高中数学苏教版必修四教学案第1章12任意角的三角函数

第1课时任意角的三角函数如图，直角△ABC.问题1：如何表示角A的正弦、余弦、正切值？提示：sinA＝eq\f(a,c)，cosA＝eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b).问题2：如图，锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P(a，b)，作PM⊥x轴，如何用图中的数据表示sinα，cosα，tanα？提示：∵PM⊥x轴，∴△OPM为直角三角形，∴|OP|＝eq\r(|OM|2＋|PM|2)＝eq\r(a2＋b2)，∴sinα＝eq\f(|PM|,|OP|)＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosα＝eq\f(|OM|,|OP|)＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，tanα＝eq\f(|MP|,|OM|)＝eq\f(b,a).在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r(r＝eq\r(x2＋y2)>0)规定：三角函数定义定义域正弦sinα＝eq\f(y,r)R余弦cosα＝eq\f(x,r)R正切tanα＝eq\f(y,x){α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}问题1：由三角函数的定义知sinα在什么条件下函数值为正？提示：α的终边在第一、二象限或y轴正半轴．问题2：tanα在什么状况下为负数？提示：因tanα＝eq\f(y,x)，那么x、y异号为负数，即α的终边在二、四象限为负数．三角函数值在各象限内的符号，如下图：如图，由单位圆中的三角函数的定义可知sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x).问题：sinα是否等于PM的长？假设不等，怎样才能相等？提示：不肯定，可能等于PM的长，也可能等于PM长的相反数，把MP看成有向线段即可．1．有向线段规定了方向(即规定了起点和终点)的线段．2．有向线段数量依据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量．3．单位圆圆心在原点，半径等于单位长度的圆．4．三角函数线设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M.(1)那么有向线段MP、OM就分别是角α的正弦线与余弦线，即MP＝sinα，OM＝cosα；(2)过点A(1,0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边或角α终边的反向延长线交于点T，那么有向线段AT就是角α的正切线，即AT＝tan_α.1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关．2．三角函数值的符号，用角α的终边所处的位置确定，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦〞．3．正弦线、余弦线、正切线这三种三角函数线都是一些特别的有向线段，是与坐标轴垂直的线段．这些线段分别可以表示相应三角函数的值，它们是三角函数的一种几何表示．[例1]角α的终边上有一点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值．[思路点拨]由三角函数的定义求三角函数时，应先确定α终边位置．由于含有参数a，而a的条件为a≠0，所以必需对a进行分类争论．[精解详析]∵x＝－3a，y＝4a，∴r＝eq\r(－3a2＋4a2)＝5|a|.当a>0时，r＝5a，角α为其次象限角，∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(4a,5a)＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－3a,5a)＝－eq\f(3,5)，∴2sinα＋cosα＝2×eq\f(4,5)－eq\f(3,5)＝1.当a<0时，r＝－5a，角α为第四象限角，∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(4a,－5a)＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－3a,－5a)＝eq\f(3,5)，∴2sinα＋cosα＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＋eq\f(3,5)＝－1.[一点通]角的终边上一点，求该角的三角函数值，一般是先求出该点到原点的距离r，再由三角函数的定义求出三角函数值．当点的坐标有字母时，由于字母符号未知，所以点所在象限不确定，因此要依据状况进行分类争论，防止漏解．1．角α的终边过点P(－8m，－6cos60°)且cosα＝－eq\f(4,5)，那么m的值是____________．解析：P(－8m，－3)，由cosα＝－eq\f(4,5)可得eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，解得m＝eq\f(1,2)(m＝－eq\f(1,2)不合题意，舍去)．答案：eq\f(1,2)2．角α终边上点P(x,3)(x≠0)，且cosα＝eq\f(\r(10),10)x，求sinα，tanα.解：∵r＝eq\r(x2＋9)，cosα＝eq\f(x,r)，∴eq\f(\r(10),10)x＝eq\f(x,\r(x2＋9)).又x≠0，那么x＝±1.∵y＝3＞0，∴α在第一或其次象限．当α在第一象限时，sinα＝eq\f(3\r(10),10)，tanα＝3.当α在其次象限时，sinα＝eq\f(3\r(10),10)，tanα＝－3.3．角的终边落在直线y＝2x上，求sinα，cosα，tanα的值．解：(1)当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1，2)，由r＝|OP|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，得sinα＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，tanα＝2.(2)当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，由r＝|OQ|＝eq\r(－12＋－22)＝eq\r(5)，得sinα＝eq\f(－2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(－1,\r(5))＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝2.[例2]确定以下式子的符号：(1)tan108°·cos305°；(2)eq\f(cos\f(5π,6)·tan\f(11π,6),sin\f(2π,3))；(3)tan191°－cos191°；(4)sin3·cos4·tan5.[思路点拨]角度确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号．[精解详析](1)∵108°是其次象限角，∴tan108°<0.∵305°是第四象限角，∴cos305°>0.从而tan108°·cos305°<0，∴式子符号为负．(2)∵eq\f(5π,6)是其次象限角，eq\f(11π,6)是第四象限角，eq\f(2π,3)是其次象限角．∴coseq\f(5π,6)<0，taneq\f(11π,6)<0，sineq\f(2π,3)>0.从而eq\f(cos\f(5π,6)·tan\f(11π,6),sin\f(2π,3))>0.∴式子符号为正．(3)∵191°是第三象限角，∴tan191°>0，cos191°<0.∴tan191°－cos191°>0.∴式子符号为正．(4)∵eq\f(π,2)<3<π，π<4<eq\f(3π,2)，eq\f(3π,2)<5<2π，∴sin3>0，cos4<0，tan5<0.∴sin3·cos4·tan5>0.∴式子符号为正．[一点通]对于角α，推断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦〞来处理．4．推断以下各式的符号：(1)sin105°·cos230°；(2)cos3·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3))).解：(1)∵105°、230°分别为其次、第三象限角，∴sin105°＞0，cos230°＜0.于是sin105°·cos230°＜0.(2)∵eq\f(π,2)＜3＜π，∴3是其次象限角，∴cos3＜0，又－eq\f(2π,3)是第三象限角，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))＞0，∴cos3·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))＜0.5．sinα·tanα>0，那么α是第几象限角？解：∵sinα·tanα>0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα>0，,tanα>0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα<0，,tanα<0.))当sinα>0，且tanα>0时，α为第一象限角；当sinα<0，且tanα<0时，α为第四象限角．∴α为第一、四象限角.[例3]分别作出eq\f(2π,3)和eq\f(4π,5)的正弦线、余弦线和正切线，并比拟sineq\f(2π,3)与sineq\f(4π,5)，coseq\f(2π,3)与coseq\f(4π,5)，taneq\f(2π,3)与taneq\f(4π,5)的大小．[思路点拨]作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终边；比拟三角函数值的大小时依据三角函数线的长度和正负．[精解详析]在直角坐标系中作单位圆如图，以Ox轴正方向为始边作eq\f(2π,3)的终边与单位圆交于P点，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox正方向的交点A作Ox轴的垂线与OP的反向延长线交于T点，那么sineq\f(2π,3)＝MP，coseq\f(2π,3)＝OM，taneq\f(2π,3)＝AT.同理，可作出eq\f(4π,5)的正弦线、余弦线和正切线，sineq\f(4π,5)＝M′P′，coseq\f(4π,5)＝OM′，taneq\f(4π,5)＝AT′.由图形可知：MP>M′P′，符号相同⇒sineq\f(2π,3)>sineq\f(4π,5)，OM>OM′，符号相同⇒coseq\f(2π,3)>coseq\f(4π,5)，AT<AT′，符号相同⇒taneq\f(2π,3)<taneq\f(4π,5).[一点通]利用三角函数线比拟三角函数值的大小，关键在于精确?????作出正弦线、余弦线、正切线，并留意它们为有向线段，方向代表三角函数值的符号，然后结合图形作出推断．6．sin1，sin1.2，sin1.5三者的大小关系是________．解析：在同一单位圆中画出三个角的正弦线作出比拟可得．答案：sin1.5>sin1.2>sin17．利用三角函数线，求满意以下条件的角x的集合．(1)sinx≤eq\f(1,2)；(2)cosx＜eq\f(\r(3),2).解：(1)利用角x的正弦线，作出满意sinx≤eq\f(1,2)的角x的终边所在位置的范围．如图(1)的阴影局部，由图形得角x的集合为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(7π,6)≤x≤2kπ＋\f(π,6)，k∈Z)))).(2)利用角x的余弦线，作出满意cosx＜eq\f(\r(3),2)的角x的终边所在位置的范围，如图(2)的阴影局部，由图形得角x的集合为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)＜x＜2kπ＋\f(11π,6)，k∈Z)))).1．精确?????理解三角函数的定义依据三角函数的定义，各三角函数值的大小与在终边上所取的点的位置无关，只与角α的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．定义中的α是任意角，但对于一个确定的角，只要各个三角函数有意义，其值就是唯一的．2．确定三角函数的符号依据三角函数的定义可知，正弦值、余弦值的符号分别取决于纵坐标y、横坐标x的符号；正切值那么是纵坐标y、横坐标x同号时为正，异号时为负．3．三角函数线的应用三角函数线的方向和长短直观反映了三角函数值的符号和肯定值的大小，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可以看出三角函数值的肯定值大小．课下力量提升(三)一、填空题1．假设α是第三象限角，那么eq\f(|sinα|,sinα)－eq\f(cosα,|cosα|)＝________.解析：∵α是第三象限角，∴sinα＜0，cosα＜0，∴eq\f(|sinα|,sinα)－eq\f(cosα,|cosα|)＝－1－(－1)＝0.答案：02．有以下命题：(1)假设sinα>0，那么α是第一、二象限的角；(2)假设α是第一、二象限角，那么sinα>0；(3)三角函数线不能取负值；(4)假设α是其次象限角，且P(x，y)是其终边上一点，那么cosα＝eq\f(－x,\r(x2＋y2)).其中正确的序号是________．解析：只有(2)正确；∵sineq\f(π,2)＝1>0，但eq\f(π,2)不是第一、二象限角，∴(1)不正确；三角函数线是三角函数值的几何表示，其数量可正可负，也可为0，∴(3)不正确；(4)应是cosα＝eq\f(x,\r(x2＋y2))(∵α是其次象限角，已有x<0)，∴(4)不正确．答案：(2)3．角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sinα＞0，cosα≤0，那么α的取值范围是________．解析：由cosα≤0及sinα＞0知角α的终边在其次象限或y轴的正半轴上．故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))∴－2＜a≤3.答案：(－2,3]4．角α的终边上有一点P(a,4)，且tanα＝eq\f(4,3)，那么3sinα－2cosα的值为________．解析：∵tanα＝eq\f(4,3)，∴a＝3.∴r＝eq\r(32＋42)＝5，sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，∴3sinα－2cosα＝eq\f(12,5)－eq\f(6,5)＝eq\f(6,5).答案：eq\f(6,5)5．依据三角函数线，作出如下四个推断：①sineq\f(π,6)＝sineq\f(7π,6)；②coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)；③taneq\f(π,8)>taneq\f(3π,8)；④sineq\f(3π,5)>sineq\f(4π,5).其中推断正确的有________．解析：分别作出各角的三角函数线，可知：sineq\f(π,6)＝－sineq\f(7π,6)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)，taneq\f(π,8)<taneq\f(3π,8)，sineq\f(3π,5)>sineq\f(4π,5)，∴②④正确．答案：②④二、解答题6．角α的顶点在原点，始边为x轴的正半轴，假设角α终边过点P(－eq\r(3)，y)，且sinα＝eq\f(\r(3),4)y(y≠0)，推断角α所在的象限，并求cosα的值．解：依题意，P到原点O的距离r＝|OP|＝eq\r(－\r(3)2＋y2)＝eq\r(3＋y2).∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(y,\r(3＋y2))＝eq\f(\r(3),4)y.∵y≠0，∴9＋3y2＝16.∴y2＝eq\f(7,3)，y＝±eq\f(\r(21),3).∴点P在其次或第三象限，且cosα＝eq\f(－\r(3),\r(3＋y2))＝－eq\f(\r(3),\r(3＋\f(7,3)))＝－eq\f(3,4).7．角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．解：∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，那么x＝4t，y＝－3t，r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(4t2＋－3t2)＝5|t|，当t＞0时，r＝5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,5t)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,5t)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4)；当t＜0时，r＝－5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,－5t)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,－5t)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4).综上可知，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4)；或sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).8．eq\f(π,4)<θ<eq\f(π,2)，试用三角函数线比拟sinθ，cosθ，tanθ的大小．解：如图，在单位圆中作出正弦线、余弦线、正切线，sinθ＝MP>0,cosθ＝OM>0，tanθ＝AT>0，由图知OM<MP<AT，即cosθ<sinθ<tanθ.第2课时同角三角函数关系假设角α的终边与单位圆交于P(x，y)，如图．问题1：角α的三角函数值是什么？提示：sinα＝y.cosα＝x.tanα＝eq\f(y,x).问题2：sinα与cosα有什么关系？提示：sin2α＋cos2α＝y2＋x2＝1.问题3：eq\f(sinα,cosα)的值与tanα有什么关系？提示：eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(y,x)＝tanα.同角三角函数的根本关系式平方关系sin2_α＋cos2_α＝1商数关系tanα＝eq\f(sinα,cosα)，其中α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z同角三角函数的根本关系式成立的条件是使式子两边都有意义．所以sin2α＋cos2α＝1对于任意角α∈R都成立，而tanα＝eq\f(sinα,cosα)并不是对任意角α∈R都成立，此时α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.[例1](1)假设sinα＝－eq\f(4,5)，且α是第三象限角，求cosα，tanα的值；(2)tanα＝2，求eq\f(2sinα－2cosα,4sinα－9cosα)的值．[思路点拨]第(1)题应先利用平方关系求余弦，再由商的关系求正切；第(2)问先把所求式化为只含tanα的代数式，再代入求值．[精解详析](1)∵sinα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))2)＝－eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＝eq\f(4,3).(2)∵tanα＝2，∴eq\f(2sinα－2cosα,4sinα－9cosα)＝eq\f(2tanα－2,4tanα－9)＝eq\f(2×2－2,4×2－9)＝－2.[一点通]某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值时要留意：(1)角所在的象限；(2)用平方关系求值时，所求三角函数的符号由角所在的象限打算；(3)用商数关系时，不要另加符号，只需用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)代入sinα、cosα的值即可求得tanα.1．sinα＋cosα＝eq\f(1,2)，那么sinαcosα＝________.解析：∵sinα＋cosα＝eq\f(1,2)，∴(sinα＋cosα)2＝eq\f(1,4)，即1＋2sinαcosα＝eq\f(1,4).∴sinαcosα＝－eq\f(3,8).答案：－eq\f(3,8)2．假设sinθ－cosθ＝eq\r(2)，那么tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝__________.解析：由得(sinθ－cosθ)2＝2，∴sinθcosθ＝－eq\f(1,2).∴tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(1,sinθcosθ)＝－2.答案：－23．假设cosα＝eq\f(5,13)，求sinα和tanα.解：∵cosα＝eq\f(5,13)>0，∴α是第一或第四象限角．当α是第一象限角时，sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))2)＝eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(12,5)；当α是第四象限角时，sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\f(5,13)2)＝－eq\f(12,13).∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(12,5).4．保持本例(2)的条件不变，求4sin2α－3sinαcosα－5cos2α的值．解：4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝eq\f(4sin2α－3sinαcosα－5cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(4tan2α－3tanα－5,tan2α＋1)＝eq\f(4×4－3×2－5,4＋1)＝1.[例2]化简：eq\f(tanα＋tanαsinα,tanα＋sinα)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,cosα)))·eq\f(sinα,1＋sinα).[思路点拨]采纳切化弦，削减函数种类，以到达化简的目的．[精解详析]原式＝eq\f(tanα1＋sinα,tanα＋sinα)·eq\f(1＋cosα,cosα)·eq\f(sinα,1＋sinα)＝eq\f(\f(sinα,cosα),\f(sinα,cosα)＋sinα)·eq\f(1＋cosα,cosα)·sinα＝eq\f(1,1＋cosα)·eq\f(1＋cosα,cosα)·sinα＝eq\f(sinα,cosα)＝tanα.[一点通]化简三角函数式的常用方法：(1)切化弦，即把非正、余弦函数都化成正、余弦函数，从而削减函数种类以便化简．(2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号到达化简的目的．(3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1〞的代换，以降低函数次数，到达化简目的．5.eq\f(sinθ－cosθ,tanθ－1)＝________.解析：eq\f(sinθ－cosθ,tanθ－1)＝eq\f(sinθ－cosθ,\f(sinθ,cosθ)－1)＝eq\f(sinθ－cosθ,\f(sinθ－cosθ,cosθ))＝cosθ.答案：cosθ6．化简eq\f(\r(1－2sin10°cos10°),sin10°－\r(1－sin210°))的值为________．解析：原式＝eq\f(\r(sin210°－2sin10°cos10°＋cos210°),sin10°－\r(cos210°))＝eq\f(\r(sin10°－cos10°2),sin10°－cos10°)＝eq\f(cos10°－sin10°,sin10°－cos10°)＝－1.答案：－17．假设eq\f(3π,2)＜α＜2π，化简：eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＋eq\r(\f(1＋cosα,1－cosα)).解：∵eq\f(3π,2)＜α＜2π，∴0＜cosα＜1，－1＜sinα＜0，∴原式＝eq\r(\f(1－cosα2,1＋cosα1－cosα))＋eq\r(\f(1＋cosα2,1－cosα1＋cosα))＝eq\r(\f(1－cosα2,1－cos2α))＋eq\r(\f(1＋cosα2,1－cos2α))＝eq\r(\f(〔1－cosα〕2,sin2α))＋eq\r(\f(〔1＋cosα〕2,sin2α))＝－eq\f(1－cosα,sinα)－eq\f(1＋cosα,sinα)＝－eq\f(2,sinα).[例3]求证：sinθ(1＋tanθ)＋cosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tanθ)))＝eq\f(1,sinθ)＋eq\f(1,cosθ).[思路点拨]从较简单的一边入手，采纳切化弦的方式，即把左边的正切值用tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)替换．[精解详析]左边＝sinθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sinθ,cosθ)))＋cosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(cosθ,sinθ)))＝sinθ＋eq\f(sin2θ,cosθ)＋cosθ＋eq\f(cos2θ,sinθ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ＋\f(cos2θ,sinθ)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2θ,cosθ)＋cosθ))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2θ＋cos2θ,sinθ)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2θ＋cos2θ,cosθ)))＝eq\f(1,sinθ)＋eq\f(1,cosθ)＝右边．∴原式成立．[一点通]证明三角恒等式的原那么是由繁到简，常用的方法有：(1)从一边开头证明它等于另一边；(2)证明左右两边都等于同一个式子；(3)变更论证，采纳左右相减，化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式．8．求证：eq\f(1＋2sinxcosx,cos2x－sin2x)＝eq\f(1＋tanx,1－tanx).证明：法一：右边＝eq\f(1＋\f(sinx,cosx),1－\f(sinx,cosx))＝eq\f(cosx＋sinx,cosx－sinx)＝eq\f(cosx＋sinx2,cosx－sinxcosx＋sinx)＝eq\f(cos2x＋sin2x＋2sinxcosx,cos2x－sin2x)＝eq\f(1＋2sinxcosx,cos2x－sin2x)＝左边，∴原式成立．法二：左边＝eq\f(sin2x＋cos2x＋2sinxcosx,cos2x－sin2x)＝eq\f(sinx＋cosx2,cosx＋sinxcosx－sinx)＝eq\f(sinx＋cosx,cosx－sinx)＝eq\f(tanxcosx＋cosx,cosx－tanxcosx)＝eq\f(1＋tanx,1－tanx)＝右边，∴原式成立．9．求证：eq\f(sinα－cosα＋1,sinα＋cosα－1)＝eq\f(1＋sinα,cosα).证明：左边＝eq\f(sinα－cosα＋1sinα＋cosα＋1,sinα＋cosα－1sinα＋cosα＋1)＝eq\f(sinα＋12－cos2α,sinα＋cosα2－1)＝eq\f(sin2α＋2sinα＋1－cos2α,1＋2sinαcosα－1)＝eq\f(2sinα1＋sinα,2sinαcosα)＝eq\f(1＋sinα,cosα)＝右边．∴原等式成立．1．对同角三角函数的根本关系式的理解“同角〞有两层含义，一是“角相同〞，如sin2α＋cos2β＝1就不肯定成立；二是对“任意〞一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达形式无关．如：sin23α＋cos23α＝1，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)).2．同角三角函数的根本关系式的应用(1)应用同角三角函数关系式时，应敏捷选择和使用．如cos2α＝1－sin2α，sin2α＝1－cos2α，cosα＝eq\f(sinα,tanα)，sinα＝tanα·cosα等，上述关系都必需在定义域允许的范围内才成立．(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外的三角函数值，且由于利用“平方〞关系公式，最终需求平方根，会消失两解，所以要留意角所在的象限．这类问题通常会消失以下这几种状况：①假如三角函数值，且角的象限已被指定，那么只有一组解；②假如三角函数值，但没有指定角所在的象限，那么先由三角函数值确定角所在的象限，然后再求解，这种状况一般有两组解；③假如所给的三角函数值是用字母表示的，且没有指定角所在的象限，那么需要分类争论．课下力量提升(四)一、填空题1．sinθ＝eq\f(m－3,m＋5)，cosθ＝eq\f(4－2m,m＋5)，那么m＝________.解析：∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－3,m＋5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－2m,m＋5)))2＝1.即(m－3)2＋(4－2m)2＝(m＋5)2，∴4m2－32m＝0.∴m＝0或m＝8答案：0或82．假设eq\f(sinα＋cosα,2sinα－cosα)＝2，那么tanα＝________.解析：∵eq\f(sinα＋cosα,2sinα－cosα)＝2，∴eq\f(tanα＋1,2tanα－1)＝2.∴tanα＋1＝4tanα－2即3tanα＝3，∴tanα＝1.答案：13．化简：cos4α＋sin2α·cos2α＋sin2α＝________.解析：cos4α＋sin2αcos2α＋sin2α＝cos2α(cos2α＋sin2α)＋sin2α＝cos2α＋sin2α＝1.答案：14．tanα＝m(π＜α＜eq\f(3π,2))，那么sinα＝________.解析：∵tanα＝m，π＜α＜eq\f(3π,2).∴m＞0且sinα＜0.又tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(sin2α,1－sin2α)＝m2.∴sin2α＝eq\f(m2,1＋m2).∵sinα＜0，∴sinα＝－eq\f(m,\r(1＋m2)).答案：－eq\f(m,\r(1＋m2))5．假设角α的终边在直线x＋y＝0上，那么eq\f(sinα,\r(1－cos2α))＋eq\f(\r(1－sin2α),cosα)＝________.解析：∵eq\f(sinα,\r(1－cos2α))＋eq\f(\r(1－sin2α),cosα)＝eq\f(sinα,|sinα|)＋eq\f(|cosα|,cosα).又角α的终边落在x＋y＝0上，故角α的终边在其次、四象限．当α在其次象限时，原式＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(－cosα,cosα)＝0，当α在第四象限时，原式＝eq\f(sinα,－sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝0.答案：0二、解答题6．tanx＝2，求：(1)eq\f(cosx＋sinx,cosx－sinx)的值；(2)eq\f(2,3)sin2x＋eq\f(1,4)cos2x的值．解：(1)eq\f(cosx＋sinx,cosx－sinx)＝eq\f(1＋tanx,1－tanx)＝eq\f(1＋2,1－2)＝－3.(2)eq\f(2,3)sin2x＋eq\f(1,4)cos2x＝eq\f(\f(2,3)sin2x＋\f(1,4)cos2x,sin2x＋cos2x)＝eq\f(\f(2,3)tan2x＋\f(1,4),tan2x＋1)＝eq\f(\f(2,3)×4＋\f(1,4),4＋1)＝eq\f(7,12).7．求证：eq\f(tanα·sinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanα·sinα).证明：法一：左边＝eq\f(sin2α,sinα－sinαcosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)，右边＝eq\f(sinα＋sinαcosα,sin2α)＝eq\f(1＋cosα,sinα)，而sin2α＝1－cos2α，∴eq\f(sinα,1－cosα)＝eq\f(1＋cosα,sinα)，故左边＝右边，∴原式成立．法二：eq\f(tanα·sinα,tanα－sinα)－eq\f(tanα＋sinα,tanα·sinα)＝eq\f(tan2αsin2α－tan2α－sin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2αsin2α－1＋sin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(－tan2αcos2α＋sin2α,tnaα－sinαtanαsinα)＝eq\f(－sin2α＋sin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝0，∴eq\f(tanα·sinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanα·sinα).8．－eq\f(π,2)<x<0，sinx＋cosx＝eq\f(1,5).求sinx－cosx的值．解：法一：由sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，即2sinxcosx＝－eq\f(24,25)，∴(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25).又∵－eq\f(π,2)<x<0，∴sinx<0，cosx>0，∴sinx－cosx<0，∴sinx－cosx＝－eq\f(7,5).法二：联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＋cosx＝\f(1,5)①，,sin2x＋cos2x＝1②，))由①得sinx＝eq\f(1,5)－cosx，将其代入②，整理得25cos2x－5cosx－12＝0，解得cosx＝－eq\f(3,5)，或cosx＝eq\f(4,5).∵－eq\f(π,2)<x<0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosx＝\f(4,5)，,sinx＝－\f(3,5)，))∴sinx－cosx＝－eq\f(7,5).第3课时三角函数的诱导公式一～四对于任意角α.问题1：2kπ＋α(k∈Z)与α的三角函数之间有什么关系？提示：由于α与2kπ＋α(k∈Z)的终边相同，所以三角函数值对应相等．问题2：观看以下图，角π－α，π＋α，－α的终边与角α的终边之间有什么关系？你能利用它们与单位圆的交点的坐标之间的关系推导出它们的三角函数之间的关系吗？提示：π－α，π＋α，－α的终边与α的终边分别关于y轴，坐标原点，x轴对称．能.诱导公式角的终边间关系公式公式一终边相同sin(α＋2kπ)＝sin_α(k∈Z)cos(α＋2kπ)＝cos_α(k∈Z)tan(α＋2kπ)＝tan_α(k∈Z)公式二终边关于x轴对称sin(－α)＝－sin_αcos(－α)＝cos_αtan(－α)＝－tan_α公式三终边关于y轴对称sin(π－α)＝sin_αcos(π－α)＝－cos_αtan(π－α)＝－tan_α公式四终边关于原点对称sin(π＋α)＝－sin_αcos(π＋α)＝－cos_αtan(π＋α)＝tan_α公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下：(1)记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，一句话概括：即“函数名不变，符号看象限〞．(2)解释：“函数名不变〞是指等式两边的三角函数同名；“符号〞是指等号右边是正号还是负号；“看象限〞是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，假设α看成锐角，那么π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.[例1]求以下各三角函数式的值：(1)sin1320°；(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))；(3)tan(－945°)．[思路点拨]利用诱导公式进行化简求值．[精解详析](1)法一：sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).法二：sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).(2)法一：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝coseq\f(31π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(7π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).法二：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(5π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.[一点通]此问题为角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．假如是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数．要精确?????记忆特别角的三角函数值．1．tan690°的值为________．解析：tan690°＝tan(720°－30°)＝－tan30°＝－eq\f(\r(3),3).答案：－eq\f(\r(3),3)2．coseq\f(29π,6)＝________.解析：coseq\f(29π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(5π,6)))＝coseq\f(5π,6)＝cos(eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).答案：－eq\f(\r(3),2)3．求以下各式的值：(1)sineq\f(π,4)coseq\f(19π,6)taneq\f(21π,4)；(2)eq\r(3)sin(－1200°)taneq\f(19π,6)－cos585°taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(37π,4))).解：(1)原式＝sineq\f(π,4)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(7π,6)))taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5π＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)coseq\f(7π,6)taneq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(2),2)(－coseq\f(π,6))＝－eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＝－eq\f(\r(6),4).(2)原式＝－eq\r(3)sin(4×360°－240°)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π＋\f(π,6)))－cos(360°＋225°)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－tan\f(37π,4)))＝－eq\r(3)sin(－240°)taneq\f(π,6)－cos45°taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9π＋\f(π,4)))＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)sin(180°＋60°)－eq\f(\r(2),2)taneq\f(π,4)＝－eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)sin60°－eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(\r(2)＋\r(3),2).[例2]化简以下各式：(1)eq\f(cosπ＋α·sinα＋2π,sin－α－π·cos－π－α)；(2)eq\f(cos190°·sin－210°,cos－350°·tan－585°).[思路点拨]利用诱导公式一、二、四将函数值化为α角的三角函数值或锐角的三角函数值，再约分化简．[精解详析](1)原式＝eq\f(－cosα·sinα,－sinα＋π·cosπ＋α)＝eq\f(－cosα·sinα,sinα·－cosα)＝1.(2)原式＝eq\f(cos190°·－sin210°,cos350°·－tan585°)＝eq\f(cos180°＋10°·sin180°＋30°,cos360°－10°·tan360°＋225°)＝eq\f(－cos10°·－sin30°,cos10°·tan225°)＝eq\f(sin30°,tan180°＋45°)＝eq\f(sin30°,tan45°)＝eq\f(1,2).[一点通]三角函数式的化简有如下方法：(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．(3)留意“1〞的应用：1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4).4．化简：eq\f(sin540°＋α·cos－α,tanα－180°)＝____________.解析：eq\f(sin540°＋α·cos－α,tanα－180°)＝eq\f(sin[360°＋180°＋α]cosα,－tan180°－α)＝eq\f(sin180°＋αcosα,tanα)＝eq\f(－sinαcosα,tanα)＝－sinαcosαeq\f(cosα,sinα)＝－cos2α.答案：－cos2α5．设k为整数，化简：eq\f(sinkπ－αcos[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]coskπ＋α).解：当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，原式＝eq\f(sin2mπ－αcos[2m－1π－α],sin[2m＋1π＋α]cos2mπ＋α)＝eq\f(sin－αcosπ＋α,sinπ＋αcosα)＝eq\f(－sinα－cosα,－sinαcosα)＝－1.当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，原式＝eq\f(sin2mπ＋π－αcos2mπ－α,sin[2m＋2π＋α]cos[2m＋1π＋α])＝eq\f(sinπ－αcos－α,sinαcosπ＋α)＝eq\f(sinαcosα,sinα－cosα)＝－1.综上可知，当k为整数时eq\f(sinkπ－αcos[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]coskπ＋α)＝－1.6．假设sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求eq\f(sinπ－α＋5cos2π－α,3cosπ－α－sin－α)的值．解：由sin(α－π)＝2cos(2π－α)，得－sinα＝2cosα，所以tanα＝－2.所以原式＝eq\f(sinα＋5cosα,－3cosα＋sinα)＝eq\f(tanα＋5,－3＋tanα)＝eq\f(－2＋5,－3＋－2)＝－eq\f(3,5).[例3]推断以下函数的奇偶性．(1)f(x)＝3cosx－1；(2)g(x)＝x3sinx；(3)h(x)＝sin2(π＋x)＋cos(π－x)cos(－x)－3.[思路点拨](1)推断函数的定义域是否关于原点对称．(2)通过推断f(－x)与f(x)的关系得出结论．[精解详析](1)∵x∈R，又f(－x)＝3cos(－x)－1＝3cosx－1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵x∈R，又g(－x)＝(－x)3sin(－x)＝x3sinx＝g(x)，∴g(x)为偶函数．(3)∵x∈R，h(x)＝sin2x－cos2x－3，又h(－x)＝sin2x－cos2x－3＝h(x)，∴h(x)为偶函数．[一点通]依据诱导公式可知，正弦函数f(x)＝sinx为奇函数，余弦函数y＝cosx为偶函数，正切函数y＝tanx为奇函数．7．函数y＝cos(sinx)的奇偶性为________．解析：令f(x)＝cos(sinx)，那么f(－x)＝cos[sin(－x)]＝cos(－sinx)＝cos(sinx)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．答案：偶函数8．假设函数f(x)＝eq\f(2cos3x－sin2x＋π－2cos－x－π＋1,2＋2cos27π＋x＋cos－x)，(1)求证：y＝f(x)是偶函数；(2)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))的值．解：(1)证明：∵f(x)＝eq\f(2cos3x－sin2x＋2cosx＋1,2＋2cos2x＋cosx)＝eq\f(2cos3x－1－cos2x＋2cosx＋1,2＋2cos2x＋cosx)＝eq\f(2cos3x＋cos2x＋2cosx,2＋2cos2x＋cosx)＝eq\f(cosx2cos2x＋cosx＋2,2cos2x＋cosx＋2)＝cosx，即f(x)＝cosx，x∈R.那么f(－x)＝cos(－x)＝cosx＝f(x)，∴y＝f(x)是偶函数．(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).诱导公式的应用利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的根本步骤是：eq\x(\a\al(任意负角的,三角函数))eq\o(→,\s\up7(用公式一或二),\s\do5())eq\x(\a\al(任意正角的,三角函数))eq\o(→,\s\up7(用公式一))eq\x(\a\al(0～2π的角,的三角函数))eq\o(→,\s\up7(用公式三或四))eq\x(\a\al(锐角三,角函数))可以看出，这些步骤表达了把未知问题化归为问题的数学思想．可以简洁记为“负化正，大化小，化成锐角再求值〞．课下力量提升(五)一、填空题1．sin480°的值等于________．解析：sin480°＝sin(360°＋120°)＝sin120°＝sin(180°－60°)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)2．化简：eq\f(cos－αtan7π＋α,sinπ＋α)＝________.解析：原式＝eq\f(cosα·tanπ＋α,sinπ＋α)＝eq\f(cosαtanα,－sinα)＝eq\f(sinα,－sinα)＝－1.答案：－13．cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，eq\f(3π,2)＜α＜2π，那么sin(2π－α)的值是________．解析：由cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，得cosα＝eq\f(1,2)，又eq\f(3π,2)＜α＜2π，∴sinα＝－eq\f(\r(3),2)，∴sin(2π－α)＝－sinα＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)4．cos(508°－α)＝eq\f(12,13)，那么cos(212°＋α)＝________.解析：∵cos(508°－α)＝eq\f(12,13)，∴cos[360°＋(148°－α)]＝eq\f(12,13)，即cos(148°－α)＝eq\f(12,13).∴cos(212°＋α)＝cos[360°－(148°－α)]＝cos(148°－α)＝eq\f(12,13).答案：eq\f(12,13)5．设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满意f(2013)＝－1，那么f(2014)的值为________．解析：∵f(2013)＝asin(2013π＋α)＋bcos(2013π＋β)＝－1，∴f(2014)＝asin(2014π＋α)＋bcos(2014π＋β)＝asin[π＋(2013π＋α)]＋bcos[π＋(2013π＋β)]＝－[asin(2013π＋α)＋bcos(2013π＋β)]＝1.答案：1二、解答题6．求值：(1)coseq\f(25π,3)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))；(2)sin420°cos750°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)∵coseq\f(25π,3)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋8π))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋－4π))＝taneq\f(π,4)＝1，∴coseq\f(25π,3)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).(2)原式＝sin(60°＋360°)cos(30°＋2×360°)＋sin[30°＋(－2)×360°]cos[60°＋(－2)×360°]＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝1.7．sin(3π＋θ)＝eq\f(1,4)，求eq\f(cosπ＋θ,cosθ[cosπ＋θ－1])＋eq\f(cosθ－2π,cosθ＋2πcosπ＋θ＋cos－θ)的值．解：sin(3π＋θ)＝－sinθ，∴sinθ＝－eq\f(1,4).原式＝eq\f(－cosθ,cosθ－cosθ－1)＋eq\f(cosθ,cosθ－cosθ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(1,1－cosθ)＝eq\f(2,1－cos2θ)＝eq\f(2,sin2θ)＝32.8．cos(75°＋α)＝eq\f(1,3)，其中α为第三象限角．求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．解：∵cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－eq\f(1,3)，sin(α－105°)＝－sin(105°－α)＝－sin[180°－(75°＋α)]＝－sin(75°＋α)．又cos(75°＋α)＝eq\f(1,3)>0，α为第三象限角，可知角75°＋α为第四象限角，那么有sin(75°＋α)＝－eq\r(1－cos275°＋α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝－eq\f(2\r(2),3).∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－eq\f(1,3)＋eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(2\r(2)－1,3).第4课时三角函数的诱导公式五～六如图，设角α，eq\f(π,2)－α，eq\f(π,2)＋α的终边分别与单位圆交于P1，P2，P3.问题1：假设点P1的坐标为(x，y)，那么P2，P3的坐标分别是什么？提示：P2(y，x)，P3(－y，x)．问题2：你能依据P1，P2，P3的坐标间的关系得出α，eq\f(π,2)－α，eq\f(π,2)＋α的三角函数之间的关系吗？提示：依据三角函数的定义可求出α，eq\f(π,2)－α，eq\f(π,2)＋α的三角函数值，从而可推出它们之间的关系．诱导公式角的终边间关系公式公式五角的终边关于y＝x对称sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos_αcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sin_α公式六eq\f(π,2)＋α的终边与eq\f(π,2)－α的终边关于y轴对称sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos_αcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α诱导公式五～六的巧记方法eq\f(π,2)±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为“函数名转变，符号看象限〞或“正变余，余变正，符号看象限〞．[例1]化简：eq\f(tan3π－α,sinπ－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)))＋eq\f(sin2π－αcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(7π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))cos2π＋α).[思路点拨]充分利用诱导公式及同角三角函数的根本关系进行化简．[精解详析]∵tan(3π－α)＝－tanα，sin(π－α)＝sinα，sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π＋α)＝cosα，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(7π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π－\f(π,2)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝－cosα，∴原式＝eq\f(－tanα,sinα－cosα)＋eq\f(－sinα－sinα,－cosα·cosα)＝eq\f(1,cos2α)－eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(1－sin2α,cos2α)＝eq\f(cos2α,cos2α)＝1.[一点通](1)此题化简主要采纳“异角化同角，导名化同名〞的解题策略．(2)留意同角三角函数关系的应用，如sin2α＋cos2α＝1，tanα＝eq\f(sinα,cosα)等．1．化简sin(π＋α)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))·cos(π＋α)＝________.解析：原式＝(－sinα)·sinα＋cosα·(－cosα)＝－(sin2α＋cos2α)＝－1.答案：－12．化简：eq\f(sinπ－α·cosπ＋α·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α)),cos3π－α·sin3π＋α·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)))＝________.解析：原式＝eq\f(sinα·－cosα·sinα,－cosα·－sinα·cosα)＝－tanα.答案：－tanα3．α为第三象限角，f(α)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))tanπ－α,tan－α－πsin－α－π).(1)化简f(α)；(2)假设coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq\f(1,5)，求f(α)的值．解：(1)f(α)＝eq\f(－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))·cos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))))－tanα,tanπ＋α·sinπ＋α)＝eq\f(－cosα·\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))))·－tanα,tanα·－sinα)＝eq\f(cosα·sinα,－sinα)＝－cosα.(2)由于coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－sinα＝eq\f(1,5)，所以sinα＝－eq\f(1,5).又α是第三象限角，所以cosα＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))2)＝－eq\f(2\r(6),5)，故f(α)＝－cosα＝eq\f(2\r(6),5).[例2]假设sinα＝eq\f(\r(5),5)，求eq\f(cos3π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)＋α))－1)))＋eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)),cos3π＋αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)＋α)))的值．[思路点拨]可利用诱导公式首先把所求式进行化简，使化简的结果与条件sinα＝eq\f(\r(5),5)建立联系，最终求得数值．[精解详析]eq\f(cos3π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)＋α))－1)))＋eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)),cos3π＋αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)＋α)))＝eq\f(cos[2π＋π－α],cosα\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π＋\f(π,2)＋α))－1)))＋eq\f(sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))),cosπ＋αsin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))))－sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))))＝eq\f(－cosα,cosα－cosα－1)＋eq\f(cosα,－cosαcosα＋cosα)＝eq\f(1,1＋cosα)＋eq\f(1,1－cosα)＝eq\f(2,sin2α).∵sinα＝eq\f(\r(5),5)，∴eq\f(2,sin2α)＝10.即原式＝10.[一点通](1)利用公式五、六化简时肯定要留意符号的精确?????性及名称的变化．(2)求值时整体把握角与角之间的相互关系及恒等变形，这是常用的解题策略．4．假设coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(1,2)，那么sin(3π－α)＝________.解析：∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(1,2)，∴－sinα＝eq\f(1,2)，即sinα＝－eq\f(1,2).∴sin(3π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)5．eq\f(sin2π＋θtanπ＋θtan3π－θ,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))tan－π－θ)＝1，求eq\f(3,sin2θ＋3sinθcosθ＋2cos2θ)的值．解：∵eq\f(sin2π＋θtanπ＋θtan3π－θ,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))tan－π－θ)＝eq\f(sinθtanθtanπ－θ,－sinθtanπ＋θ)＝eq