2020高考数(理)一轮复习课时训练：第2章函数的概念与基本初等函数Ⅰ12

【课时训练】第12节函数模型及其应用一、选择题1．(2018德阳一诊)将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent，假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等．若再过mmin甲桶中的水只有eq\f(a,4)L，则m的值为()A．5 B．8C．9 D．10【答案】A【解析】∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝eq\f(1,2)a，可得n＝eq\f(1,5)lneq\f(1,2)，∴f(t)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(t,5))，因此，当kmin后甲桶中的水只有eq\f(a,4)L时，f(k)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(k,5))＝eq\f(1,4)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(k,5))＝eq\f(1,4)，∴k＝10，则m＝k－5＝5.2．(2018安徽淮南模拟)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是()【答案】C【解析】由三视图可知，该容器上部分为圆台下部分是一个与上部分形状相同的倒放的圆台，所以水面高度随时间的变化为先慢后快再慢的情况．故选C.3．(2018北京西城模拟)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg[H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的eq\f([H＋],[OH－])可以为(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,10)【答案】C【解析】∵[H＋]·[OH－]＝10－14，∴eq\f([H＋],[OH－])＝[H＋]2×1014，∵7.35<－lg[H＋]<7.45，∴10－7.45<[H＋]<10－7.35，∴10－0.9<eq\f([H＋],[OH－])＝1014·[H＋]2<10－0.7，10－0.9＝eq\f(1,100.9)>eq\f(1,10)，lg(100.7)＝0.7>lg3>lg2，∴100.7>3>2，10－0.7<eq\f(1,3)<eq\f(1,2)，∴eq\f(1,10)数)．(1)试用x表示S，并求S的取值范围；(2)求总造价T关于面积S的函数T＝f(S)；(3)如何选取|AM|，使总造价T最低(不要求求出最低造价)?【解】(1)在Rt△PMC中，显然|MC|＝30－x，∠PCM＝60°，|PM|＝|MC|·tan∠PCM＝eq\r(3)(30－x)，∴矩形AMPN的面积S＝|PM|·|AM|＝eq\r(3)x(30－x)，x∈[10,20]，∴200eq\r(3)≤S≤225eq\r(3).(2)矩形AMPN健身场地造价T1＝37keq\r(S)，又∵△ABC的面积为450eq\r(3)，∴草坪造价T2＝eq\f(12k,\r(S))(450eq\r(3)－S)．∴总造价T＝T1＋T2＝25keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(S)＋\f(216\r(3),\r(S))))，200eq\r(3)≤S≤225eq\r(3).(3)∵eq\r(S)＋eq\f(216\r(3),\r(S))≥12eq\r(6\r(3))，当且仅当eq\r(S)＝eq\f(216\r(3),\r(S))，即S＝216eq\r(3)时等号成立，此时eq\r(3)x(30－x)＝216eq\r(3)，解得x＝12或x＝18.答：选取|AM|为12米或18米时总造价T最低．12．(2018福建三明第一中学期中)某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似地表示为：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－80x2＋5040x，x∈[120，144，,\f(1,2)x2－200x＋80000，x∈[144，500，))且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【解】(1)当x∈[200,300]时，该项目获利为S，则S＝200x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－200x＋80000))＝－eq\f(1,2)(x－400)2，∴当x∈[200,300]时，S<0，因此，该项目不会获利．当x＝300时，S取得最大值－5000，∴政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损．(2)由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：eq\f(y,x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2－80x＋5040，x∈[120，144，,\f(1,2)x－200＋\f(80000,x)，x∈[144，500.))当x∈[120,144)时，eq\f(y,x)＝eq\f(1,3)x2－80x＋5040＝eq\f(1,3)(x－120)2＋240，∴当x＝120时，eq\f(y,x)取得最小值240.当x∈[144,500)时，eq\f(y,x)＝eq\f(1,2)x－200＋eq\f(80000,x)≥2eq\