第六节直接证明与间接证明

第六节直接证明与间接证明第一页，共四十九页，编辑于2023年，星期一第二页，共四十九页，编辑于2023年，星期一一、直接证明第三页，共四十九页，编辑于2023年，星期一内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的

，最后推导出所要证明的结论从要

出发，逐步寻求使它成立的

，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件，定理，定义，公理等)为止．实质由因导果(顺推证法)执果索因推理论证成立证明的结论充分条件第四页，共四十九页，编辑于2023年，星期一内容综合法分析法框图表示文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证…即证…第五页，共四十九页，编辑于2023年，星期一二、间接证明反证法：假设原命题

(即在原命题的条件下，结论不

成立)，经过正确的推理，最后得出

，因此说明假设错

误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．不成立矛盾第六页，共四十九页，编辑于2023年，星期一1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的(

)A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．等价条件答案：A第七页，共四十九页，编辑于2023年，星期一2．用反证法证明命题“如果a＞b，那么

时，假设的

内容是(

)答案：D第八页，共四十九页，编辑于2023年，星期一3．P=

(m、n、a、b、

c、d均为正数)，则p、q的大小为(

)A．p≥qB．p≤qC．p＞qD．不确定第九页，共四十九页，编辑于2023年，星期一答案：B解析：q==p.第十页，共四十九页，编辑于2023年，星期一4．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a、b

中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为________．答案：a、b都不能被5整除第十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期一5．若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，则在a＋b,2，a2＋b2和2ab中最大的是________．解析：法一：a＋b＞2，a2＋b2＞2ab，a＋b－(a2＋b2)＝a(1－a)＋b(1－b)＞0，∴a＋b最大．法二：特值法，取a=，计算比较大小．答案：a＋b第十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期一第十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期一1．综合法证不等式时，以基本不等式为基础，以不等式的

性质为依据，进行推理论证．因此，关键是找到与要证

结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质．2．综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，

推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又

叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的

演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，

才能保证结论的正确性．第十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期一证明不等式：x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋xz.第十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期一所要证明的不等式左右两边是和的形式，利用不等式a2+b2≥2ab,然后再求和即可.第十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期一【证明】

∵x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz，x2＋z2≥2xz，∴2x2＋2y2＋2z2≥2xy＋2yz＋2xz，∴x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋xz.第十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期一1．若a、b、c是不全相等的正数，求证：lg＋lga＋lgb＋lgc.第十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期一证明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，又上述三个不等式中等号不能同时成立．

>abc成立．上式两边同时取常用对数，得lg>lgabclga＋lgb＋lgc.

第十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期一1．分析法也是中学数学证明问题的常用方法，其主要过程

是从结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件．第二十页，共四十九页，编辑于2023年，星期一2．分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分析，

逐渐地靠近已知事实．用分析法证“若P则Q”这个命题的模式是：为了证明命题Q为真，这只需证明命题P1为真，从而有…这只需证明命题P2为真，从而有……这只需证明命题P为真．而已知P为真，故Q必为真．第二十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期一【注意】用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则容易出错．第二十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期一已知非零向量a⊥b，求证：第二十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期一a⊥ba·b=0,利用a2=|a|2.第二十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期一【证明】∵a⊥b，∴a·b＝0.要证，只需证：|a|＋|b|≤|a－b|，平方得：|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证：|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立.故原不等式得证.

第二十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期一2.设a，b均为正数，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.第二十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期一证明：法一：(分析法)要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立，只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立.又因为a＋b＞0，只需证a2－ab＋b2＞ab成立.又需证a2－2ab＋b2＞0成立，即需证(a－b2)＞0成立.而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立，由此命题得证.第二十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期一法二：(综合法)a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2＞0⇒a2－2ab＋b2＞0⇒a2－ab＋b2＞ab.(*)而a，b均为正数，∴a＋b＞0，由(*)式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，∴a3＋b3＞a2b＋ab2.第二十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期一第二十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期一1.反证法是间接证明问题的一种常用方法，其证明问题的一般

步骤为：(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命

题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导

出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的

事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的

谬误.既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立.(结论成立)第三十页，共四十九页，编辑于2023年，星期一2.用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈

现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，

反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作

为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，

不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与

假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.第三十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期一3.常见的“结论词”与“反设词”如下：原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立第三十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期一原结论词反设词原结论词反设词至少有n个至多有n－1个p或qP且

q至多有n个至少有n＋1个p且qP或

q第三十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期一在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a、b、c三边的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°.

第三十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期一直接证明∠B＜90°有一定困难，可考虑利用反证法.第三十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期一【证明】假设∠B＜90°不成立，即∠B≥90°，从而∠B是△ABC的最大角，∴b是△ABC的最大边，即b＞a，b＞c.

相加得矛盾.故∠B≥90°不成立.

第三十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期一3.若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋b＝y2－2z＋求证：a，b，c中至少有一个大于0.第三十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期一证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0.

＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋(π－3)≤0.①又∵(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，π－3＞0.∴(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋(π－3)＞0.②①式与②式矛盾，所以假设不成立，即a，b，c至少有一个大于0.

第三十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期一第三十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期一数学证明题是锻炼学生思维能力和优化人的大脑的体操，在高考中占据重要地位，除在立体几何中考查空间位置关系的判定外，还常与函数，数列、圆锥曲线相结合进行考查，2009年福建高考第21题就是很好的代表.第四十页，共四十九页，编辑于2023年，星期一(2009·福建高考)已知函数f(x)＝＋ax2＋bx，且f′(－1)＝0.(1)试用含a的代数式表示b；(2)求f(x)的单调区间；(3)令a＝－1，设函数f(x)在x1、x2(x1＜x2)处取得极值，记点M(x1，f(x1))，N(x2，f(x2)).证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M，N的公共点.第四十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期一[解]

(1)依题意，得f′(x)＝x2＋2ax＋b.由f′(－1)＝1－2a＋b＝0得b＝2a－1.(2)由(1)得f(x)＝＋ax2＋(2a－1)x，故f′(x)＝x2＋2ax＋2a－1＝(x＋1)(x＋2a－1).令f′(x)＝0，则x＝－1或x＝1－2a.①当a＞1时，1－2a＜－1.第四十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期一当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，1－2a)(1－2a，－1)(－1，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)单调递增单调递减单调递增第四十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期一由此得，函数f(x)的单调增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－2a，－1).②当a＝1时，1－2a＝－1.此时f′(x)≥0恒成立，且仅在x＝－1处f′(x)＝0，故函数f(x)的单调增区间为R.③当a＜1时，1－2a＞－1，同理可得函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调减区间为(－1,1－2a).第四十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期一综上：当a＞1时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－2a，－1)；当a＝1时，函数f(x)的单调增区间为R；当a＜1时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调减区间为(－1,1－2a).第四十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期一(3)