第一届大学生数学竞赛(数学类)考题及答案

第第#页第二届中国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案

（数学类）一、（10分）肢E£ 0=叼w田=a4-八也/伊=。,1,，证那£三上？产,存在、且£为方程了一f=u的唯一根一鼻明:注意到|仲］用二|005工|工L由中值定理，我们有|xiti工一百in引MF—9卜VJij-pR.…… （2分）所以kn+-2一上计1|=|£。加4+1— <£|ill+l—Jaj,tL=0, 2 H分）从而可■羯pil+1—u|三三卜I—,r；o|7年门=0-Li2.一---，是级数y（xTL+1-zj绝对收敛,从而£=Ibu/存在.™=o 伸分）对于递推式$+1—a+e*Utl两边取极限即得£为了一E而的根. '门进一"步.设V也是H—E印2=唐即可一£占皿叩=4工的根.则k-if\=1|占浙£一济出川W乖一小所以由£亡（仇1）可得"三£,即£—e占im=<l的恨唯一.证毕%二.（15分）设方=0复方阵h……………H-a-a8%二.（15分）设方=0复方阵1030\0州⑷：-证明父=B无解।这里X为三阶未知0U/第1页（共吕页）

证明：反证法一设方程有解.即存在复矩阵.4使得A±=B. 四分）我们注意到B的特征值为性且其代数重数为3. H分）设工为月的一个特征值,则修为B的特征值.阳以人=山从而」的特征值均为加T是A/o1的Ja山山标准型只可能为Ji=o\’00（］'%10、00G5M-000或,000J,00Oj便分）（10分）从而㈤的.Jutdaii标准型只能为内=君=若或办=总- （12 分）因此4的秩不大」：L与©=，的鞅为2矛盾.所以父=日无解.证格 脑分）a.（io分）设。匚曲」是凸区域，函数代工、加是凸函数.证啊或否定：〃工,切在D上连续.拿函数」（工而为凸函数的定义是M让E也1）以及（卬飘）,（孙驰）W□.成立/（斑］+（1-㈤如，附1+（1—&］我）＜在『出,）+（L一心）」（的曲）.证明:结论成立一我们分两步证明结论一（i）对于6A0以及,口一人出十可上的一元凸函数皿:，容易验证廿工W（工0—%1口+不）：北口1一9伍一力巨城工）一4工口）、如:0+——现如）

d x-;eq- 6第？页（共8页） - -……（2分）从而。（工）一贝印）<。（如十，—加工口）+贝3）一贝⑪一3 ”丘（亚一珀+㈤TOC\o"1-5"\h\z±—1:Q - & J由此即得9业）在与连续一一般地，可得开区间上的一元凸函数连续一 . . （4 分）（i）设（3如QD.则有力》0使得国三［-?□—。一工口+同k麻一反杷4C/-'. - （5 分）注意到固定」•或g时、〃八切作为一元函数都是凸函数.由（i）的姑捻J1」；♦加［3｛：「r*+』）-J（」；，曲——）都是上E［j,o—反上口+上的连续函数-从而它们有界，即存在常数）口便得l/d优+6一/（/他）1 我）一/（均部一01］1］（上白十一的）一/（『M种）|+|“5的）一一人如）12 y~…—一<M、 里工W［工口一也.「;口~|~3］-第3页（共四页）TOC\o"1-5"\h\z - - --（7 分）进f由（i）的鳍论，对于佃闻日跖|八4动一 口，加）1.IM哪）一，（/如）1+I*%跑陷/（如物）1『八」（工，如+6—穴与驮>）11If",如）一『（曲典一可I、1 .E1 3 + 3 2—加八/的+色⑹一,（工□，对| |〃工如对一『（工白一4卯）h+1 & + 3 ）〃一同<一也十一纲|+1心|上一上北于是旧舟］在匾对连续.证电 .（10 分）□四、（10分］设，（工）在［0,1］上R沁［［ttinn可积.在工=1■可导，/（I）=0h/，口）=&证明二 ।ILinrrIjti/（j;JiZf：=—a.eTrJo证明；记.V=sup|/（^）|<+e.令「（©=f（x）—/（I）—出—1）=/⑴—仃任—1）.则由Peano型的Tayloi展式可得Ve>0、35£。1），使得当d工工£1时、|响|EE（1-0一 - - --（2 分）我们有ri 『5 fi/工”/（出dt=/工呼（出心+/ —1）+/工〜（工）dzh h J』 Js=Ni：%+jRi.-小分）注意到a j犷+i 产+4）（也+1）［"+2）”In+1. “+2J第1页（共E页）

以及以及E]_Etl(1—ill：<f/a;Ti(l—x)dt=7 -Tj—h 仙+l)G.+a)我们有liin酎凡|=4TtfhX>Ihn +口|=0r1f+g以及liinpr/?j|<e.TJ_t+r 3分)所以 Iliiiit(~I工dr+u<E.Ti-i-bcu为由上式及e*。的任意性即得—U.Innn~—U.1TT+加证毕.(W分)玉、（15分）已知二次曲面£（非退枇）过以下九点一*1人外以1耶,.□3—I,一明口心西山），石冏1,2）,尸居一2,T）,G（O」,4）,H（3,—1,—为上的封雷翳;向N是哪一类曲面？解答:易见,4.B,C共线.。.E、F共线. 但分）而只有两种二次曲面上可能存在共线的三点：单叶双曲面和双曲抛物面. W分）然后,可以看到直线ABC和直线口EF是平行的.且不是同一条直线一 H分）第3页（共旧页）这就又排除了双曲抛物面的可能（双曲抛物面的同族直母线都异面.不同族直母线都相交），所以只可能是单叶双曲面一 "分）注:这个曲面其实是（不要求学生写出方程式）（工—4+/-丁=1.4六、（20分）设-4为川，TA实矩阵（未必对称），对任一T』雒实向量a三的,.…为J>0（这里0r表示0的转置），且存在出维霞向量3,使得§ApT=a同时对任意71擘实向量2E和心当工出「卢0时有上4旷十部亚T*0.证明：对任意以维实向量吗都有tU3T=0.证明；取任总实数n由膻没知值十r3）.tr.f切1>0. ……岱分）即加月6+/vA3+r,3Ji?’+t'JA_3'之CL .….（12分）亦即■uAt?十 +民4"）十t*3」才岂Cl 四分）若小尹*0,则有vA3t+.办/,0.因此可取适当的实数,使得,口分？十,「（必.3■+办/\+产'<C.M.证毕. -…•.（20分）七、（10分）馁/在区徇［0,1］上由em皿可税0</<L求证：对任轲£>化存在只取值的分段（段数有限）常值函数加出.使得V反再C此昂（〃工［一9（工））0,《匚

第6页（共g页）TOC\o"1-5"\h\z …… （5 分）1- 1■1t1 £1对「Q工。<日工1,设非负整数小三F满足—£口<二-</?<二ta n-rt n则/U㈤-斌6）必工/“1/3一$口）1&%|£（『㈤一g㈤）五+七If㈣一9收）|必W]rIiLr4。：I1dr9工二<E,Ji证早一 ｛比分）□八.（10分）已知w（QE）t@+叩）是一个严格单调下降的述续函数,满是11EEI卡⑴=+8一若TOC\o"1-5"\h\z/4-8 r+»I 炉（0由= =g<H-dOjJo Jo其中gT表小w的反函数.求证；F*E f48 1FgmF由+ [，飞）广曲至”lJo Jo 上镰即令P=广,⑴小、Q=广平一山）山，/=□—P—Q,其中网=公 （2 分）第了页（共8页）主K炉一""山）=：（口一口）*=>-（f.时」（I）」八儿 / # 1因此r之~+切+加+可9 '7/之r-rz（，+F）［，+Q）=l（QFdlk1白「汽q■（Mr5）2.? （6 分）））'dt1+G则“咫易见可取到越当的AM满是P=Q；广（砌"证毕一第g页 .伊分）= -J从而■iri卜广gg . （W 分）口（共8页）首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答

（数学类，2009）考试形式；闭卷考试时间:L也分神满分；分,题号—■二四去七总分蹒分15201510101515100得分注:意工I、所有答题都须写‘在此试卷纸密封纸右边.写在其它城上-律无效.得分评阅人3密封线左边清刻答题.密封战外不得椁姓名及相关标记一—I（15分）求经过三平行直践心二#=了=工心：工一1=丁=£十1,4；上=¥+1=二一1的圆柱面的方■程,幅•先求质柱面的轴A的方胆由己知条件易知,阿柱面母线的方向是Z= 且胭柱面经过点00.5G.过点已且垂直于£=。,1」）的平IIII需的上，［'i-.'J：_r+尸+E=：，；. 1.3分）工与三已知直线的交点分别为炉旧口口）ELd-11仪必-LD （5分）阑柱面的铀4是到这三点等距高的点的机进.MJ1十•'+/=（J-17十/+O+1/

j+'+^-='+（y+1/十（1一1）2即.T-^=1 .L« i,□4b1J_E=_I将％的方程哉为标排方程.1—1=尸+1=君J圆柱面的半径即为平行直线工=尸=不和H-1=尸+1=£之间的距离.用L-L,。）弟】明.1林6页）

/"J I■口’1Ci■■■-■■■■- - - - - -.... - -■‘I-jJ1")4qI .「I门工与5IIJJXI对圆柱面上任意一点发工外刀，有 = 即IHI IffI(-k^-l-Z-1/-k(.1- (一.14-V-\-i)2=ft.所以•所求网柱而的方程为:.1-一,「+[■—jy-J'i— —3.r+3y=0.得分评阅人二、120分）设仁上"足/X”得分评阅人<0的复数域白上的线性空向，,'=一九一门（<0的复数域白上的线性空向，,'=一九一门（1）假设A=,若月产=.证明：，.尸十矶产，一十%人巾㈡）求厂"的子空间门门一U）的证明：记U）的证明：记d=（由色〉・「%）.〃=/尸FiL+…+al\F十金11月\要证明时二金.只需证明内与川的各个列向量涧应相等即可.若以弓记第，个基本单位列向量.于是，只需证明！时每个人八明量.于是，只需证明！时每个人八明=：=%].（2分）若记炉=〔一%-,计一叫儿则/=（为+0+…+%户3注意到।C工） （6分）(1Q竹j知4/弓--FMe、—/X%-月产片=工6

=知产2八=FM〃\=卢=月户■=从口斯“=必严\、=产M=尸/=//•5%=」心

I1/ J I I. I iV所跳，A/=A. 门4分）（2）解；由Cl）i,e（F\=工加叭瓦£产,「产］、 （16分）设吒E+r/+巧/'+…+%/七、门,等式两边同右乘勺，利用⑴得月翻丘—t=」口上片+丁1#金+i2F，，\+■■+.i—［产\八=凡力十*小十人遍十一十 n3分）因丐1今-％线性无关.故.％=\=JT?=…=.1^1=0 分、所以，瓦卢「尸।级性无关.因此.£/"7• 是G用的基，特别地,dim£，/■■）=". i20#）幅分评阅人三、U5分）假设尸是鱼数域仃上用维畿性空间（:r>0），f、g是H上的线性变换.如果塞--=/,证明；/的特征值都是OrH人身有公共特征向理，证明：假设必是/的特征值.即是相应的特征子空间.即即1二轨En/⑺=}.「是.印在/下是K变的 11分）卜面先证明.4=。.任取非零〒三城,记加为使得用#⑷）,1旧，…小线性相关典最小的非负整数.于是，当口0/0M-1时.内算时入/H）,，、短口）缱性无美，….位分）g工，£初-1时令叱=步用VI{也名⑺T/⑺5…［4*"）1厘中F%=［的居此.dimtfj=i）.并且，匕=忆|=其取=•「显然.学（町）匚町「特别胆，匕在.下是不变:的， I4分）下面证明，匕在/下也是不变的，事炭上，由/⑺=入心知—0⑺十贝镰=&翼分t釉 h#）第3页（,共占更、

庚讪）=螃⑹十至⑸=虱飞鼠⑴+4初+日京⑺h=5审-[疗j十24用⑵）十%同 .伯分）根据左⑺。醒I⑵"麻I⑺—篇吗隐瞧7sx巧）用归纳法不难证明，虑」卬）一定可以表示成成■办1（办…,J⑺的我性组合.且表示式中.⑴）亩的系数为4. [日分）我1此.咚在/下也是不变的./在心上的限制在基上卡⑴上一⑺J,•「岸/I中下的矩阵是上三角矩阵，且对角绩元素都是人,因而,这一限制的选为网友口口分）由于席-寸=>在K上仍然成立，而定-"的迹一定为零，故行&=口■期用u=Cl -1I—,｝"J任取”用,由于/⑺=日,启（m=》（w+/⑺=#网+/（力=日,所以，得分评阅人公共特征向最,名旧乂庠据此.能在屋F是不•变的.从而.在HF」存在#的特旬向量r这也是/,用的■■■---■- ■ ■--.- - 'I:'『公共特征向最,四一10分）设｛£⑶｝是定义在出句匕的无声次可微的函数序列且逐点收敛，并在[鼻勾上漪足京5区疗.（1）证明｛£（可｝在[国句上一致收敛；（2）设，犷=罂£⑶，间/[»是否一定在卜团上处处可导+为什么？证明mv^>o,将区叫〃闷*等分，分点为七丝N,』=。/2…，江.位A得空〈看.由于｛£，©｝在有.限个点｛七｝“=。1%]£上收敛，因此加占旧“小川，便得M（号）-4）卜三对每个/=0,12…,尤成立 已分｝J-是V.vgE^Z?],设.TE[.%.%r则|£（月—〃.华匕⑶—几卬卜匕⑵一£%）卜词.=匕y引十匕―-尔卜网旧少卜（?勿十oL2、d' £.…㈠分） i6分）f则/（-r）=£但在上不能保证处处可导J国分）得分评阅人1L、f1=匕y引十匕―-尔卜网旧少卜（?勿十oL2、d' £.…㈠分） i6