用位移法计算图(a)所示刚架，并作刚架的剪力图、弯矩图。

已知，L=6m，q=4kNm。

(a)解：1)确定位移法基本未知量

(b)2)由平衡条件建立位移法典型方程

3)绘出刚臂发生单位位移的弯矩图和荷载作用下的弯矩图

4)利用静力平衡条件计算各系数和自由项

5)求解典型方程，得到基本未知量6)计算杆端弯矩和剪力，绘内力图

(c)(d)FQ图(kN)

M图(kNm)

例9-5-3

用位移法计算图(a)所示刚架，并作弯矩图。

(a)解：1)确定位移法基本未知量(b)2)由平衡条件建立位移法典型方程

3)绘出刚臂发生单位位移的弯矩图和荷载作用下的弯矩图

4)利用静力平衡条件计算各系数和自由项

5)求解典型方程，得到基本未知量6)计算杆端弯矩和剪力，绘内力图

第六节

位移法的对称性利用

例9-6-1

利用对称性，计算图示刚架，并作弯矩图。

(d)(e)(f)(g)由图(f)、(g)计算：

代入位移法方程求解：

计算杆端弯矩：

（上侧受拉）

（上侧受拉）

（下侧受拉）

（左侧受拉）

（右侧受拉）

(h)正对称荷载下弯矩图（kNm）

2）反对称荷载下的计算

(i)(j)(k)(l)代入位移法方程求解：计算杆端弯矩：

（上侧受拉）

（上侧受拉）

（右侧受拉）

（左侧受拉）

反对称荷载下弯矩图（kNm）

最后弯矩图（kNm）

3)叠加绘结构最后弯矩图

(a)

(b)

(c)

(d)

例9-6-2

确定图示对称结构的位移法基本结构。(a1)正对称变形图

(a2)反对称变形图

解考虑对称轴（即中柱）上结点C为铰接点，并考虑由于中柱只产生轴力，在相应的半刚架中去掉不影响结构弯矩计算。因而有正、反对称半刚架见图(a1—2)、(a2—2)。(a1—1)

(a1—2)

(a2—1)

(a2—2)

(b1)正对称变形

(b1—1)

(b1—2)

(b2—1)

(b2—2)

(b2)反对称变形

(c1)正对称变形

(c1—1)

(c2—2)

(c2—1)

(c2—2)

(c2)反对称变形

(d1—1)

(d1反对称变形

)

(d1—2)

(d2反对称变形

)

(d2—1)

(d2—2)

§9-7有侧移的斜柱刚架

对于有侧移的斜柱刚架在计算上的特点是，确定基本结构发生线位移时与平行柱的区别,见图a和图b。

对于图a，在单位线位移作用下，两平行柱的两端相对线位移数值相同，且都等于1，而横梁仅平行移动，其两端并无相对线位移，故不弯曲。而对于图b则就不同了，在单位线位移作用下，杆AB、CD的垂直线位移不等于1，水平杆BC的两端产生了相对线位移，发生弯曲变形。因此，在非平行柱刚架中，在单位线位移作用下：（1）柱与横梁发生弯曲；（2）各杆端垂直于杆轴线的相对线位移亦各不相同。

如何确定对于斜柱刚架在当结点发生线位移时各杆两端的相对线位移？以下面图所示一具有斜柱刚架发生结点线位移的情为例来说明。

应该注意到，各杆的线位移虽然不同，但它们是互相有关的。确定当结点发生单位线位移时各杆两端的相对线位移，可采用作结点位移图的方法。首先将刚结点改为铰，然后观察在单位线位移条件下各结点的新位置及由此所产生的线位移数值方向。

图a：结点A的线位移垂直于杆AB，其水平位移分量为1。由此可确定B的新位置。当机构ABCD作机动时，杆CD将绕铰D转动，故铰C的位移必垂直于杆CD。于是在的作用下，杆BC将最终占有位置。杆件BC的运动可分解为平移（从BC到）与转动（从到）。因此，各杆的相对线位移为（图b）：作结点位移图的方法（图b）如下所述：

只需直接作出三角形即可。其方法为：任选一点O代表位移为零的点，如A、D点，称为极点。按适当比例绘出，然后作OB垂直于杆AB；再过B点作杆BC的垂线；又过O点作杆CD的垂线，便得出交点C。在此图中，向量OB、OC即代表B、C点的位移，而AB、BC、CD则代表AB杆、BC杆、CD杆两端的相线位移。则图b称为结点位移图。例5-3由图d得：杆AB两端相对线位移为，杆CD两端相对线位移由图f得：由图g得：由图h得由图i得由图j得将各系数和自由项代如位移法基本方程，得按叠加法绘最后弯矩图试用位移法计算图示结构，并作弯矩图。EI=常数。第八节力法和位移法的联合应用§9-8-1联合法用位移法计算图a所示结构，绘制弯矩图。E=常数。

联合法：上述这种求解同一问题时，联合应用力法、位移法求解的方法，称为联合法。

注意点：用联合法求解对称结构时，每个半结构的计算简图的求解是很方便的，但从半结构的结果，利用对称性和进行叠加时必须细心，否则将前功尽弃。§9-8-2混合法

前面介绍的超静定结构的解法，即使是联合法，对每一个计算简图选用基本结构未知量都是相同性质的，但对图示结构，不管是用位移法或力法，其位知数数目均7个，手算是不可能的。

分析：左边“主厂房”部分一次超静定，但独立位移有5个。由边“附属厂房”部分独立位移只有2个，而超静定次数为六次。如果左边部分以力作未知量，右边部分以位移作未知量，混合用两类未知量的总未知量只有3个，如图所示。下面说明混合法解题思路

此例说明,解决问题不能墨守成规，要深刻理解和掌握力学概念、原理和方法，在此基础上灵活应用知识，才能既好又省地解决问题。95§9-9支座移动和温度改变时的计算基本方程和基本未知量以及作题步骤与荷载作用时一样，只是荷载引起的固端反力一项不同。lliiABCΔliD5.1M图一、支座移动时的计算96lliiABCΔlliiABClliiABCΔ/2Δ/2Δ/2Δ/2li