2020中考数学复习专题-函数最值问题课件

2020中考数学复习专题

---函数最值问题知识要点（1）对于一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。，

（3）对于二次函数y=a(x-h)2+k（a≠0），如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小。（4）两点之间线段最短。（5）垂线段最短。思想方法由于最值（或取值范围）主要是在运动变化过程中产生的，所以此类问题往往与动态几何问题或函数问题相结合，并蕴含其中。函数与不等式是揭示变量之间的制约关系的有力工具，为我们研究最值（或取值范围）在数学上提供了支持。所以就方法而言，在初中阶段，解决最值（或取值范围）问题的有效工具是函数法和不等式法。由于此类问题综合性较强，具体解决时所涉及到的数学思想很多，如函数思想、模型思想、划归转化思想等。示例分析借助“函数”解题借助“不等式”解题

解题关键：分析运动的形成，选择一个能控制矩形BDEF的面积的变量作为自变量，进而建立面积的目标函数。由于点D运动时，DB，DE都随之改变，从而导致矩形BDEF的面积随之改变，所以可选择AD为自变量。还可以怎么解决？

当BD⊥AC时，BD最小，此时SBDEF最小。两种解法的对比共同点：建立目标函数，利用函数的性质解

决问题。不同点：解法一选择AD为自变量，

解法二选择BD为自变量。例2已知，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点，顶点为A(h,k)(h≠0)。（1）当h=1，k=2时，求抛物线解析式；（2）若抛物线y=tx2

(t≠0)也经过点A，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y=x2-x上，且-2≤h＜1时，求a的取值范围。建立a和h的（函数）关系式

不同点：背景不同，一道考查“最值”，一道考查“取值范围”。共同点：题目中都存在多个变量，都是借助函数予以求解，思路分析属于典型的函数思想。例1需要分析矩形BDEF面积被哪个元素控制，例2则需要判断哪个量牵制着a的变化，在各自问题中要选择一个能影响目标变量（例1中的矩形BDEF面积，例2中的a）的变量作为自变量，并建立目标函数。

题目给出坐标系以及直线解析式只是为了在平面内确定点的位置，即提供点A,B的坐标，而解决问题的关键是化曲为直，通过做对称，将C,D两点由x轴同侧转化成x轴异侧，进而用“两点之间线段最短”求解。

例3是典型的“将军饮马”问题，而变式则综合了两点之间线段最短和垂线段最短两个知识点。对于“两点之间线段最短”和“垂线段最短”既要熟悉定理的文字语言还要熟悉定理的图形语言，并将其作为基本模型运用于解题。特别在解决一些几何背景的最值（取值范围）的问题时，应结合题意画出图形，识别其中的模型，并运用该模型解决问题。

提供例3及其变式是为了说明模型的重要性，让学生会用模型解决问题。但有时，试题未必直接给出模型，比如例4。遇到此类没有现成的模型可用的题目时，可以分析问题中的特殊位置关系和数量关系，特别是一些“变中的不变量”，如本题中的AQ。通过数量关系的转化，减少（或简化）变化的量，从而得到我们所熟悉的模型。

例5

如图，在RT△ABC中,∠ACB=90°，∠CAB=30°,BC=2。将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C,M是BC的中点,P是A'B'的中点,连接PM,求PM的最大值。变式

如图，在RT△ABC中,∠ACB=90°，∠CAB=30°,BC=2。将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C,M是BC的中点,P是A'B'的中点,连接PM,过点C作PM的垂线，垂足为H，求PH的最小值。∵PH2=PC2-CH2

=4-CH2∴当CH最大时，PH最小。∵CH≤CM=1，∴当H点与M点重合，即PM⊥CB时，CH有最大值1。例3及其变式是直接使用模型解决最值（或取值范围）问题，例4则是从转化的角度看模型的运用，但我们注意到一个问题：这几道题所求的都是最小值。实际上，“两点之间线段最短”和“垂线段最短”也能解决最大值问题。例5及其变式就说明了这点，例5及其变式分别利用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”解决了最大