新教材人教B版必修第四册912余弦定理学案

9.1.2余弦定理必备学问·自主学习余弦定理在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,那么有余弦定理语言表达三角形任何一边的平方,等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍公式表达c2=a2+b22abcosC,a2=b2+c22bccosA,b2=a2+c22accosB变形cosA=QUOTE,cosB=QUOTE,cosC=QUOTE(1)在a2=b2+c22bccosA中,假设A=90°,公式会变成什么?提示:a2=b2+c2,即勾股定理.(2)利用余弦定理可以解决哪些问题?提示:①两边及其夹角解三角形;②三边解三角形.1.辨析记忆(对的打“√〞,错的打“×〞)(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形 ()(2)在△ABC中,假设a2>b2+c2,那么△ABC肯定为钝角三角形 ()(3)在△ABC中,两边和其夹角时,△ABC不唯一 ()提示:(1)√.余弦定理反映了任意三角形的边角关系,它适用于任何三角形.(2)√.当a2>b2+c2时,cosA=QUOTE<0.由于0<A<π,故A肯定为钝角,△ABC为钝角三角形.(3)×.当△ABC两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一,因此△ABC唯一确定.2.在△ABC中,a=4,b=6,C=120°,那么边c的值是 ()A.8B.2QUOTEQUOTEQUOTE【解析】2=a2+b22abcosC=16+362×4×6×QUOTE=76,所以c=QUOTE=2QUOTE.3.在△ABC中,假设a2c2+b2=ab,那么cosC=.

【解析】由于a2c2+b2=ab,所以c2=a2+b2ab.又由于c2=a2+b22abcosC,所以2cosC=1.所以cosC=QUOTE.答案:QUOTE4.(教材二次开发:例题改编)在△ABC中,cosA=QUOTE,a=QUOTEc,那么QUOTE=.

【解析】由余弦定理可得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,整理得b2+bc-2c2=0即QUOTE+QUOTE2=0,解得QUOTE=1(负值舍去).答案:1关键力量·合作学习类型一利用余弦定理解三角形(数学运算)【典例】(1)在△ABC中,a=1,b=2,cosC=QUOTE,那么c=;sinA=.

(2)在△ABC中,a=2QUOTE,b=6+2QUOTE,c=4QUOTE,求A,B,C.【思路导引】(1)利用余弦定理公式求c;(2)三条边利用余弦定理求解.【解析】(1)依据余弦定理得c2=a2+b22abcosC=12+222×1×2×QUOTE=4,解得c=2.由a=1,b=2,c=2得cosA=QUOTE=QUOTE,所以sinA=QUOTE=QUOTE.答案:2QUOTE(2)依据余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE.由于A∈(0,π),所以A=QUOTE,cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,由于C∈(0,π),所以C=QUOTE.所以B=πAC=πQUOTEQUOTE=QUOTE,所以A=QUOTE,B=QUOTE,C=QUOTE.先利用余弦定理求出第三边,其余角的求解有两种思路:一是利用余弦定理的推论求出其余角;二是利用正弦定理(两边和一边的对角)求解.先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求出其次个角;最终利用三角形的内角和定理求出第三个角.1.(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中,cosC=QUOTE,AC=4,BC=3,那么tanB= ()A.QUOTEB.2QUOTEQUOTEQUOTE【解析】选C.设AB=c,BC=a,CA=b,c2=a2+b22abcosC=9+162×3×4×QUOTE=9,所以c=3,cosB=QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTE=QUOTE,所以tanB=4QUOTE.2.(2020·南昌高一检测)在△ABC中,sinA=QUOTEsinB,c=QUOTEb,那么sinB=.

【解析】由于sinA=QUOTEsinB,所以a=QUOTEb,c=QUOTEb,所以cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE类型二利用余弦定理推断三角形的外形(规律推理)【典例】在△ABC中,假设2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,且sinB+sinC=1,试推断△ABC的外形.【思路导引】利用正弦定理,化边为角,求出角C的值,然后推断.【解析】由,结合正弦定理,得2a2=(2b+c)·b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,又由余弦定理,得a2=b2+c22bccosA,所以bc=2bccosA,即cosA=QUOTE,由于A为三角形的内角,所以A=QUOTE.对于2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,结合正弦定理,有2sin2A即sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC=sin2QUOTE=QUOTE,又由sinB+sinC=1,得sin2B+sin2C所以sinBsinC=QUOTE.从而有sinB=sinC=QUOTE.由于0<B<π,0<C<π,0<B+C<π,所以B=C=QUOTE,所以△ABC是等腰的钝角三角形.利用三角形的边角关系推断三角形的外形时,需要从“统一〞入手,即使用转化的思想解决这类问题,一般有两条思索路线:(1)化边为角,再进行三角恒等变换,求出角的大小或角的正、余弦值符号.(2)化角为边,再进行代数恒等变换,求出三条边之间的关系式.(1)△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或b2=a2+c2或c2=a2+b2.(2)△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2.(3)△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2.在△ABC中,假设b2sin2C+c2sin2【解析】【法一化角为边】将等式变形为b2(1cos2C)+c2(1cos22bccosBcosC.由余弦定理并整理,得b2+c2b2QUOTEc2QUOTE=2bc×QUOTE×QUOTE,所以b2+c2=QUOTE=QUOTE=a2.所以A=90°.所以△ABC是直角三角形.【法二化边为角】由正弦定理,条件可化为sin2Csin2B+sin2Csin2B=2sinBsinCcosBcosC.又sinBsinC≠0,所以sinBsinC=cosBcosC,即cos(B+C)=0.又由于0°<B+C<180°,所以B+C=90°,所以A=90°.所以△ABC是直角三角形.【补偿训练】在△ABC中,acosA+bcosB=ccosC,试推断△ABC的外形.【解析】由余弦定理知cosA=QUOTE,cosB=QUOTE,cosC=QUOTE,代入条件得a·QUOTE+b·QUOTE+c·QUOTE=0,通分得a2(b2+c2a2)+b2(a2+c2b2)+c2(c2a2b2)=0,绽开整理得(a2b2)2=c4.所以a2b2=±c2,即a2=b2+c2或b2=a2+c2.依据勾股定理知△ABC是直角三角形.类型三正弦定理、余弦定理的综合应用(规律推理、数学运算)角度1综合利用正弦定理、余弦定理解三角形

【典例】(2020·潍坊高一检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+2c)cosB+bcosA=0.(1)求B的大小;(2)假设b=3,△ABC的周长为3+2QUOTE,求△ABC的面积.【思路导引】(1)先利用正弦定理把条件式中的边转化为角,进行三角恒等变换求角,(2)利用余弦定理并结合周长求出ac的值.【解析】(1)由及正弦定理得(sinA+2sinC)cosB+sinBcosA=0,(sinAcosB+sinBcosA)+2sinCcosB=0,sin(A+B)+2sinCcosB=0,又sin(A+B)=sinC,且C∈(0,π),sinC≠0,所以cosB=QUOTE,由于0<B<π,所以B=QUOTEπ.(2)由余弦定理得9=a2+c22accosB.所以a2+c2+ac=9,那么(a+c)2ac=9.由于a+b+c=3+2QUOTE,b=3,所以a+c=2QUOTE,所以ac=3,所以S△ABC=QUOTEacsinB=QUOTE×3×QUOTE=QUOTE.角度2正、余弦定理与三角函数和平面对量的综合运用

【典例】在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且QUOTE=QUOTE.(1)求C的大小;(2)假如a+b=6,·=4,求c的值.【思路导引】(1)利用正弦定理后弦化切求解.(2)依据平面对量的数量积运算求得ab,结合题目条件和余弦定理求c的值.【解析】(1)由于QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,所以sinC=QUOTEcosC.所以tanC=QUOTE.又由于C∈(0,π),所以C=QUOTE.(2)由于·=||·||cosC=QUOTEab,又由于·=4,所以ab=8.又由于a+b=6,由余弦定理知c2=a2+b22abcosC=(a+b)23ab=12,所以c=2QUOTE.正、余弦定理的综合应用的求解策略正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具,这类题目往往结合根本的三角恒等变换,同时留意三角形中的一些重要性质,如内角和为180°、大边对大角等.1.(2020·遂宁高一检测)在△ABC中,a,b,c分别是三内角A,B,C的对边且sin2Asin2C=QUOTEsinB,那么角C等于 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】2Asin2C=QUOTEsinB⇒a2c2=abb2,又由余弦定理得cosC=QUOTE=QUOTE⇒C=QUOTE.2.(2020·长沙高一检测)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,其中b2=ac,且sinC=QUOTEsinB,那么其最小角的余弦值为 ()QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】△ABC中,sinC=QUOTEsinB,由正弦定理可得c=QUOTEb而b2=QUOTEab,即b=QUOTEa,所以c=QUOTE×QUOTEa=2a,那么c>b>a,所以在△ABC中A为最小角,故由余弦定理可得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.(2020·新乡高一检测)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB+bsinA=c.假设a=2,△ABC的面积为3(QUOTE1),那么b+c= ()A.5 B.2QUOTE C.4 【解析】△ABC中acosB+bsinA=c,由正弦定理得sinAcosB+sinBsinA=sinC,又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以sinBsinA=cosAsinB,又sinB≠0,所以sinA=cosA,所以tanA=1,又A∈(0,π),所以A=QUOTE.由于S△ABC=QUOTEbcsinA=QUOTEbc=3(QUOTE1),所以bc=6(2QUOTE),由于a=2,所以由余弦定理可得a2=(b+c)22bc2bccosA,所以(b+c)2=4+(2+QUOTE)bc=4+(2+QUOTE)×6(2QUOTE)=16,可得b+c=4.4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满意b2+c2a2=bc,·>0,a=QUOTE,那么b+c的取值范围是(用区间表示).

【解析】由b2+c2a2=bc得,cosA=QUOTE=QUOTE,由于0<A<π,那么A=QUOTE,由·>0知,B为钝角,又由于QUOTE=1,那么b=sinB,c=sinC,b+c=sinB+sinC=sinB+sinQUOTE=QUOTEsinB+QUOTEcosB=QUOTEsinQUOTE,由于QUOTE<B<QUOTE,所以QUOTE<B+QUOTE<QUOTE,所以QUOTE<sinQUOTE<QUOTE,b+c∈QUOTE.答案:QUOTE备选类型求解三角形面积问题(数学运算)【典例】(1)a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinAsinB)=(cb)sinC,那么△ABC面积的最大值为.

(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.a≠b,c=QUOTE,cos2Acos2B=QUOTEsinAcosAQUOTEsinBcosB.①求角C的大小;②假设sinA=QUOTE,求△ABC的面积.【思路导引】(1)解题的关键有两个:一是将式利用正弦定理转化为边的等式,从而可获得边的关系,再利用余弦定理可获得A的大小;二是结合三角形的面积公式借助均值不等式求得bc的最值,从而得到面积的最值.(2)解题的关键是留意角大小的比拟,从而得到cosA的值,然后再利用面积公式求解.【解析】(1)由于a=2,(2+b)(sinAsinB)=(cb)sinC,所以(a+b)(sinAsinB)=(cb)sinC.由正弦定理得(a+b)(ab)=(cb)·c,所以a2b2=c2bc.由余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE,所以A=60°且b2+c24=bc,所以b2+c24=bc≥≤4,所以S△ABC=QUOTEbcsinA≤QUOTE,所以△ABC面积的最大值为QUOTE.答案:QUOTE(2)①由题意得QUOTEQUOTE=QUOTEsin2AQUOTEsin2B,即QUOTEsin2AQUOTEcos2A=QUOTEsin2BQUOTEcos2B,sinQUOTE=sinQUOTE.由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得2AQUOTE+2BQUOTE=π,即A+B=QUOTE,所以C=QUOTE.②由c=QUOTE,sinA=QUOTE,QUOTE=QUOTE,得a=QUOTE.由a<c,得A<C,从而cosA=QUOTE,故sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=QUOTE,所以△ABC的面积为S=QUOTEacsinB=QUOTE.利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法(1)利用正弦、余弦定理解三角形,求出三角形的各个边角后,直接求三角形的面积.(2)把面积作为条件之一,与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他各量.(3)求三角形面积的最值或范围,这时一般要先得到面积的表达式,再通过均值不等式、三角函数的最值等方法求得面积的最值或范围.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=bcosC+csinB.(1)求B;(2)假设b=2,求△ABC面积的最大值.【解析】(1)由及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB.①又A=π(B+C),故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.②由①②和C∈(0,π)得sinB=cosB.又B∈(0,π),所以B=QUOTE.(2)△ABC的面积S=QUOTEacsinB=QUOTEac.由及余弦定理得4=a2+c22accosQUOTE.又a2+c2≥2ac,故ac≤QUOTE,当且仅当a=c时,等号成立.因此△ABC面积的最大值为QUOTE+1.课堂检测·素养达标1.一个三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是QUOTE,那么三角形的第三条边长为 ()A.52 B.2QUOTE 【解析】选B.设第三条边长为x,那么x2=52+322×5×3×QUOTE=52,所以x=2QUOTE.2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,假设△ABC的面积为QUOTE,那么C= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】2+b2c2=2abcosC,且S△ABC=QUOTE,所以S△ABC=QUOTE=QUOTEabsinC,所以tanC=1.又C∈(0,π),故C=QUOTE.3.a,b,c为△ABC的三边,B=120°,那么a2+c2+acb2=.

【解析】由余弦定理b2=a2+c22accosB=a2+c22accos120°=a2+c2+ac,所以a2+c2+acb2=0.答案:04.在△ABC中,假设b=1,c=QUOTE,C=QUOTE,那么a=.

【解析】由余弦定理c2=a2+b22abcosC,所以(QUOTE)2=a2+12-2a×1×cosQUOTE,所以a2+a2=0,即(a+2)(a1)=0,所以a=1,或a=2(舍去).所以a=1.答案:15.(教材二次开发:练习改编)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,假设a2b2=QUOTEbc,sinC=2QUOTEsinB,那么A=.

【解析】由于sinC=2QUOTEsinB,依据正弦定理QUOTE=QUOTE,所以可得c=2QUOTEb,依据余弦定理a2=b2+c22bccosA由可得a2b2=QUOTEbc,故可联立方程QUOTE解得cosA=QUOTE.由0<A<π,所以A=QUOTE.答案:QUOTE课时素养评价二余弦定理(15分钟30分)1.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是()A.90° B.120° C.135° D.150°【解析】选B.设中间角为θ,那么θ为锐角,由余弦定理得cosθ=QUOTE=QUOTE,θ=60°,180°60°=120°,所以三角形最大角与最小角的和是120°.2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=QUOTE,c=2,cosA=QUOTE,那么b= ()A.QUOTE B.QUOTE 【解析】选D.由余弦定理得5=b2+222×b×2×QUOTE,解得b=3QUOTE.3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,假设a=3,b=2,cos(A+B)=QUOTE,那么c等于 ()A.4 B.QUOTE C.3 D.QUOTE【解析】选D.由三角形内角和定理可知cosC=cos(A+B)=QUOTE,又由余弦定理得c2=a2+b22abcosC=9+42×3×2×QUOTE=17,所以c=QUOTE.【加练·固】假设△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满意(a+b)2c2=4,且C=60°,那么ab的值为 ()A.QUOTEQUOTEC.1D.QUOTE【解析】选A.由(a+b)2c2=4,得a2+b2c2+2ab=4,由余弦定理得a2+b2c2=2abcosC=2abcos60°=ab,那么ab+2ab=4,所以ab=QUOTE.4.(2020·天津高一检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosB=bcosA,a2+b2=c2+ab,那么△ABC是 () 【解析】选D.依据正弦定理:acosB=bcosA,即sinAcosB=sinBcosA,即sinQUOTE=0,A=B;依据余弦定理及a2+b2=c2+ab,解得cosC=QUOTE,C∈QUOTE,故C=QUOTE.故△ABC是等边三角形.5.在△ABC中,B=60°,a=1,c=2,那么QUOTE=.

【解析】由余弦定理得b2=a2+c22accosB=3,所以b=QUOTE,由正弦定理得QUOTE=QUOTE=QUOTE=2.答案:26.假设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asinA+csinCQUOTEasinC=bsinB,那么B=.

【解析】由正弦定理得a2+c2QUOTEac=b2,由余弦定理得b2=a2+c22accosB,故cosB=QUOTE.又由于B为三角形的内角,所以B=45°.答案:45°(30分钟60分)一、单项选择题(每题5分,共20分)1.(2020·雅安高一检测)△ABC中,QUOTE=QUOTE,那么B= ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】QUOTE=QUOTE,利用正弦定理角化边得QUOTE=QUOTE,所以(cb)(c+b)=a(ca),所以c2b2=aca2,所以a2+c2b2=ac,所以QUOTE=QUOTE,依据余弦定理可得cosB=QUOTE=QUOTE,由于0<B<π,所以B=QUOTE.2.(2020·成都高一检测)在△ABC中,B=QUOTE,BC边上的高等于QUOTEBC,那么sinA= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.由于在△ABC中,B=QUOTE,BC边上的高等于QUOTEBC,所以QUOTEBC=AB·sinB⇒AB=QUOTEBC×QUOTE=QUOTEBC,由余弦定理得AC=QUOTE=QUOTE=QUOTEBC,故△ABC的面积为QUOTEBC·QUOTEBC=QUOTEAB·AC·sinA=QUOTE·QUOTEBC·QUOTEBC·sinA,所以sinA=QUOTE.3.(2020·徐州高一检测)钝角三角形的三边长为a,a+1,a+2,其最大角不超过120°,那么a的取值范围为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.钝角三角形的三边长为a,a+1,a+2,其最大角不超过120°,可设a+2所对的角为C,且为最大,cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,由题意可得90°<C≤120°,那么QUOTE≤cosC<0,解得QUOTE≤a<3.2QUOTEcos2C=1,4sinB=3sinA,ab=1,那么c的值为 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTE【解析】2QUOTEcos2C=1,可得2cos2QUOTE1cos2C=0,那么有cos2C+cosC=0,即2cos2C+cosC1=0,解得cosC=QUOTE或cosC=1(舍),由4sinB=3sinA,得4b=3a,①又ab=1,②联立①,②得a=4,b=3,所以c2=a2+b22abcosC=16+912=13,那么c=QUOTE.二、多项选择题(每题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.(2020·清江高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,假设QUOTEtanB=QUOTEac,那么角B的值为 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】2+c2b2=2accosB代入化简可得2accosB·QUOTE=QUOTEac即sinB=QUOTE,由于0<B<π,所以B=QUOTE或B=QUOTE.6.(2020·本溪高一检测)三角形有一个角是60°,夹这个角的两边长分别为8和5,那么 ()QUOTEπ【解析】QUOTE=7,那么A错误,B正确.设内切圆半径为r,那么QUOTE(8+7+5)r=QUOTE×8×5sin60°,那么r=QUOTE,那么内切圆面积为πr2=3π,那么C正确.设外接圆半径为R,那么2R=QUOTE,其周长为2πR=QUOTEπ,那么D错误.【补偿训练】(2020·吴江高一检测)对于△ABC,有如下推断,其中正确的推断是 ()A.假设sin2A=sin2B,那么△ABC为等腰三角形B.假设A>B,那么sinA>sinBC.假设a=8,c=10,B=60°,那么符合条件的△ABC有两个2A+sin2B<sin2【解析】△ABC中,对于A,假设sin2A=sin2B,那么2A=2B或2A+2B=π.当A=B时△ABC为等腰三角形;当A+B=QUOTE时,△ABC为直角三角形,故A不正确,对于B,假设A>B,那么a>b,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即sinA>sinB成立.故B正确;对于C,由余弦定理可得b=QUOTE=QUOTE,只有一解,故C错误;对于D,假设sin2A+sin2B<sin2C,由正弦定理得a2+b2<c2,所以cosC=QUOTE<0,所以C为钝角,所以△ABC是钝角三角形,故D正确;综上,正确的推断为选项B和D.三、填空题(每题5分,共10分)7.在△ABC中,a2b2=QUOTEbc,sinC=2QUOTEsinB,那么A=.

【解析】由sinC=2QUOTEsinB及正弦定理得c=2QUOTEb,把它代入a2b2=QUOTEbc,得a2b2=6b2,即a2=7b2.由余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又由于0°<A<180°,所以A=30°.答案:30°8.在△ABC中,A=60°,最大边长与最小边长是方程x29x+8=0的两个实根,那么边BC的长为.

【解析】设内角B,C所对的边分别为b,c.由于A=60°,所以可设最大边与最小边分别为b,c.由条件可知b+c=9,bc=8,所以BC2=b2+c22bccosA=(b+c)22bc2bccosA=922×82×8×cos60°=57,所以BC=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】(2020·宁波高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos2C=QUOTE,那么sinC=;当a=2,2sinA=sinC时,那么b=.

【解析】cos2C=12sin2C=QUOTE,所以sin2C=QUOTE,由于0<C<π,所以sinC=QUOTE;所以cosC=±QUOTE,由正弦定理可知c=2a=4,所以c2=a2+b22abcosC,当cosC=QUOTE时,整理为b2QUOTEb12=0,即QUOTE=0,所以b=2QUOTE(负值舍去),当cosC=QUOTE,整理为b2+QUOTEb12=0,即QUOTE=0,所以b=QUOTE(负值舍去),所以b=2QUOTE或QUOTE.答案:QUOTEQUOT