2016年寒假作业数学１理解函数的概念掌握表示法会建立应用问题关系

自测 函数的概念及性理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．—、选择１．已知函数ｆ（ｘ）的定义域为［０，４］，求函数ｙ＝ｆ（ｘ＋３）＋ｆ（ｘ２）的定义域 ）．Ａ．［－１，－２］ Ｂ．［１，２］ Ｃ．［－２，１］ Ｄ．［－１，２］２．下面函数与ｙ＝ｘ为同一函数的是（ ）．Ａ．ｙ＝（槡ｘ）２ Ｂ．ｙ＝槡ｘ２ Ｃ．ｙ＝ｅｌｎｘ ３．已知ｙ＝ｓｉｎｘπ≤ｘ≤３π，则其反函数为（ ）． Ａ． Ｂ．２

＋Ｃ．π－ Ｄ．π＋）．ｘ（ｘ－１）（ｘ－２）Ａ．（－１， Ｂ．（０， Ｃ．（１， Ｄ．（２，二、填空若函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋

，则函数ｆ［ｆ（ｘ）］的定义域 判断函数ｆ（ｘ）

槡１－ｘ＋３－

的奇偶 ７．函数ｙ＝３ｓｉｎ３ｘ－π的最小正周期为 ８．已知ｆｘ＋１＝ｘ３＋１，则ｆ（ｘ） 三、解答判断以下函数是否是同一函数，为什么（１）ｙ＝ｌｎｘ２与ｙ＝２ｌｎｘ（２）ω＝槡ｕ与ｙ＝槡１０．设ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ，ｇ（ｘ）的反函数ｇ（ｘ）

２（ｘ＋

，求ｆ（ｇ（ｘ））ｘ－１１．试判断函数ｆ（ｘ） 的奇偶性１２．设ｆ（ｘ）＝

ｅｘ ｘ＜

，ｇ（ｘ）

–ｘ－ ｘ＜

，求ｆ［ｇ（ｘ）］ｘ＋ ｘ≥ ｌｎ（ｘ＋１） ｘ≥自测 数列极限的概念与计理解数列极限的概念与性质掌握数列极限的四则运算法则与计算数列极限的方法—、选择当ｎ→!时，ｓｉｎ２ｎ

与１为等价无穷小，则ｋ＝ ）Ａ．２２．若

１－

Ｂ． Ｃ． Ｄ．－＝０，则ａ的取值范围是 ） ａ＜或ａ＞３Ｃ．－１＜ａ＜３

Ｄ．ａ＜－３

或ａ＞３．设ａｎ＞０（ｎ＝１，２，３…），Ｓｎ＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋…＋ａｎ，则数列｛Ｓｎ｝有界是数列｛ａｎ｝收敛的（ ）．Ａ．充分必要条 Ｂ．充分非必要条Ｃ．必要非充分条 Ｄ．非充分也非必４．数列｛ｘｎ｝有界是ｌｉｍｘｎ存在的 ）Ａ．必要条 Ｂ．充分条Ｃ．充分必要条 Ｄ．既不充分又不必要条二、填空槡５．ｌｉｍ槡

槡ｎ＋１－槡ｎ－２） １６．ｌｉｍ１１ｎ ｎ＋３７．ｌｉｍｎ＋３→!ｎ＋

１１－１１－１

１－

三、解答

ｎ＋求极限ｌｉｍｎ１＋１＋…＋１→! 限设０＜ｘ１＜４，ｘｎ＋１＝槡ｘｎ（４－ｘｎ），证明极限ｌｉｍｘｎ存在，并求此限自测 函数极限的概念与函数极限计算（一理解函数极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．掌握函数极限的性质及四则运算法则．掌握利用两个重要极限求极限的方法—、选择１．极限ｌｉｍ→

槡ｘ２＋ｘ－ｘ）＝ ）Ａ．０ Ｂ．∞ Ｃ．２ Ｄ．１若

１

５－

＝

则ｋ＝ ） Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．关于函数的极限列说法正确的（）Ａ．若ｍｆｘ）和ｍ（ｘ）都不存在，则ｍｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）］一定不存 若ｍｘ）和ｍ（ｘ）都不存在，则ｍｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）］一定不存 Ｃ．若ｉｍｘ）和ｍ（ｘ）都不存在，则ｍｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］一定不存 若ｍｘ）存在且不为０，但ｍ（ｘ）不存在，则ｍｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）］一定不存４．若ｌｉｍｆ（

＝１，则ｌｉｆ（ｘ）＝ ）

ｘｘｓｉｎ２ Ａ． Ｂ．６

Ｃ． Ｄ．二、填空２ｘ－５．→＋

＋３ｘ ６．

１－ｘ－槡 槡７．

（１＋３ｘ２）

–９）８． ｘ０三、解答９．求 ｌｎｘｘ９．求 ｌｎｘｘ１ｘ－１０．求

１＋ｘ１－

–．ｘ１１．设ｌｉｍｘ＋２ａ ｘ－

＝８，求ａ的值自测 函数极限计算（二掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．会用等价无穷小量求极限．—、选择１．在以下各式中，极限存在，但是不能用罗比达法则计算的是 ）Ａ．

Ｂ．

ｘ＋ｌｎ（１＋３ｘ）Ｃ．ｌｉｍｔａｎｘ－ Ｄ．ｌｉｍｌｎ（ｘ＋１）＋ ｅｘ－２．当ｘ→０时，下列哪组不是等价无穷小 ）５３Ａ．ａｒｃｓｉｎｘ～ Ｂ．１＋１槡５３

—１

５槡Ｃ．ｌｎ（１－ｘ）～ Ｄ．ｅ３ｘ－１～３．当ｘ→０＋时，与槡ｘ等价的无穷小量是 ）Ａ．１－ｅ槡 Ｂ．ｌｎ１＋１－槡Ｃ．槡１＋槡ｘ－ Ｄ．１－ｃｏｓ槡４．已知当ｘ→０时，函数ｆ（ｘ）＝３ｓｉｎｘ－ｓｉｎ３ｘ与ｃｘｋ是等价无穷小，则（ Ａ．ｋ＝１，ｃ＝４ Ｂ．ｋ＝１，ｃ＝－４Ｃ．ｋ＝３，ｃ＝ Ｄ．ｋ＝３，ｃ＝－二、填空 ５．极限ｌｉｍｘ３－ ３ｘ→!３ｘ＋６．极限ｌｉｍ→

槡ｘ２＋３－槡ｘ２＋１） ７．极限ｌｉｍｘｌｎ（１＋ ０ｌｎｃｏｓ２ｘ－ｌｎ（１＋ｓｉｎ２８．极限ｌｉｍ ＝ 三、解答．９．求极限ｌｉｍ［ｓｉｎｘ－ｓｉｎ（ｓｉｎｘ）］． 求极限

槡１＋ｔａｎｘ－槡１＋ｓｉｎｘ ．求极限．ｘ＋ｘ＋１

ｘｘ１１２．求极限ｌｉｍ３ –１２＋ｃｏｓｘｘ０ 自测 无穷小的比较及无穷小的性理解无穷小量、无穷大量的概念．掌握无穷小量的比较方法．会用等价无穷小量求极限—、选择１．当ｘ→０时，下列无穷小中阶数最高的是 ）Ａ． Ｂ．１－

Ｃ．槡１－ｘ２－

Ｄ．ｓｉｎｘ－２．已知当ｘ→０时，函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ－ｓｉｎ３ｘ与ｃｘｋ是等价无穷小，则（ Ａ．ｋ＝１，ｃ＝４ Ｂ．ｋ＝１，ｃ＝－４Ｃ．ｋ＝１，ｃ＝－２ Ｄ．ｋ＝３，ｃ＝－４３．当ｘ→０时，求ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ关于ｘ的几阶无穷小（ ）．Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４二、填空ｓｉｎ２＋ｔａｎ４．ｌｉｍ（１＋ｘ）ｃｏｔｘ ５． ｘ ａｒｃｓｉｎｘ６．

３ｘ

７．

ｅ２ｘ－ｅ－ｃｏｓ槡ｘｃｏｓ槡ｘ－ｘ０（三、解答

–ｅ）

８．设ｆ（ｘ）～Ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）～Ｇ（ｘ），且ｌｉｍＦ（Ｇ（

存在，证明ｌｉｍｆ（ｇ（

＝ｌｉｍＦ（ｘ）Ｇ（求极限

ｘ２ａｒｃｓｉｎｘ

１ １０．求极限ｌｉｍ［１＋ｌｎ（１＋ｘ）］ｓｉｎｘ自测 函数极限的综合运掌握函数极限四则运算方法求极限过程中能综合运用多种求极限的方法—、选择２１．ｌｉｍｘ２－１的值是 ）２ｘ→!ｘ＋Ａ．Ｂ．Ｃ．存–下列结论确的（）Ａ．→＝Ｂ．ｌｉｍ（１０）ｘ＝Ｃ．→＝Ｄ．ｌｉｍ２ｘ＝３．函数ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０处的极限不存在，则（ Ａ．ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０处有定义ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ处没有定ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ处及其附近没有定ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ处可能有定义，也可能无定４．若ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ，ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ，则下面说法正确的是 ） ｘ→ｘ０Ａ．ｆ（ｘ）＝ Ｂ．ｍｘ）＝Ｃ．ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０处有定 Ｄ．上面说法都正二、填空

ｘ－１６．ｌｉｍ（１＋

ｘ ７．ｌｉｍｘｘ ｘ０８．若ｆ（ｘ） 的极限为１，则ｘ的变化趋向（ｘ－１）槡ｘ２＋三、解答求极限

槡１＋ｘ－１槡４＋ｘ－ １０．求极限ｌｉｍｘ４＋ ２ｘ０ｓｉｎｘ２１１．求极限ｌｉｍ（

ｘ２１２．求极限ｌｉｍｃｏｓｘ－ｅ２ 自测 函数的连续性及其性理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．—、选择１．方程ｘ５－５ｘ＋１＝０在（０，１）内 ）Ａ．无实 Ｂ．有唯一实Ｃ．有两个实 Ｄ．有三个实２．函数ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ－１）（ｘ－２）在下列哪个区间是连续的 ）Ａ．－１，１ Ｂ．１，３２ ２Ｃ．３，５ Ｄ．５，７２ ２２ｘ＋１，ｘ≠３．２ｘ＋１，ｘ≠＝

在ｘ＝１处连续，则ｋ＝）．ｋ＋ Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．２ ｘ－ｘ３４．函数ｆ（ｘ）＝ｎｘ的可去间断点的个数为 ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．二、填空已知函数ｆ（ｘ）ｉｆ（ｘ）

２ｘ＋ ｘ≥，则ｍｘ） ；ｍｘ） ｘ＜ ｘ１６．函数ｆ（ｘ）

ｘｓｉｎ１ ｘ≠ｘ ｘ＝

在ｘ＝０ 间断点７．当ａ＝ 时，ｆ（ｘ）

ａ＋ ｘ≥续三、解答

ｘ ｘ＜ｘ８．确定ａ和ｂ的值，使ｆ（ｘ）＝

ｘ＝０在ｘ＝０处连续．＋ｂ，ｘ＞ｂ证明方程ｘ＝ａｓｉｎｘ＋ｂ，其中ａ＞０，ｂ＞０，至少有一个正根，且这个正根不超过ａ＋求ｆ（ｘ）＝ｌｉｍ１＋ｘ的间断点并判断其类型→!１＋１１．证明：若函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］连续，ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ∈［ａ，ｂ］，且ｔ１＋ｔ２＋…＋ｔｎ＝１，ｔｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ，则在（ａ，ｂ）内至少存在一点ξ使得ｆ（） ＝ｔ１ｆ（ｘ１）＋ｔ２ｆ（ｘ２）＋…＋ｔｎｆ（ｘｎ）自测 导数的概念与导数的几何意理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程．理解函数的可导性与连续性之间的关系．—、选择１．设ｆ（ｘ）＝（２＋ｘ）ｓｉｎｘ，则ｆ（ｘ）在ｘ＝０处 ）Ａ．ｆ′（０）＝ Ｂ．ｆ′（０）＝ Ｃ．ｆ′（０）＝ 不可２．设ｆ（ｘ）为可导函数且满足ｌｉｍｆ（ａ）－ｆ（ａ－ｘ）＝，则曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（ａ，ｆ（ａ）） 的切线斜率为 ）Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－ｘｓｉｎ１ ｘ≠３．ｘｓｉｎ１ ｘ≠ ｘ＝

，则ｆ（ｘ）在ｘ＝０处 ）Ａ．可 Ｂ．连续但不可Ｃ．不连 Ｄ．左可导而右不可二、填空４． ｆ（ ，ｂ

ｘ２＋ｘ＋１，ｘ≤，为 ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导，则系 ａａｘ＋ ｘ＞５．曲线ｘ＝ｔｃｏｓｔ在ｔ＝π处的法线方程 ６．

ｘ＝ｙ＝ｌｎ（１＋ｔ２

确定了ｙ＝ｙ（ｘ），

ｄ２ｄｘ２ 三、解答７．设ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘ－２）…（ｘ－ｎ），求ｆ′（１）（ｘ＋１）（ｘ＋２）…（ｘ＋设函数ｆ（ｘ）在ｘ处可导，计（１）ｌｉｍｆ（ｘ０）－ｆ（ｘ０－ （２）ｌｉｍｆ（ｘ０＋ｈ）－ｆ（ｘ０－ （３）ｌｉｍｆ（ｘ０＋２ｈ）－ｆ（ｘ０＋ （４）ｌｉｍｆ（ｘ０－ｈ）－ｆ（ｘ０＋ ９．求曲线ｙ＝ｘ＋ｓｉｎ２ｘ在点 π，１＋π处的切线方程与法线方程． 设ｆ（ｘ）为周期为５的连续函数，它在ｘ＝０的某个邻域内满足ｆ（１＋ｓｉｎｘ）－３ｆ（１－ｓｉｎｘ）＝８ｘ＋ｏ（其中ｏ（ｘ）是当ｘ时比ｘ高阶的无穷小量，且ｆ（ｘ）在ｘ＝处可导，求曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（６，ｆ（６））处的切线方程．自测 各类函数的求导方掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数—、求下列各类具体函数的导求复合函数的导数（１）ｙ＝

１＋

（２）ｙ＝（２ｘ＋１）（３）ｙ＝ｔａｎ （４）ｙ＝ｌｎ（ｘ＋槡ｘ２＋参数方程所确定的函数求导（１）

ｘ＝ｌｎ（１＋ ，．，．（２）设在极坐标下ρ＝２求隐函数求导（１）ｅｙ＋ｘｙ－ｅ＝０，求ｙ′，ｙ″（０）（２）设ｙ＝ｔａｎ（ｘ＋ｙ），求幂指函数ｘ幂指函数ｘ导

ｘ ｘ， （２）ｙ＝（ ， １＋ 求函数的高阶导数 （

（（１）ｙ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ，求ｙ （２）ｙ＝２ ，求ｙ．ｘ－３ｘ＋２二、积分上限函数的导数设φｘ）

ｘ∫ｓｉｎｔｄｔ，求导数φ（ｘ）∫１∫ｔ∫ｘ（ｔ）７．ｙ（ｔ）

， ∫ ∫ｔ设５０ｘ３＋４０

∫ｆ（ｔ）ｄｔ，求ｆ（ｘ）及∫ｃ三、分段函数的导数设ｆ（ｘ）在（－!，＋!）二阶可导，ｆ（０）＝０，ｇ（ｘ）

ｆ（ｘ）， ｘ≠０ｆ′（０） ｘ＝

，求ｇ′（ｘ） ｘ＜ １０．已知ｆ（ｘ）＝ ｘ

，ｆ（ｘ）在ｘ２

２处可导，求ａ，ａｘ２＋ｂ，ｘ＞ ２（１－ｃｏｓｘ） ｘ＜１１．讨论ｆ（ｘ）＝

ｘ＝０在ｘ＝处的连续性与可导性ｘｃｏｓｔ２ ｘ＞ｘ自测 微分中值定理及其应理解并会用罗尔（Ｒｏｌｌｅ）定理、拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）中值定理和泰勒（Ｔａｙｌｏｒ）定理，了解并会用柯西（Ｃａｕｃｈｙ）中值定理．１．设ｆ（ｘ）在区间［０，１］上连续，（０，１）内可导，且ｆ（１）＝０，证明：ξ∈（０，１），使得ξ（０，１），２ｆ（ξ＋ξｆ（ξ＝２．证明恒等式ａｒｃｔａｎｘ－１ａｒｃｃｏｓ ＝π（ｘ≥１） １＋ ３．设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内可导，证明：ξ∈（ａ，ｂ），使得ｆ（ξ＋ξｆ（＝ｂｆ（ｂ）－设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内可导，证明：至少存在一个ξ∈（ａ，ｂ）使得ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｌｎｂ·ξｆ（ξ．设ａ＞ｂ＞０，ｎ＞１，证明：ｎｂｎ－１（ａｂ）＜（ａｎ－ｂｎ）＜ｎａｎ－１（ａｂ）６．设ｆ″（ｘ）连续，ｆ″（ａ）≠０，有公式ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ａ）＋ｘｆ′（ａ＋ｘ（０＜θ＜１），试求ｘ时θ的极限７．设ｆ（ｘ）在［０，１］上可导，且０＜ｆ（ｘ）＜１，对于（０，１）内的所有点ｘ，有ｆ′（ｘ）－，证明方程ｆ（ｘ）＋ｘ＝０在（０，１）内有唯一实根．８．设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内可导，且ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝１，试求ξ，η∈（ａ，ｂ）使得ｅξｆ（η＋ｆ′（η＝１．ｆ′（

９．设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内可导，且ｆ′（ｘ）≠０，求证：ξ，η∈（ａ，ｂ），使ｅｂ－ｆ′（

＝ｂ－

ｅ－η１０．设函数ｆ（ｘ）在［，１］具有三阶连续导数，且ｆ（）＝０，ｆ（１）＝１，ｆ′（０）＝０，证明ξ∈（，１），使ｆ（）＝自测十 导数的应用（一理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法．掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．—、选择１．函数ｙ＝槡－ｘ２－２ｘ＋３的增区间是 ）Ａ．［－３，－ Ｂ．［－１， Ｃ．（－!，－ Ｄ．［－１，＋２．函数ｆ（ｘ）＝４ｘ２－ｍｘ＋５在区间［－２，＋!）上是增函数，在区间（－!，－２）上是减函数，则ｆ（１）等于（ ）．Ａ．－ Ｂ． Ｃ． Ｄ．３．已知函数ｆ（ｘ）在区间（－!＋!上是增函数，ａ，ｂ∈Ｒ且ａ＋ｂ０，则下列不等式中正确的是（ ）．Ａ．ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）≤－ｆ（ａ）＋ｆ（ Ｂ．ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）≤ｆ（－ａ）＋ｆ（－Ｃ．ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）≥－ｆ（ａ）＋ｆ（ Ｄ．ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）≥ｆ（－ａ）＋ｆ（－４．已知函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上单调，且ｆ（ａ）·ｆ（ｂ）＜０，则方程ｆ（ｘ）＝０在区间［ａ，ｂ］内（ ）．Ａ．至少有一实 Ｂ．至多有一实Ｃ．没有实 Ｄ．必有唯一的实二、解答求函数ｆ（ｘ）＝ｘ４２ｘ２在［，２］上的最大值与最小值求函数ｆ（ｘ）＝（ｘ２）３的极值与单调区间设函数ｆ（ｘ）在（－!，＋!上连续且单调减少，Ｆ（ｘ）＝Ｆ（ｘ）在（!，＋!）上是单调增加的．

∫（ｘ－２ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ，证明：函∫０设函数ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０的某邻域内具有三阶连续导数．如果ｆ′（ｘ）＝０，ｆ″（ｘ）＝０，ｆ（ｘ０）０问ｘ＝ｘ０是否为极值点？为什么？证明：当０＜ｘ＜１时，（１＋ｘ）ｌｎ２（ｘ）＜１０．证明：１＋ｘｌｎ（ｘ＋槡１＋ｘ２）≥槡自测十 导数的应用（二曲线的凹凸性、拐点及渐近线会用导数判断函数图形的凹凸性会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．（数学一、数学二）—、选择１．设在［０，１］上，ｆ″（ｘ）＞０，则下列结论成立的是 ）Ａ．ｆ′（１）＞ｆ′（０）＞ｆ（１）－ｆ（０） Ｂ．ｆ′（１）＞ｆ（１）－ｆ（０）＞ｆ′（０）Ｃ．ｆ（１）－ｆ（０）＞ｆ′（１）＞ｆ′（０） Ｄ．ｆ′（１）＞ｆ（０）－ｆ（１）＞ｆ′（０）若（ｘ，ｆ（ｘ））是函数ｆ（ｘ）的拐点，则ｆ（ｘ）必满足（）．Ａ．在点（ｘ０，ｆ（ｘ０））处必取得极 Ｂ．在点（ｘ０，ｆ（ｘ０））处必有切Ｃ．ｆ″（ｘ）＝ Ｄ．以上都不３．若奇函数ｆ（ｘ０）在（０，＋!）内有ｆ′（ｘ）＞０，ｆ″（ｘ）＞０，则在（－!，０）内（ Ａ．ｆ′（ｘ）＜０，ｆ″（ｘ）＜０ Ｂ．ｆ′（ｘ）＜０，ｆ″（ｘ）＞０Ｃ．ｆ′（ｘ）＞０，ｆ″（ｘ）＜ Ｄ．不确１曲线ｙ＝ｅｘ

ｘ２＋ｘ＋（ｘ－１）（ｘ＋

渐近线的条数为 ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．二、填空５．曲线ｙ＝ｌｎ（１＋ｅｘ）的斜渐近线方程 已知曲线ｙ＝ｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ａ上有拐点（１，），且在ｘ＝处的切线平行于ｘ轴，则 ，ｂ ，ｃ 三、解答１求函数ｆ（ｘ）＝２＋（ｘ）３的拐点与凹凸区间求曲线ｆ（ｘ）＝槡ｘ２＋ｘ的渐近线ｘ

的渐近线ｘ２＋ｘ－．１０．证明：当ｘ＞０，ｙ＞０，ｘ≠ｙ时，ｘｌｎｘ＋ｙｌｎｙ＞（ｘ＋ｙ）ｌｎｘ＋．２自测十 不定积分及其换元法与分部积分理解函数的概念，理解不定积分和积分的概念掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．—、选择１．若ｆ（ｘ）的导函数是ｓｉｎｘ，则ｆ（ｘ）有一个原函数为 ）Ａ．１＋ｓｉｎｘ Ｂ．１－ｓｉｎｘ Ｃ．１＋ｃｏｓｘ Ｄ．１－ｃｏｓｘ２．设ｆ（ｘ）为连续导函数，则下列命题正确的是（ ）．２Ａ．∫ｆ′（２ｘ）ｄｘ＝１ｆ（２ｘ）＋ Ｂ．∫ｆ′（２ｘ）ｄｘ＝ｆ（２ｘ）＋２Ｃ．（∫ｆ′（２ｘ）ｄｘ）′＝２ｆ（ Ｄ．∫ｆ′（２ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）＋３．设ｅ－２ｘ是ｆ（ｘ）的一个原函数，则ｌｉｍｆ（ｘ－２－ｆ（ ＝ ） Ａ． Ｂ．－ Ｃ．－ Ｄ．二、填空４．已知ｆ′（ｔａｎｘ）＝ｓｅｃ２ｘ，ｆ（０）＝２，则ｆ（ｘ）＝ ５．设ｆ′（ｌｎｘ）＝（１＋ｘ）ｌｎｘ，则ｆ（ｘ）＝ 三、解答利用基本积分公式计算下列积（１）∫１ （２）

槡ｘ槡

（３）

（ｓｉｎ２ｘｃｏｓ ∫ｔａｎ２利用第一类换元法计算下列积３ｘ２＋

ａｒｃｔａｎ∫ｘ∫（１）

（＋ｘ＋

１＋利用第二类换元法计算下列积（１） （２） （１＋ｘ２）槡１

槡（ｘ２＋１）利用分部积分法计算下列积 （１） （２）∫ｘｌｎ（１＋ｘ） （ （ ｌｎｘ

（１－ 自测十四 有理函数的积分与可化为有理函数的积分会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分∫计算下列各个函数的不定积∫

ｘ２＋２ｘ－

ｘ＋２ｄｘｘ２＋２ｘ＋２ ３．∫ ４． ｘ＋

ｘ（１＋ｘ）５．

６．

１＋ｓｉｎｘ ７．２ｓｉｎｘ－ ｓｉｎｘ＋ ｓｉｎｘ＋２ｃｏｓ ∫∫∫ ｓｉｎｘ＋自测十 定积分的概念及其性理解定积分的概念和基本性质，掌握定积分中值定理理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式—、选择将和式的极限１

１ｐ＋２ｐ＋３ｐ＋．．．．．．．＋ｎｐｎｐ＋１

（ｐ＞０）表示成定积分 ）Ａ．

Ｂ．∫ｘｐ Ｃ．∫１ ∫ｘ ０ ２２．曲线ｙ＝ｃｏｓｘ，ｘ∈０，３π与坐标轴围成的面积是 ）２Ａ．４ Ｂ．２ Ｃ．５

Ｄ．１ ｅ

ｘｄｘ，则ｍ与ｎ的大小关系是 ）ｍ＞ ｍ＜ ｍ＝ 无法确二、填空 ４．若ｆ（ｘ）是一次函数，且∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝５，∫ｘｆ（ｘ）ｄｘ＝６，那么

２ｆ（ｘ

ｄｘ的值 ∫ｘ∫ｔｆ（ｔ）０５．Ｆ（ｘ） ｘ≠０，其中ｆ（ｘ）在ｘ＝０处连续，且ｆ（０）＝０，若Ｆ（ｘ）在ｘ＝ ｘ＝处连续，则ｃ 三、解答利用定积分定义求极限ｌｉｍ１（１＋…＋ｎ３）→!设ｆ（ｘ）＝ｃｏｓ４ｘ

ｆ（ｘ）ｄｘ中ｆ（ｘ）为连续函数求ｆ（ｘ）０８．设ｆ（ｘ）

∫（ｅｔ２－１）∫０

ｘ０，问当Ａ为何值时，ｆ（ｘ）在点ｘ＝０处可导，并 ｘ＝出ｆ′（０）１２９．设ｆ（ｘ）在［０，１］上连续，在（０，１）内可导，且∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（０），求证：至少存在一点ξ２３（０，１）使ｆ′（ξ＝自测十 定积分的计掌握换元积分法与分部积分法—、计算下列各个函数的定积分∫ ∫

槡１－ｘ２

（ｘ２槡４－ｘ２＋ｘｃｏｓ５ｘ）３．

４．２ｅｘ２－２１＋ ∫ ∫ ｌｎｘ ６．ｅ槡ｘ ｅ二、证明π７．证７．证２ｓｉｎｘｄｘ＝π０ｓｉｎｘ＋ 设ｆ（ｘ）在（－!，!）上连续，证明

ｄ

（ｘ－ｔ）ｆ′（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）ｄｘ三、计算９．计

２∫ａｘｘ２，ｘ｝∫０１０．设ｆ（ｘ）

，Ｆ（ｘ）＝∫ｆ（ｔ）ｄｔ，０≤ｘ≤２，求Ｆ（ｘ）３ｘ２ ０≤ｘ＜ ３ｘ２ ０≤ｘ＜ 自测十 变限积分函数的应用与反常积掌握积分上限的函数的应用，会求它的导数．了解反常积分的概念，会计算反常积分．—、选择设函数ｆ（ｘ）

∫ｌｎ（２＋ｔ）ｄｔ，则ｆ′（ｘ）的零点个数 ）０Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．＋

＝ ） １＋

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．二、填空无穷积

＋∫ｐ，当ｐ满 时收敛；当ｐ满 时发散∫瑕积

∫ ∫∫ ∫

ｑ（ｑ＞０），当ｑ满 时收敛；当ｑ满 时发散 无穷积

∫２ｘｌｎ２ｘ ；瑕积 ∫三、解答ｎ 求极限ｌｉｍ槡

!７．∫ｅ－２ｘ! 设Ｆ（ｘ）

∫ｅ－ｔｃｏｓｔｄｔ，试求∫０（１）Ｆ（０），Ｆ′（０），Ｆ″（０）（２）Ｆ（ｘ）在闭区间［０，π上的极大值与极小值∫判别瑕积∫

２ｄｘ的收敛性１自测十 定积分的几何应掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长（数学一、数学二）、旋转体的体积、侧面积（数学一、数学二）、平行截面面积为已知的立体体积（数学一、数学二））．—、求平面图形的面１．ｙ＝ｘ

与直线ｙ＝ｘ及ｘ＝所围成的平面图形由两条曲线ｙ＝ｘ２，ｘ＝ｙ２围成的平面图形求星形线ｘ＝ａｃｏｓ３ｔ，ｙ＝ａｓｉｎ３ｔ（≤ｔ２所围成的平面图形圆ρ＝槡２与双纽线ρ２＝２ｉ２θ所围成的平面图形二、求平面曲线的弧３半立方抛物线的一支ｙ＝ｘ２上ｘ＝到ｘ＝的一段弧求心脏线ｒ＝１＋ｃｏθ（≤θ２的全长三、求旋转体的体曲线ｙ＝（ｘ）（ｘ），ｘ轴围成的平面图形分别绕ｘ轴及ｙ轴旋转所形成的立体曲线ｙ＝ｅｘ及其上过原点的切线与ｙ轴所围