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文档简介

§3

基本不等式3.1

基本不等式1.理解两个实数的平方和不小于它们之积的二倍的不等式的证明；2.理解基本不等式的证明以及它的几何解释.要做一段周长为200米的的栅栏，如何使其面积最大？

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数等差中项等比中项

两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项[答案]

C[答案]

D3．不等式a2＋4≥4a中等号成立的条件是(

)A．a＝±2

B．a＝2C．a＝－2

D．a＝4[答案]

B[解析]

因为a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，当且仅当a＝2时取“＝”，所以a＝2.探究：△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高。你能从射影的角度来考察AC与AD，BC与BD等的关系。你能发现这些线段之间的某些关系吗？ABDC∽∽∽射影定理直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。ABDC用勾股定理能证明吗?∵AB²=AC²+BC²∴(AD+BD)²=AC²+BC²即2AD·BD=AC²-AD²+BC²-BD²∵AC²-AD²=CD²，BC²-BD²=CD²∴2AD·BD=2CD²∴CD²=AD·BD而AC²=AD²+CD²=AD²+AD·BD=AD(AD+BD)=AD·AB同理可证得BC²=BD·ABAOCBD对于基本不等式，用文字语言可叙述为：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．从几何的角度可叙述为：圆的半径不小于弦长的一半．从数列的角度可叙述为：两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．几何平均数的解释：对于正数a,b的几何平均数，我们可以有以下两种解释：另外，我们可以把两个正数a,b看成是两条线段的长度，并以它们为边作一长方形，如图1，如果我们想作一正方形，使它的面积等于这个长方形的面积，那么它的边长就是和b的几何平均数，如图2.b图1图2

D

Ｅ

AOCB

A

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