高中数学必修四导学案31两角和与差的余弦公式

【学习目标】1．经受用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.2．通过简洁运用，初步理解公式的结构及功能，为建立其它和〔差〕公式打好根底.【要点梳理】要点一：两角差的余弦公式1．两角差的余弦公式的推导：〔1〕如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，它们的终边与单位圆的交点分别为，那么由向量数量积的概念，有，结合向量数量积的坐标表示，有所以=〔*〕〔2〕由以上的推导过程可知，是任意角，那么也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，〔*〕中的。为此，我们争论如下：由于是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角，使。①假设，那么。②假设，那么，且由以上的争论可知，对于任意的，都有：=2．公式的记忆右端为的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反。要点诠释：(1)公式中的都是任意角。(2)差角的余弦公式不能按安排律绽开，即。(3)要正确地识记公式结构，公式右端的两局部为同名三角函数积，左端为两角差的余弦。要点二：两角差余弦公式的逆向应用和活用1．逆用：=要点诠释：公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在许多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由能快速地想到。2．角变换后使用:。3．移项运用:,4．特别化使用:5．以代，即【合作探究】探究一：利用差角的余弦公式进行证明例1．求证：〔1〕〔2〕【思路点拨】〔1〕用代，利用两角差的余弦公式绽开。〔2〕利用及两角和的余弦公式可证得。【证明】〔1〕==〔2〕====【变式1】证明：=====探究二：利用两角差的余弦公式化简三角函数式例2．化简：【解析】原式。【总结升华】化简三角函数式是为了更清晰地显示式中所含量之间的关系，以便于应用公式。对于三角函数式的化简，要求：〔1〕能求出值的应求出值；〔2〕使三角函数的种类最少；〔3〕使项数尽量少；〔4〕尽量使分母中不含有三角函数；〔5〕尽量使被开方数不含有三角函数。对于此题我们看到，化简前与化简后相比，化简后明显简洁得多，而且关系也清晰得多。【变式2】化简：。【解析】原式=====探究三：利用差角的余弦公式求值例3．求值：〔1〕〔2〕〔3〕cos(－35°)·cos(25°+)+sin(－35°)·sin(25°+)；【思路点拨】〔1〕利用求解〔2〕利用两角差的余弦公式〔3〕把－35°和25°+看作一个整体，利用两角差的余弦公式。【解析】〔1〕==〔2〕原式〔3〕原式。【总结升华】两角差的余弦公式中，，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体，如〔3〕中的〔〕可视为一个整体。分析题目特点，构造两角的差，然后应用两角差的余弦公式，是常见题型。例4．【思路点拨】假设绽开，又由，从而可得出关于的方程求解.经观看：，故又可直接由代入求解.【解析】由由故【总结升华】认真分析角与角之间的关系是利用两角差的余弦公式求值的关系，解这类题时要“一看角、二看名、三看结构〞。【课外提高】1．=〔C〕．2．，那么=〔B〕3．假设，，那么的值为〔B〕A．B．C．D．14．平面对量a＝(cosα，s