北师大版九年级数学上册《相似三角形的性质》第1课时示范公开课教学课件

4.7相似三角形的性质第1课时北师大版九年级数学上册

三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.1.什么叫相似三角形?复习回顾2.我们已经学习了哪些相似三角形的判定方法？定义法：三角分别相等、三边成比例.判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.

判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.3.如果两个三角形是相似三角形，那么能得到什么关系？两个三角形的对应角相等.两个三角形的对应边成比例.相似三角形中其他的对应线段有什么关系呢？复习回顾

如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房梁△A'B'C'，CD和C'D'分别是它们的立柱.

(1)△ACD与△A'C'D'相似吗？为什么？如果相似，

指出它们的相似比.

合作探究△ACD∽△A'C'D'.理由是：∠A=∠A'，∠ADC=∠A'D'C'=90°.相似比是1∶2.△ABC∽△A'B'C'∴∠A=∠A'

如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房梁△A'B'C'，CD和C'D'分别是它们的立柱.(2)如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？合作探究由CD∶C'D'=1∶2，得C'D'=2CD=3cm，即模型房的房梁立柱高3cm.已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC

与△A'B'C'的相似比为k；(1)它们对应高的比是多少？A′B′C′ACB想一想证明：分别过A'和A作△A'B'C'与△ABC的高A'D'和AD，∴∠ADB=∠A'D'B'=90°.

又有∠B＝∠B'，∴△ABD∽△A'B'D'.∴类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比．D′D对应高的比都等于相似比.相似三角形对应高的比等于相似比.A′B′C′ACB证明：分别作△A'B'C'与△ABC中∠B'A'C'和∠BAC的平分线A'D'和AD.∵∠B'A'C'=∠BAC，∴∠B'A'D'=∠BAD.

又∵∠B＝∠B'，∴△ABD∽△A'B'D'.∴类似的，我们可以得到其余两组对应角平分线的比也等于相似比．D′D想一想对应角平分线的比都等于相似比.相似三角形对应角平分线的比等于相似比.已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC

与△A'B'C'的相似比为k；(2)它们对应角平分线的比是多少？A′B′C′ACB证明：分别作△A'B'C'与△ABC中B'C'和BC边的中线A'D'和AD.∵B'C'=BC，∴B'D'=BD.

又∵∠B＝∠B'，AB=A'B'，∴△ABD∽△A'B'D'.∴类似的，我们可以得到其余两组对应中线的比也等于相似比．D′D想一想对应中线的比都等于相似比.相似三角形对应中线的比等于相似比.已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC

与△A'B'C'的相似比为k；(3)它们对应中线的比是多少？归纳相似三角形的性质定理

相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.对应高的比对应中线的比对应角平分线的比都等于相似比.相似三角形的性质议一议

如图，已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC

与△A'B'C'的相似比为k；点D、E在BC边上，点D'、E'在B'C'边上.(1)若

，则

等于多少？

证明：∵△ABC∽△A′B′C′，则∠B'=∠B，

∠B'A'C'=∠BAC，

而

∴∠B'A'D'=∠BAD，则有△ABD∽△A'B'D'.

∴

提示：通过△ABC∽△A'B'C'，找到角度对应相等的条件，证明△ABD∽△A'B'D'，再通过相似比求出.

如图，已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC

与△A'B'C'的相似比为k；点D、E在BC边上，点D'、E'在B'C'边上.(2)若

，则

等于多少？

证明：∵△ABC∽△A′B′C′，则∠B'=∠B，

而

∴，即∴△ABE∽△A'B'E'.

∴

提示：通过△ABC∽△A'B'C'，找到边对应相等的条件，结合夹角相等，证明△ABE∽△A'B'E'，再通过相似比求出.议一议

如图，已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC

与△A'B'C'的相似比为k；点D、E在BC边上，点D'、E'在B'C'边上.(3)你能提出哪些问题？与伙伴交流.

提示：问题(1)中，若将

换成

，结论还成立吗？若换成

呢？

证明：∵△ABC∽△A′B′C′，则∠B'=∠B，

∠B'A'C'=∠BAC，

而

∴∠B'A'D'=∠BAD，则有△ABD∽△A'B'D'.

∴议一议

如图，已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC

与△A'B'C'的相似比为k；点D、E在BC边上，点D'、E'在B'C'边上.(3)你能提出哪些问题？与伙伴交流.

提示：问题(2)中，若将

换成

，结论还成立吗？若换成

呢？

证明：∵△ABC∽△A′B′C′，则∠B'=∠B，

而

∴，即∴△ABE∽△A'B'E'.

∴议一议相似三角形对应线段的比等于相似比典型例题

由已知条件中两个垂直关系可证得SR∥BC，则可证得△ABC∽△ASR，从而得到两个三角形的相似比，再利用相似三角形的高的比等于相似比，求出AE的长，从而算出DE的长.

例

如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当时，求DE的长.如果

呢？BAERCDS典型例题

例

如图，AD是△ABC的高，AD=h,点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当时，求DE的长.如果

呢？BAERCDS∴△ASR∽△ABC

(两角分别相等的两个三角形相似).解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，

∴SR∥BC.

∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.

∴

(相似三角形对应高的比等于相似比)，当

时，得解得当

时，得

解得随堂练习1.△ABC∽△A'B'C'

，BD和B'D'

是它们的对应中线，已知

，B'D'

=4cm，则BD=

cm.62.△ABC∽△A'B'C'

，AD和A'D'是它们的对应角平分线，已知AD=8cm，A'D'=3cm,则△ABC

与△A'B'C'

的对应高之比为

.8∶3随堂练习3.如图，AD是BC边的高，点I，H在BC边上，点G在AC上，点F在AB上，BC=60cm，AD=40cm，四边形FGHI是正方形，则(1)△AFG与△ABC相似吗？为什么？(2)求正方形FGHI的边长.解：(1)△AFG与△ABC相似.∵四边形FGHI是正方形，

∴FG∥BC.∴∠AFG=∠B，∠AGF=∠C.∴△AFG∽△ABC.随堂练习3.如图，AD是BC边的高，点I，H在BC边上，点G在AC上，点F在AB上，BC=60cm，AD=40cm，四边形FGHI是正方形，则(1)△AFG与△ABC相似吗？为什么？(2)求正方形FGHI的边长.(2)∵△AFG∽△