第三讲分离变量法

第三讲分离变量法第一页，共三十一页，编辑于2023年，星期一例如：若u1(x,t)是方程的解，而u2(x,t)是方程的解，则对于任意的常数C1、C2，函数是方程的解。典型例子：声学中把弦线振动时所发出的复杂的声音分解成各种单音的叠加。第二页，共三十一页，编辑于2023年，星期一2．傅立叶级数若f(x)是以2l为周期的函数，在[-l，l]上满足Dirichlet条件，即在上只有有限多个第一类间断点和有限多个极值点，则在[-l，l]上f可以展开成Foureir级数第三页，共三十一页，编辑于2023年，星期一当f为奇函数时，当f为偶函数时，第四页，共三十一页，编辑于2023年，星期一3．常系数二阶线性常微分方程的通解(1).当k1,k2为实数且k1≠k2时，(2).当k1=k2=k时，(3).当k1=,k2=特征方程:第五页，共三十一页，编辑于2023年，星期一§3-1有界弦的自由振动——齐次弦振动方程的初边值问题我们设想先求出足够多的变量分离形式的非平凡(即不恒为零)的特解u(x,t)=X(x)T(t)，然后把这些特解叠加得到问题的最终解以下我们详细介绍如何运用这一思想求解初边值问题：3.1第六页，共三十一页，编辑于2023年，星期一设将上式分离变量，有：在(3.2)式中，左边仅是t的函数，右边仅是x的函数，左右两端要相等，只有等于同一个常数才可能。记这个常数为-λ(其值待定)，就得到：带入方程(3.1)，得到：Sturm-Liouville方程第七页，共三十一页，编辑于2023年，星期一情况A当λ<0时，方程(3.4)的通解为这样方程(3.2)就被分离为两个常微分方程，可以通过求解这两个方程来决定X(x)和T(t)，从而得到方程(3.1)的特解X(x)T(t)。为了使此解是满足齐次边界条件的非平凡解，就必须找出方程(3.4)的满足边界条件X(0)=0，X(l)=0的非平凡解。由常微分方程理论可知，方程(3.4)的通解随λ>0,λ=0以及λ<0而不同，下面分以上三种情况讨论。X(0)=0，X(l)=0Sturm-Liouville问题特征值问题：寻找λ值使S-L问题有非零解。特征方程的实根:第八页，共三十一页，编辑于2023年，星期一要使它满足边界条件X(0)=0和X(l)=0，就必有从而推知C1=C2=0。故在λ<0的情况下不可能得到非平凡解。(齐次线性代数方程组系数行列式不为零)情况B当λ=0时，方程(3.4)的通解为要使它满足边界条件X(0)=0和X(l)=0，X(x)也必恒为零。第九页，共三十一页，编辑于2023年，星期一情况C当λ>0时，方程(3.4)的通解为要使此解满足边界条件X(0)=0，则C1=0。为了使C2≠0，就必须有于是可以确定λ的取值为这样就找到了一族非零解：再由X(l)=0，可知特征值特征函数第十页，共三十一页，编辑于2023年，星期一数学上，称(3.5)右端的函数为常微分方程(3.4)满足边界条件X(0)=0和X(l)=0的固有函数（或特征函数），而λ=k2π2/l2称为相应的固有值或特征值。例题第十一页，共三十一页，编辑于2023年，星期一将固有值λk带入方程(3.3)中，可求得其通解为上式中Ak，Bk

为任意待定常数。这样我们就得到了方程(3.1)满足边界条件u(0,t)=0和u(l,t)=0的分离变量形式的特解:特征方程的实根:第十二页，共三十一页，编辑于2023年，星期一现在我们设法作出这种特解的适当的线性组合，以得出初边值问题的解。也就是说，要确定出常数Ak

和Bk

使满足初始条件第十三页，共三十一页，编辑于2023年，星期一在(3.6)式中的级数可以逐项求导时，我们得到：结合初始条件，应有观察发现Ak

和Bkkπa/l分别是φ(x)和ψ(x)在区间[0,l]上正弦展开的傅立叶级数的系数，即第十四页，共三十一页，编辑于2023年，星期一前面的推导说明了初边值问题如果有解，那么它的解可以表示为(2.24)式的级数形式，现在的问题是：什么条件下，初边值问题的解一定存在？定理：若函数φ(x)在求解区域内具有三阶连续偏导数，ψ(x)在求解区域内具有二阶连续偏导数，并且则弦振动方程的初边值问题(3.1)的解是存在的，它可以由级数(3.6)给出，Ak和Bk

由(3.7)式确定。通常我们称(3.8)式为相容性条件。将由(3.7)式表示的Ak，Bk

代入(3.6)式中，就得到了用级数形式表示的初边值问题(3.1)的解。第十五页，共三十一页，编辑于2023年，星期一的平均收敛极限，当n很大时，因为方程和边界条件都已满足，初始条件也近似得到了满足，由此可以把un(x,t)看成问题的近似解。如果φ(x)和ψ(x)不满足以上定理的条件，我们可以把φ(x)和ψ(x)看成函数列第十六页，共三十一页，编辑于2023年，星期一例1：求下解问题解：此题属于有界弦的振动，且根据上述，可知：第十七页，共三十一页，编辑于2023年，星期一其中：例2，例3第十八页，共三十一页，编辑于2023年，星期一比较波动方程热传导方程位势方程第十九页，共三十一页，编辑于2023年，星期一§3-2有界杆上的热传导问题初边值问题的分离变量法在前一章中，我们用分离变量法求得了波动方程初边值问题的解。这一方法对热传导方程的初边值问题也是适用的。以下以热传导方程在边界上分别取第一和第三边界条件的初边值问题为例详细讨论其求解过程。利用分离变量法求解如下的初边值问题第二十页，共三十一页，编辑于2023年，星期一其中h为正的常数。用分离变量法求解，令u(x,t)=X(x)T(t)，这里X(x)和T(t)分别表示仅与x有关和仅与t有关的函数，把它代入方程(3.14)得到这个等式只有在两边均等于常数时才能成立。令该常数为-λ，则有首先考虑方程(3.19)的求解。根据边界条件(3.16)和(3.17)，X(x)应当满足边界条件第二十一页，共三十一页，编辑于2023年，星期一对于边值问题(3.19)和(3.20)，通过与前一章类似的讨论可得：(1)当λ<0或λ=0时，只有平凡解X=0(2)当λ>0时，利用边界条件X(0)=0得A=0，于是由(3.20)的第二个边界条件可以得到为了使X(x)为非平凡解，λ应满足即λ是以下超越方程的正解：第二十二页，共三十一页，编辑于2023年，星期一令则(3.19)式变为利用图解法或数值解法可以得出这个方程的根。由右图可知，方程有可列举的无穷多个正根υk>0(k=1,2,…)，满足(k-1/2)π<υk<kπ。因此，特征值问题(3.19)和(3.20)存在无穷多个固有值：以及固有函数：第二十三页，共三十一页，编辑于2023年，星期一把前面得到的代入方程(3.18)可得于是我们得到一列可分离变量的特解由于方程(3.14)和边界条件(3.16)和(3.17)都是齐次的，所以可以利用叠加原理构造级数形式的解以下的任务是利用初始条件(3.15)来决定常数Ak，为了使在t=0时u(x,t)取到初值φ(x)，应成立第二十四页，共三十一页，编辑于2023年，星期一为了确定系数Ak，须先证明固有函数系在[0,l]上正交。设固有函数Xn和Xm分别对应于不同的固有值λn和λm，即以Xn和Xm分别乘以上面第一和第二式，相减后在[0,l]积分，利用Xn和Xm都满足边界条件(3.20)，就得到由于λn和λm不等，故得到固有函数系的正交性：于是在(3.23)两边乘以

再进行积分，利用固有函数系的正交性得：第二十五页，共三十一页，编辑于2023年，星期一记那么有将其代入(3.22)式就得到了初边值问题(3.14)至(3.17)的形式解为从(3.24)式来看，由于存在因子，因此级数(3.24)可以很快收敛。这个特点也使得解的存在条件要比波动方程更宽松,仅需φ(x)一阶连续可导且第二十六页，共三十一页，编辑于2023年，星期一例题第二十七页，共三十一页，编辑于2023年，星期一例2：求定解问题解：没有现成的公式可套，直接采用分离变量法求解（1）分离变量：