第二节正态总体均值的假设检验

第二节正态总体均值的假设检验第一页，共十七页，编辑于2023年，星期一一、单个总体均值的检验:,::)(0100，

HHi¹=mmmm0取统计量nXZ-=sm)10(对于给定的<<aa第二页，共十七页，编辑于2023年，星期一

)}({检验法或称检验法Zu-k2或Z>k1为Z故拒绝域的形式<从而拒.z||

/20绝域为nX>-asm}z|{|/20成立时有而当ZPH=>aa0若<mm偏大。偏小；反之，ZZ)1,0(~10成立时，，而当成立时，当HNZH第三页，共十七页，编辑于2023年，星期一.znX

0a>sm-从而拒绝域为,}znX{P}znX{P0aaa£>sm-a=>sm-，则若)1,0(N~nXznXznX0aasm->sm->sm-，而蕴含nXnXH00sm-£sm-，故成立时，当的)10(<a<a对于给定nXZ0sm-=取统计量:H,:H)ii(0100m>mm£m

第四页，共十七页，编辑于2023年，星期一.znX

0a-<sm-从而拒绝域为}-znX{P}-znX{P0aaa£<sm-a=<sm-，，则若)1,0(N~nX-znX-znX0aasm-<sm-<sm-，，而蕴含nXZ0sm-=取统计量:H,:H)iii(0100m<mm³m

nXnXH00sm-³sm-，故成立时，当，)10(<a<a的对于给定第五页，共十七页，编辑于2023年，星期一m-nSXt0取统计量：=:H,:H0100

检验：m¹mm=m)t().1n(t|nSX|

/20检验法

从而拒绝域为->m-a,)}1n(t|t{|P)1n(t~t,H/20，成立时当a=->-a，)10(<a<a的对于给定。，可类似地推出拒绝域统计量：），仍取和关于单侧假设检验（说明：nSXT000m-=m³mm£m第六页，共十七页，编辑于2023年，星期一例1.某种电子元件的寿命x(以小时计)服从正态分布，,2均未知,现测得16只元件的寿命如下:

159280101212224379179264222362168250149260485170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时?，成立时，由当nSXnSXH00m-£m-。，统计量：取nSXt05.0m-==a按题意需检验解.225:H,225:H:100>m=m£m，，蕴含知)1n(tnSX)1n(tnSX0->m-->m-aa第七页，共十七页，编辑于2023年，星期一小时。命不大于即认为元件的平均寿225不落在拒绝域中，t故接受H0，m-7531.16685.0nSXt0<==即有，又算得7259.98s5.241x==，现7531.1)15(t16n05.0==，成立时，当)1n(t~tH0-所以拒绝域为：)1n(tnSX0->m-a.)}1n(tt{Pa=->a第八页，共十七页，编辑于2023年，星期一二、两个正态总体均值差的检验（t检验）:第九页，共十七页，编辑于2023年，星期一说明：

1.对于单侧检验“H0:1-2≤0”

和“H0:1-2≥0”,可以类似地讨论。常用的是0=0。

2.对于两个正态总体的方差均为已知时,

可用“u-检验方法”检验。第十页，共十七页，编辑于2023年，星期一例2.在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率,试验是在同一只平炉上进行的.每炼一炉钢时除操作方法外,其它条件都尽可能做到相同.先用标准方法炼一炉,然后用建议的方法炼一炉,以后交替进行,各炼了10炉,其得率分别为:

标准方法:78.172.476.274.377.478.476.075.576.777.3

新方法:79.181.077.379.180.079.179.177.380.282.1

设这两个样本相互独立,且分别来自正态总体N(1,2)和N(2,2),1,

2,2均未知.问建议的新操作方法能否提高得率?（取α=0.05.）第十一页，共十七页，编辑于2023年，星期一即认为新方法能提高得率。,7341.1)18(05.0=t,775.221010)110()110(22212=-+-+-=sssp===.225.2,43.79,10;325.3,23.76,10222211===synsxn

和样本方差：的样本均值分别求出两种方法对应解需要检验假设：.0:0:211210<-=-HH，mmmm故拒绝可算得,,7341.1295.40HT-<-=故拒绝域为：,7341.1)18(10110105.0tSYXTp-=-£+-=第十二页，共十七页，编辑于2023年，星期一例2某地区高考负责人想知道某年来自城市中学考生的平均成绩是否比来自农村中学考生的平均成绩高。已知总体服从正态分布，且方差大致相同，由抽样获得资料如下：城市85759278889485897891农村88789183929688978393.0H故接受,734.1)18(199.110110105.0tSYXTp=<-»+-=Q第十三页，共十七页，编辑于2023年，星期一三、基于成对数据的检验（t检验）:设X和Y是两个正态总体,均值分别为1和2，X和Y不是相互独立的。取成对样本:(X1,Y1),(X2,Y2),…,(Xn,Yn)。要检验：

H0:1=2,H1:1≠2.

可以把这个问题转化成单个总体的假设检验，令Z=X-Y,它服从N(,2),

这里

(=1-2),2均未知。

Zi=Xi–Yi(i=1,2,…,n)是来自该正态总体的样本。显然,检验H0:1=2,H1:1≠2等价于检验

H0:=0,H1:≠0,

于是可把问题转化为上节的情况。第十四页，共十七页，编辑于2023年，星期一例3.有两台光谱仪Ix,Iy,

用来测量材料中某种金属的含量,为鉴定它们的测量结果有无显著的差异,制备了9件试块(它们的成份、金属含量、均匀性等均各不相同),现在分别用这两台仪器对每一试块测量一次,得到9对观察值如下:x(%)0.200.300.400.500.600.700.800.901.00y(%)0.100.210.520.320.780.590.680.770.89z=x-y0.100.09-0.120.18-0.180.110.120.130.11问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异？第十五页，共十七页，编辑于2023年，星期一解:分别作各对数据的差zi=xi-yi，如上表,并假设z1,z2,…,z9来自正态总体N(,2),这里,2均属未知。若两台仪器的性能一样,则各对数据的差异可看作是随机误差,

而随机误差可以认为服从正态分布,其均值为零，因此本题归结为检验假设:H0:=0,H1:

≠

0.成立，，若由前面的结论知，可取0Hz0nSTd-=)，1(t~nT-知其拒绝域为：z2/)1(t|0|||nnSTd-³-=