高三数学第一轮复习(新人教A)7.1直线的方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第七章直线和圆的方程●网络体系总览●考点目标定位（1）理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式。掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.（2）掌握两条直线平行与垂直的条件、两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的关系。（3）了解二元一次不等式表示平面区域.（4)了解线性规划的意义，并会简单的应用。（5)了解解析几何的基本思想，了解坐标法.（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念,理解圆的参数方程。●复习方略指南1.本章在高考中主要考查两类问题：基本概念题和求在不同条件下的直线方程。基本概念重点考查:(1）与直线方程特征值（主要指斜率、截距）有关的问题;(2）直线的平行和垂直的条件；（3）与距离有关的问题等.此类题大都属于中、低档题，以选择题和填空题形式出现，每年必考。中心对称与轴对称问题虽然在《考试大纲》中没有提及，但也是高考的重点，复习时也应很好地掌握。2。直线与圆、圆锥曲线的位置关系等综合性试题的难度较大，一般以解答题形式出现（此类问题下一章重点复习）。3。由于一次函数的图象是一条直线,因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进行解决，考查学生的综合能力及创新能力.在复习本章时要注意如下几点：1。要能分辨线段的有向与无向概念上的混淆，有向线段的数量与有向线段长度的混淆,能否分清这两点是学好有向线段的关键．2。在解答有关直线的问题时，要注意（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次是倾斜角的范围；（2）在利用直线的截距式解题时,要注意防止由于“零截距"而造成丢解的情况；（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时,要注意检验斜率不存在的情况，防止丢解；（4）要灵活运用定比分点公式、中点坐标公式，在解决有关分割问题、对称问题时可以简化运算;(5）掌握对称问题的四种基本类型的解法；（6）在由两直线的位置关系确定有关参数的值或其范围时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学思想方法．7.1直线的方程●知识梳理1.直线的倾斜角、斜率及直线的方向向量(1）直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°。可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°。（2）直线的斜率倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示,即k=tanα（α≠90°）。倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率,其取值范围是（－∞，+∞).(3）直线的方向向量设F1(x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点,则向量=(x2－x1,y2－y1）称为直线的方向向量。向量=(1，）=(1,k)也是该直线的方向向量,k是直线的斜率。（4）求直线斜率的方法①定义法：已知直线的倾斜角为α,且α≠90°，则斜率k=tanα。②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1)、P2(x2,y2）,且x1≠x2，则斜率k=。③方向向量法:若a=（m，n)为直线的方向向量，则直线的斜率k=.平面直角坐标系内,每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率。斜率的图象如下图。对于直线上任意两点P1(x1，y1）、P2（x2，y2）,当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角α=90°；当x1≠x2时，直线斜率存在,是一实数,并且k≥0时，α=arctank，k＜0时,α=π+arctank。2.直线方程的五种形式（1）斜截式：y=kx+b。（2）点斜式：y－y0=k（x－x0）。（3）两点式：=。（4）截距式：+=1.（5)一般式：Ax+By+C=0。●点击双基1。直线xtan+y=0的倾斜角是A。－B。C.D。解析：k=－tan=tan(π－）=tan且∈［0,π）.答案：D2。过两点(－1，1）和（3，9）的直线在x轴上的截距是A.－B。－C.D.2解析：求出过（－1，1）、(3，9）两点的直线方程，令y=0即得。答案:A3。直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角范围是A.［，）∪（,］B。［0，］∪［,π）C。［0，］D.［，］解析：设直线的倾斜角为θ，则tanθ=－cosα.又－1≤cosα≤1，∴－≤tanθ≤.∴θ∈［0,]∪［，π).答案:B4.直线y=1与直线y=x+3的夹角为___________.解法一：l1：y=1与l2:y=x+3的斜率分别为k1=0，k2=.由两直线的夹角公式得tanα=｜|=，所以两直线的夹角为60°。解法二：l1与l2表示的图象为（如下图所示）y=1与x轴平行，y=x+3与x轴倾斜角为60°,所以y=1与y=x+3的夹角为60°。答案：60°5。下列四个命题：①经过定点P0(x0，y0）的直线都可以用方程y－y0=k（x－x0）表示；（y2－y1）（y－y1)表示;③不经过原点的直线都可以用方程+=1表示;④经过定点A（0，b)的直线都可以用方程y=kx+b表示.其中真命题的个数是A.0B.1C.2D.3解析：对命题①④，方程不能表示倾斜角是90°的直线,对命题③，当直线平行于一条坐标轴时，则直线在该坐标轴上截距不存在，故不能用截距式表示直线。只有②正确.

答案：B●典例剖析【例1】已知△ABC的三个顶点是A（3，－4）、B(0，3）、C（－6，0）,求它的三条边所在的直线方程。剖析:一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等多种形式。使用时，应根据题目所给的条件恰当选择某种形式，使得解法简便。由顶点B与C的坐标可知点B在y轴上，点C在x轴上,于是BC边所在的直线方程用截距式表示，AB所在的直线方程用斜截式的形式表示，AC所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可，最后为统一形式,均化为直线方程的一般式。解：如下图,因△ABC的顶点B与C的坐标分别为（0,3）和（－6,0），故B点在y轴上，C点在x轴上，即直线BC在x轴上的截距为－6，在y轴上的截距为3，利用截距式,直线BC的方程为+=1，化为一般式为x－2y+6=0.由于B点的坐标为（0，3），故直线AB在y轴上的截距为3，利用斜截式，得直线AB的方程为y=kx+3。又由顶点A（3,－4）在其上，所以－4=3k+3。故k=－.于是直线AB的方程为y=－x+3，化为一般式为7x+3y－9=0。由A（3，－4）、C（－6,0),得直线AC的斜率kAC==－。利用点斜式得直线AC的方程为y－0=－（x+6），化为一般式为4x+9y+24=0.也可用两点式，得直线AC的方程为=,再化简即可。评述：本题考查了求直线方程的基本方法.【例2】已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1,b1）、Q2(a2，b2）（a1≠a2）的直线方程.剖析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答.解：∵P(2，3）在已知直线上，∴2a1+3b1∴2a2+3b2∴2（a1－a2）+3（b1－b2）=0,即=－。∴所求直线方程为y－b1=－（x－a1）.∴2x+3y－（2a1+3b1)=0，即2x+3y评述：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙.思考讨论依“两点确定一直线"，那么你又有新的解法吗？提示:由2a1+3b1+1=0，2a2+3b2知Q1、Q2在直线2x+3y+1=0上。【例3】一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：（1)倾斜角是直线x－4y+3=0的倾斜角的2倍；（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点,且△AOB的面积最小(O为坐标原点）。剖析：（2）将面积看作截距a、b的函数，求函数的最小值即可.解：(1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α,且tanα＝,tanθ＝tan2α＝，从而方程为8x－15y+6=0。（2）设直线方程为＋＝1，a＞0，b＞0,代入P（3，2),得＋＝1≥2,得ab≥24，从而S△AOB＝ab≥12,此时＝,∴k＝－＝－.∴方程为2x+3y－12=0。评述：此题（2)也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值。深化拓展若求|PA｜·|PB｜及｜OA｜+|OB｜的最小值，又该怎么解呢？提示：可类似第（2）问求解。●闯关训练夯实基础1。直线x－2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k的范围是A。k≥－1B.k≤1C.－1≤k≤1且k≠0D。k≤－1或k≥1解析：令x=0，得y=k；令y=0,得x=－2k.∴三角形面积S=｜xy｜=k2.又S≤1,即k2≤1，∴－1≤k≤1.又∵k=0时不合题意，故选C。答案：C2。设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=0,则a、b满足A.a+b=1B。a－b=1C.a+b=0D。a－b=0解析：0°≤α＜180°,又sinα+cosα=0，α=135°，∴a－b=0。答案:D3.直线x－y+a=0（a为实常数）的倾斜角的大小是____________。解析：k=，即tanα=。∴α=30°.答案：30°4.已知直线l1：x－2y+3=0，那么直线l1的方向向量a1为____________（注：只需写出一个正确答案即可）；l2过点（1，1），并且l2的方向向量a2与a1满足a1·a2=0，则l2的方程为____________。解析：由方向向量定义即得a1为（2,1）或（1，）.a1·a2=0,即a1⊥a2。也就是l1⊥l2，即k1·k2=－1。再由点斜式可得l2的方程为2x+y－3=0。答案：（2，1）或（1，）2x+y－3=05。已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为,求直线l的方程.解法一：设所求直线l的方程为y=kx+b.∵k＝6，∴方程为y=6x+b。令x=0，∴y=b，与y轴的交点为(0，b）；令y=0,∴x=－,与x轴的交点为（－，0).根据勾股定理得(－）2＋b2＝37，∴b＝±6。因此直线l的方程为y=6x±6．解法二：设所求直线为+=1，则与x轴、y轴的交点分别为（a，0）、（0，b).由勾股定理知a2＋b2＝37.又k=－=6，解此方程组可得∴a2＋b2＝37，解此方程组可得∴－=6.或a＝1，a＝－1，或b＝－6b＝6。因此所求直线l的方程为x+=1或－x+=1，即6x－y±6＝0．6。在△ABC中，已知点A(5，－2）、B（7,3）,且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上。（1)求点C的坐标；（2）求直线MN的方程。解：（1）设点C（x，y），由题意得=0，=0,得x=－5，y=－3。故所求点C的坐标是(－5，－3）.（2）点M的坐标是（0，－），点N的坐标是（1，0），直线MN的方程是=，即5x－2y－5=0。培养能力7.某房地产公司要在荒地ABCDE（如下图)上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一幢八层的公寓楼，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积.(精确到1m2解:如下图，在线段AB上任取一点P，分别向CD、DE作垂线划得一块长方形土地,建立如下图所示的直角坐标系，则AB的方程为+=1.设P（x，20－x）,则长方形面积S=（100－x）［80－（20－x）］（0≤x≤30).化简得S=－x2+x+6000（0≤x≤30）.配方，易得x=5，y=时,S最大，其最大值为6017m2.8.（文)已知点P(1，－1)，直线l的方程为x－2y+1=0。求经过点P,且倾斜角为直线l的倾斜角一半的直线方程。及公式tanα=，得tan2+2·tan－1=0.解得tan=－或tan=－－.由于tanα=，而0<<1,故0〈α<，0<〈。因此tan>0。于是所求直线的斜率为k=tan=－。故所求的直线方程为y－（－1）=（－）(x－1)，即（－）x－y－(－+1）=0。（理）设直线l的方程是2x+By－1=0，倾斜角为α。(1）试将α表示为B的函数；（2)若＜α＜，试求B的取值范围;（3）若B∈(－∞，－2）∪（1，+∞），求α的取值范围。解:(1）若B=0，则直线l的方程是2x－1=0,∴α=;若B≠0，则方程即为y=－x+，∴当B＜0时，－＞0，α=arctan（），而当B＞0时，－＜0，α=π+arctan（－）,－arctan（B＜0)，即α=f（即α=f（B）=π－arctan(B＞0).(2）若α=,则B=0,若α≠，则tanα＜－或tanα＞，即－＜－（B＞0）或－＝＞（B＜0），∴－2＜B＜0或0＜B＜。综上，知－2＜B＜.（3）若B＜－2，则－＜1，∴0＜tanα＜1，0＜α＜；若B＞1，则－＞－2,∴0＞tanα＞－2，π－arctan2＜α＜π。综上，知π－arctan2＜α＜π或0＜α＜。探究创新9。某市现有自市中心O通往正西和东北方向的两条主要公路，为了解决交通拥挤问题，市政府决定修一条环城路,分别在通往正西和东北方向的公路上选取A、B两点，使环城公路在A、B间为线段，要求AB环城路段与中心O的距离为10km，且使A、B间的距离｜AB|最小，请你确定A、B两点的最佳位置(不要求作近似计算）.解：以O为原点，正东方向为x轴的正半轴，正北方向为y轴的正半轴,建立如下图所示的坐标系.设A（－a,0）、B（b，b)（其中a>0，b>0），则AB的方程为=,即bx－（a+b）y+ab=0。∵10=，∴a2b2=100(a2+2b2+2ab）≥100（2+2ab）=200（1+）ab.∵ab>0，∴ab≥200（+1）。当且仅当“a2=2b2”而｜AB|==，∴｜AB|≥20（+1)。当a2=2b2，当ab=10，时，|AB｜取最小值，即a=10，时，|AB｜取最小值，即b=10此时｜OA|=a=10，｜OB|=10，∴A、B两点的最佳位置是离市中心O均为10km●思悟小结直线的倾斜角、斜率及直线在坐标轴上的截距是刻画直线位置状态的基本量,应正确理解；直线方程有五种形式，其中点斜式要熟练掌握，这五种形式的方程表示的直线各有适用范围，解题时应注意不要丢解；含参数的直线方程问题用数形结合法常常简捷些。●教师下载中心教学点睛1.注意斜率和倾斜角的区别，让学生了解斜率的图象.2.直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊形式，