1.3.3函数的最大(小)值与导数

函数的最值与导数1.3.32021/5/91

yxOx1x2aby=f(x)在极大值点附近在极小值点附近

f

(x)<0

f

(x)>0

f

(x)>0

f

(x)<0左正右负为极大值左负右正为极小值旧知回顾极值的判定2021/5/92求函数f(x)极值的步骤：(2)求导数f’(x)；(3)求方程f’(x）=0的根；

(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格检查f’(x)在方程根左右的符号——如果左正右负（+~-），那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正（-~+），那么f(x)在这个根处取得极小值；(1)确定函数的定义域；2021/5/93f(x0)

=0

x0

是函数f(x)的极值点

x0左右侧导数异号

x0

是函数f(x)的极值点

f(x0)

=0注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件结论2021/5/94在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？新课引入极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。2021/5/956

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

知识回顾：最大值与最小值

（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;

（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值.

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最小值.

2021/5/96xoybay=f(x)oyxy=f(x)abx1x2x4如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值并且在端点或极值点取得。所有极值连同端点函数值进行比较，最大的为最大值，最小的为最小值探究一（闭区间上的最值问题）x3xoyax1b

y=f(x)x2x3x4x5x62021/5/97

例1、求函数在[0，3]上的最大值与最小值.解：f(x)的图象在[0,3]上是连续不断的.令，解得因此函数在[0，3]上的最大值为4，最小值为.2021/5/98例2：求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解:令,解得x=-1,0,1.当x变化时,的变化情况如下表:从上表可知,最大值是13,最小值是4.13↗4↘5↗4↘13y

+0

-0

+0

-2(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2xy¢2021/5/99例3：

解：令解得x0(0,)

(,)+-+00

(,)当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:0值域？2021/5/910求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.注意1)函数的最值是整体性的概念；2)函数的最大值（最小值）唯一；3)函数的最大值大于等于最小值；4)函数的最值可在端点取得.总结2021/5/91112练习：1、求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1，4]内的最大值和最小值.f′(x)=2x-4令f′(x)=0，即2x–4=0，得x=2故函数f(x)在区间[-1，4]内的最大值为8，最小值为-1解:f(x)的图象在[0,3]上是连续不断的.2021/5/912

2、求函数在[-1，2]上的最大值与最小值.因此函数在[-1，2]上的最大值为10，最小值为-2.f(x)在[-1，2]上是增函数.2021/5/913例4:若函数的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.解:令得x=0,x=4（舍去）.当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,2)2f’(x)+0

-0f(x)-7a+b↗b↘-16a+b由表知,当x=0时,f(x)取得最大值b,故b=3.又f(-1)-f(2)=9a>0,所以f(x)的最小值为f(2)=-16a+3=-29,故a=2.2021/5/914oxyaboxyaboxyaboxyaby=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)结论：在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.探究二（开区间上的最值问题）2021/5/915思考：

（1）如果函数f(x)在开区间（a,b）有最值，在什么位置取最值？答：在极值点位置（2）如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点是否是最值点？2021/5/916如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。例如函数y=f(x)图像如下：2021/5/917（2008安徽文）设函数

则

（）

A．有最大值

B．有最小值

C．是增函数

D．是减函数A高考链接2021/5/918随堂练习1.已知f(x)=2x3-6x2+m（m为常数），在[-2,2]上有最大值3，函数在[-2,2]上的最小值_____.-372.函数f(x)=x3+ax+b，满足f(0)=0，且在x=1时取得极小值，则实数a的值为_____.-32021/5/9193.函数f(x)=x³-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是（）1，－1B.1，-17C.3，