1概述2逻辑门电路3逻辑代数的基本公式和规则课件

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概述2

逻辑门电路3

逻辑代数的基本公式和规则

数字电路基础

数字电路的基本工作信号是以高低电平为特征的二进制信号，分析和设计数字电路的主要工具是逻辑代数。

本章先介绍数字电路的基本概念、数制与码制、基本逻辑运算及门电路，然后介绍逻辑代数的基本公式与定理、逻辑函数的表示方法以及逻辑函数的化简。1.1

概述1.1.1

数字电路与脉冲信号1．数字电路在时间上和数值上均是离散（或不连续）的信号称为数字信号

常用数字0和1来表示。这里的0和1不是十进制数中的数字，而是逻辑0和逻辑1。

产生和处理这类数字信号的电路称为数字电路或逻辑电路。数字电路的任务是对数字信号进行运算（算术运算和逻辑运算）、计数、存贮、传递和控制。2．脉冲信号

所谓脉冲，是指脉动、短促和不连续的意思。

在数字电子技术中，把作用时间很短的、突变的电压或电流称为脉冲。

数字信号实质上是一种脉冲信号。常见的脉冲信号波形有矩形波、尖顶波等多种。tt一个实际的脉冲波形如图1.1.1所示。脉冲幅度A脉冲上升沿tr

脉冲周期T脉冲下降沿tf

脉冲宽度tp

A0.9A0.5A0.1AtptrtfT实际的矩形波

脉冲前沿─脉冲最先来到的一边，指脉冲的幅度由10%上升到90%所需的时间。

脉冲后沿─脉冲结束时的一边，指脉冲的幅度由90%下降到10%所需要的时间。

脉冲宽度─脉冲前沿幅度的50%到后沿幅度的50%所需要的时间，也称脉冲持续时间。

脉冲幅度A─脉冲信号变化的最大值。

其波形的物理意义参数叙述如下

脉冲周期T─周期性脉冲信号前后两次出现的时间间隔。

脉冲信号又分为正脉冲和负脉冲，正脉冲的前沿是上升边，后沿是下降边，负脉冲正好相反。理想矩形脉冲如图1.1.2所示。脉冲频率─单位时间内的脉冲数，与周期的关系为1.1.2

逻辑状态的表示方法

现实生活当中有很多对立的状态，像开关的闭合和断开，灯泡的亮和灭，事物的真和假，脉冲信号的有和无等。在数字电路当中通常用逻辑“1”和“0”来表示这两种状态。例如，灯亮为“1”，灯灭为“0”；有脉冲为“1”，无脉冲为“0”。

脉冲信号通常用它的电位高低来表示：有脉冲时电位较高，称它具有高电平；无脉冲时电位较低，称它具有低电平。注意

因受各种因素的影响，高、低电平并不是单一的数值，而是指的一个范围。

在数字系统中，脉冲信号的高、低电平都用“1”或“0”来表示，如果高电平用“1”，低电平用“0”表示，称为正逻辑系统。如果高电平用“0”，低电平用“1”表示，称为负逻辑系统。

1.2

逻辑门电路

逻辑关系指事物的因果关系，即“条件”与“结果”的关系。在数字电路中用输入信号反映“条件”，用输出信号表示“结果”，这种电路称逻辑电路。

逻辑电路中最基本的逻辑关系有三种，即：与逻辑、或逻辑、非逻辑。相应的逻辑门电路也有三种，即：与门电路、或门电路、非门电路。门电路可以用二极管、三极管、电阻等分立元件组成，也可以是集成电路。

1.2.1

基本逻辑运算及实现1．三种基本逻辑运算逻辑代数的基本运算有与、或、非三种。

图1.2.1给出了三种指示灯控制电路，下面分别讨论其对应的逻辑运算关系。

如果约定：将开关闭合作为条件，把指示灯亮作为结果，那么图1.2.1所示控制电路就代表了三种不同的因果关系。

图（a）表明：只有所有条件同时满足时，结果才会发生。这种因果关系叫做逻辑与关系。

220V+-000101110100ABYBYA状态表开关闭合：“1”断开：“0”灯亮：“1”灯灭：“0”逻辑表达式：

Y=A•BBY220VA+-真值表000111110110ABY开关闭合：“1”断开：“0”灯亮：“1”灯灭：“0”逻辑表达式：

Y=A+B图（b）表明：只要条件之一能够满足，结果就会发生。这种因果关系叫做逻辑或关系。

“非”逻辑关系是否定或相反的意思。

逻辑表达式：Y=A状态表101AY0Y220VA+-R开关闭合：“1”断开：“0”灯亮：“1”灯灭：“0”图（c）表明：条件满足时，结果不会发生；而条件不满足时，结果一定发生。这种因果关系叫做逻辑非关系。

如果以A、B表示条件，并用1表示条件满足，0表示不满足；以Y表示事件的结果，并用1表示事件发生，0表示不发生。则与、或、非的逻辑关系可用表1.2.1、表1.2.2、表1.2.3来描述。这种描述逻辑关系的表格称之为真值表。

以“·”代表与运算（或称逻辑相乘），以“+”代表或运算（或称逻辑相加），以变量上的“—”代表非运算（或称逻辑求反），则表1.2.4表示三种基本逻辑运算表达式及其运算规律。

基本逻辑运算基本逻辑运算基本逻辑运算与运算Y=A·B或写成Y=AB0·0=0；0·1=0；1·0=0；1·1=1或运算Y=A+B0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=1非运算

Y=

能实现与、或、非三种基本逻辑运算关系的单元电路分别叫做与门、或门、非门（也称反相器），其对应的逻辑符号如图1.2.2所示。2．复合逻辑运算与、或、非是三种最基本的逻辑关系，任何其他的复杂逻辑关系都可由这三种基本逻辑关系组合而成。例如将与门和非门按图1.2.3(a)连接，可得到图1.2.3(b)的与非门（先与后非运算的电路）。（3）

真值表（2）逻辑符号（1）

逻辑表达式ABY000110111110与非与非逻辑关系逻辑关系逻辑关系逻辑关系与非

有0出1

全1出0

或非有1出0全0为1与或非描述较复杂异或相同出0相异出1同或=A⊙B=

相同出1相异出0表1.2.5

几种常见复合逻辑关系1.2.2TTL集成逻辑门

TTL电路是输入端和输出端都采用晶体管的逻辑电路，TTL是一个电路系列。

MOS逻辑门电路是金属—氧化物—半导体场效应管逻辑门的简称。MOS集成电路有三种形式，即由N沟道增强型MOS管构成的NMOS电路、由P沟道增强型MOS管构成的PMOS电路以及兼有N沟道和P沟道的互补MOS电路（简称为CMOS电路）。PMOS电路的原理与NMOS电路的原理完全相同，只是电源极性相反而已。1.2.3CMOS集成逻辑门

CMOS发展最迅速，应用最广泛。制造工艺简单、体积小、集成度高，特别适用于大规模集成制造。CMOS电路的另一个特点是输入阻抗高（可达1010Ω以上），即直流负载很小，几乎不取用前级信号源电流，因此有很高的扇出能力。1.3

逻辑代数的基本公式和规则0-1律重叠律互补律交换律根据逻辑代数中与、或、非三种基本运算规则可推导出逻辑运算的一些基本公式，如表1.3.1所示。表1.3.1逻辑代数的基本公式反演律还原律结合律分配律常用公式110011111100反演律列状态表证明：AB00011011111001000000同理可证明表1.3.1中常用公式应用较多，现利用基本公式对部分常用公式证明如下。（4）常用公式分配率A+BC=(A+B)(A+C)互补率A+A=10-1率A·1=1互补率A+A=1分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1证明证：1.3.2

基本规则

1、代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。

例如，已知等式，用BC代替等式中的B等式左边：等式右边：显然等式仍然成立

（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演规则。例如：则应用反演规则时应注意，不在一个变量上的非号应保持不变。例如：则

（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y‘，Y’称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。则如果两个函数Y和Z相等，那么它们的对偶式也相等。不难证明，表1.3.1所列的基本公式中，左右两边的等式互为对偶式。例如：1.4

逻辑函数的化简1.4.1

逻辑函数及其表示方法1.逻辑函数在逻辑代数中，逻辑变量的取值只有0、1两种取值，所以输出函数的值也只能是0或1，而不可能有其它取值。在逻辑电路中，如果输入变量A、B、C、…的取值确定之后，输出变量Y的值也被唯一地确定了，那么，就称Y是A、B、C、…的逻辑函数。逻辑函数的一般表达式可以写作：2．逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法通常有真值表函数表达式逻辑图卡诺图例如，图1.4.1(a)是一个用单刀双掷开关来控制楼梯照明灯的电路，图（b）为其示意图。要求上楼时，先在楼下开灯，上楼后在楼上顺手把灯关掉；下楼时可在楼上开灯，在下楼后再把灯关掉，请用多种方法表达其逻辑关系。为了表达图1.4.1所示楼梯照明灯控制逻辑关系，先设开关A、B向上扳为1，向下扳为0；灯Y发光为1，不发光为0。（1）真值表表示法:

将输入变量所有的取值和对应的函数值列成表格。如表1.4.1所示。这个表格就称为此逻辑问题的“真值表”。ABY001010100111注意在填写真值表时应注意：

①应表示出所有可能的不同输入组合，若输入变量为n个，则完整的真值表应有种不同的输入组合。

②根据逻辑问题给出的条件，相应地填入所有组合的逻辑结果。逻辑表达式是指将输入与输出之间的逻辑关系用逻辑运算符来描述。由表中可知，在输入变量A、B的四种不同的取值组合状态中，只有当A=0与B=0（表示开关A、B均扳下），或者A=1与B=1（开关A、B均扳上），Y才等于1（灯亮），其它两种情况灯均不亮。显然，对应灯亮的两种情况，每一组取值组合状态中，变量之间是与的关系，而这两组状态组合之间是或的关系，由此可写出真值表中Y=1的逻辑表达式为⊙（2）逻辑表达式表示法（3）逻辑图表示法逻辑图是指将输入与输出之间的逻辑关系用逻辑图形符号来描述。很显然，上述逻辑问题属于同或逻辑关系，因此可用图1.4.2来表示。

(4）卡诺图表示法:卡诺图实际上是真值表的图形化，因此也称真值图。卡诺图主要用来化简逻辑函数。它具有直观、明了、易于化简等优点。卡诺图表示法将在本节的后面进行介绍。1.4.2

逻辑函数的公式化简1．化简的意义表达式越简单逻辑图就越简单，对应的实际电路也越简单，并且经济、可靠。所以有必要对逻辑函数进行化简。在实际应用当中，同一个逻辑函数可用不同形式的逻辑函数表达式描述它，其中与或表达式是最基本的表示形式。运用逻辑代数基本公式和定理，它很容易被转换成其他形式的表达式。所以逻辑函数化简，通常是指将逻辑函数式化简成“最简与或表达式”。凡与项最少，且每个与项中变量个数最少的与或表达式，可称为最简与或表达式。2．化简方法（1）并项法:利用公式，将两项合并为一项，并消去一个变量例1：例2：（2）吸收法：吸收例4：化简利用公式消去多余的项例3：（3）消去法：利用公式例5：（4）消项法：利用公式例6：（5）配项法：利用公式给某个与项配项，试探进一步化简逻辑函数例1.4.1

化简函数解：例1.4.2

化简函数解：

=1

从以上举例中可见，用公式化简逻辑函数，没有固定的步骤，比较灵活，但有一定的技巧。1.4.3

逻辑函数的卡诺图化简1．逻辑函数的卡诺图表示（1）逻辑函数的最小项及性质在逻辑函数中，如果一个乘积项包含了所有的变量，而且每个变量都是以原变量或是反变量的形式作为一个因子出现一次，那么这样的乘积项就称为这些变量的一个最小项。

在

n变量逻辑函数中，若

m是包含

n个因子的乘项积，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在

m

中出现一次，则称m

为该组变量的最小项。二变量的全部最小项AB最小项编号00011011ABm0ABABABm1m2m3三变量的全部最小项ABC最小项编号000001010011100101110111m0ABCABCABCABCABCABCABCABCm1m2m3m4m5m6m7二变量全部最小项有m0~m3共4个三变量全部最小项有m0~m7共8个若有n个变量，则有2n个最小项关于最小项的编号。其方法是：设原变量为1，反变量为0，每个最小项可按顺序组成一组二进制数，将它转换成对应的十进制数，即最小项编号。例如，取值应为011，对应十进制数是3，则编号为3，记作，其余类推。三变量的全部最小项ABC最小项编号000001010011100101110111m0ABCABCABCABCABCABCABCABCm1m2m3m4m5m6m7表1.4.2列出了三变量的八个最小项及编号。表1.4.2m3

①卡诺图的构成:卡诺图是以方块图的形式，将逻辑上相邻的最小项排在位置相邻的方块中所构成的图形。所谓逻辑相邻是指两个相同变量的最小项，只有一个因子互为反变量，其它因子都相同。。

（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项）。（2）用卡诺图表示逻辑函数二变量（A、B）的卡诺图如图1.4.3(a)所示，它有22=4个最小项.三变量（A、B、C）的卡诺图如图1.4.3(b)所示，它有23=8个最小项.四变量（A、B、C、D）的卡诺图如图1.4.3(c)所示，它有24=16个最小项

注意：左右、上下；在卡诺图中，每一行的首尾；每一列的首尾；的最小项都是逻辑相邻的。右图左侧和上侧的数字，表示对应最小项变量的取值

②用卡诺图表示逻辑函数首先把逻辑函数转换成最小项之和的形式，然后在卡诺图上将这些最小项对应的位置上填1，其余填0（也可不填），就得到了表示这个逻辑函数的卡诺图。实际上就是将函数值填入相应的方块中。例1.4.3

填写三变量逻辑函数Y（A、B、C）=∑m(2,3,6,7)卡诺图解：Y有4个最小项，，，，就在三变量卡诺图的相应位置上填1，其他位置填0，如图1.4.4所示。2．用卡诺图化简逻辑函数卡诺图中相邻的方格中的两个最小项只有一个变量不同，因此可以利用，将两项并为一项，并消去一个互非的变量。其方法可以归纳如下：

①相邻的2个最小项可以合并成一项，并且能够消去一个变量；②相邻的4个最小项可以合并成一项，并且能够消去二个变量；③相邻的8个最小项可以合并成一项，并且能够消去三个变量；……相邻的2n个最小项可以合并成一项，并且能够消去n个变量。消去的是不同因子，保留的是相同因子。例1.4.4

用卡诺图化简逻辑函数Y(A,B,C,D)=∑m(1,4,5,6,7,9,12,13,14,15)解：根据所给函数，画出四变量卡诺图，在对应小方格内填入1，其余小方格内填0，如图1.4.5所示。将函数值为1的方格按相邻2个、4个、8个包围在一起，这一过程称为画包围圈。画包围圈时应注意：

①包围圈应尽可能大，这样能更多地消去因子。

②包围圈应尽可能少，以减少与项个数。

③同一方格在需要时可以被多次圈，因为A+A=A。④每个包围圈要有新的成分，若一个包围圈中所有的方格都被别的包围圈圈过，则这个包围圈是多余的。

⑤先圈大，后圈小，单独方格单独圈，不要遗漏一个方格。按照上述方法，该逻辑函数可画的包围圈如图6.4.5所示。化简后的逻辑函数为YABC01000111101111100111两式不相同，但函数值一定相同。YABC01000111101111100111Y

=B+ABC+ACY

=C+A+BCAB将Y=AC+AC+BC+BC化简