辽宁省2019年、2020年中考数学试题分类汇编八-二次函数

2019年、2020年辽宁省数学中考试题分类（8）——二次函数

一.二次函数的图象（共1小题）

1.（2019•葫芦岛）二次函数>=以2+公的图象如图所示，则一次函数y=ox+b的图象大致

是（）

二.二次函数图象与系数的关系（共6小题）

2.（2020•葫芦岛）如图，二次函数y=ox2+〃x+c（”W0）的图象的对称轴是直线x=1,则

以下四个结论中:（^）abc>0,@2a+b=0,（3）4a+b2<4ac,④3a+c<0.正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2020•丹东）如图，二次函数y=o?+法+cQW0）的图象与x轴交于A,B两点，与y

轴交于点C,点A坐标为（-1,0）,点C在（0,2）与（0,3）之间（不包括这两点）,

抛物线的顶点为。，对称轴为直线尤=2.有以下结论：

①abc>0；

-I7

②若点yi）,点、N（二,先）是函数图象上的两点，则与〈），2；

42

③一|<a<--

®/\ADB可以是等腰直角三角形.

其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（2019•丹东）如图，二次函数丫=数2+法+。（“#（））的图象过点（-2,0）,对称轴为直

线x=l.有以下结论:

（l）ahc>0；

②8〃+c>0；

③若A（修，〃7）,B（孙”2）是抛物线上的两点，当X=X]+X2时，y=c；

④点M,N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P,使得PM

:LPN,则。的取值范围为。21；

⑤若方程。（x+2）（4-x）=-2的两根为工],X2，且xi〈X2，则-2Wx]Vx2V4.

A.2个B.3个C.4个D.5个

5.（2019•阜新）如图，二次函数）="2+法+,的图象过点（-1,0）和点（3,0）,则下列

说法正确的是（）

6.（2019•朝阳）已知二次函数）=。？+版+,（”/0）的图象如图所示，现给出下列结论：

①〃历〉0；②9a+3Hc=0；@b2-4ac<8a；④5q+〃+c>0.

其中正斗确结论的个数是（）

\/.

-1MO卞x

-2k/

A.1B.2C.3D.4

7.（2019•沈阳）已知二次函数y=ac2+fer+c（aWO）的图象如图所示，则下列结论正确的是

三.抛物线与x轴的交点（共4小题）

8.（2020•阜新）已知二次函数y=-/+2计4,则下列关于这个函数图象和性质的说法，正

确的是（）

A.图象的开口向上

B.图象的顶点坐标是（1,3）

C.当xVl时，y随x的增大而增大

D.图象与x轴有唯一交点

9.（2020•大连）抛物线）=以2+法+。（a<0）与x轴的一个交点坐标为（-I,0）,对称轴

是直线X=l,其部分图象如图所示，则此抛物线与X轴的另一个交点坐标是（）

75

A.0）B.（3,0）C.（-,0）D.（2,0）

22

10.（2019•大连）如图，抛物线产一甘+营+2与x轴相交于A、8两点，与y轴相交于点

C,点。在抛物线上，且CD〃4B.AO与y轴相交于点E,过点E的直线PQ平行于x

轴，与抛物线相交于P,。两点，则线段PQ的长为（）

A.V5B.2V5C.V3D.2瓜

11.（2020•朝阳）抛物线y=（/-1）/-x+i与x轴有交点，则/的取值范围是.

四.二次函数的应用（共17小题）

12.（2020♦盘锦）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性

批发4品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批

发件数x为10的正整数倍.

（1）当1000W300时，y与x的函数关系式为.

（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？

（3）零售商到此服装厂一次性批发4品牌服装x（100WxW400）件，服装厂的利润为w

元，问：X为何值时，VV最大？最大值是多少？

13.（2020•朝阳）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的

日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对

应数值如下表：

销售单价X（元）406080

日销售量y（件）806040

（1）直接写出y与x的关系式；

（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；

（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规

定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中

函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值.

14.（2020•锦州）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不

低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x

（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：

每千克售价X（元）…253035…

日销售量y（千克）…11010090…

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？

（3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？

15.（2020•葫芦岛）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，

该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数

关系，三对对应值如下表：

销售单价X（元）121416

每周的销售量y（本）500400300

（1）求y与尤之间的函数关系式；

（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12WxW15,且x为整

数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最

大，最大利润是多少元？

16.（2020•鞍山）某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经

过市场调查，得出每天销售量y（件）是每件售价x（元）（x为正整数）的一次函数，其

部分对应数据如下表所示：

每件售价X…15161718…

（元）

每天销售量…150140130120…

y（件）

（1）求），关于x的函数解析式；

（2）若用元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w关于x的函数解

析式；

（3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大

利润是多少元？

17.（2020•丹东）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元.规定每件售价

不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数

关系，部分数据如下表：

售价X（元/件）606570

销售量y（件）140013001200

（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）

（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何

给这种衬衫定价？

（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%,设这种衬衫每月的总

利润为卬（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？

18.（2020•营口）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16

元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶.根据市场行情，现决定降价销售.市

场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），

若设这款“免洗洗手液”的销售单价为X（元），每天的销售量为y（瓶）.

（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润

为多少元？

19.（2019•丹东）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不

低于每件30元，不高于每件60元.销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均

每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件.同时，在

销售过程中，每月还要支付其他费用450元.设销售单价为x元，平均月销售量为y件.

（1）求出y与尤的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？

（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？

20.（2019•盘锦）2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上

涨，每千克猪肉的售价yi（元）与月份x（1WXW12,且x为整数）之间满足一次函数关

系，如下表所示.每千克猪肉的成本以（元）与月份x（1WXW12,且x为整数）之间满

足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示.

月份X•••3456…

售价%/元…12141618・•.

（1）求），|与x之间的函数关系式.

（2）求丫2与x之间的函数关系式.

（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元），求3与x之间的函数关系式，哪个月

份销售每千克猪肉所获得的利润最大？最大利润是多少元？

21.（2019•营口）某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整

个销售旺季的80天里，日销售量y（依）与时间第，天之间的函数关系式为y=2f+100（1

W，W80,f为整数），销售单价p（元/依）与时间第r天之间满足一次函数关系如下表：

时间第f天123…80

销售单价p/（元他）49.54948.5…10

（1）直接写出销售单价0（元/依）与时间第1天之间的函数关系式.

（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

22.（2019•铁岭）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为

8元时，每天可以销售200件.市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少

10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日

销量为y（件），日销售利润为w（元）.

（1）求y与x的函数关系式.

（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？

（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售

利润最大，并求出最大利润.

23.（2019•抚顺）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩

具的销售利润不高于进价的60%.在销售过程中发现,这种儿童玩具每天的销售量y（件）

与销售单价x（元）满足一次函数关系.当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；

当销售单价为40元时，每天的销售量为300件.

（1）求y与x之间的函数关系式.

（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是

多少？

24.（2019•朝阳）网络销售是一种重要的销售方式.某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销

售当地农产品.其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元.公司在试销售

期间，调查发现，每天销售量y（依）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其

中10<xW30）.

（1）直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围.

（2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3100元，则销售单价x应定为多少元？

（3）设每天销售该特产的利润为W元，若14<xW30,求：销售单价x为多少元时，每

天的销售利润最大？最大利润是多少元？

25.（2019•鞍山）某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）

与销售单价x（元）之间的关系如图所示.

（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式.

（2）设这种商品月利润为W（元），求卬与x之间的函数关系式.

（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？

26.（2019•葫芦岛）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售.其

销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%,市场调研发现，在

一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示:

（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式.

（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？

（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

27.（2019•锦州）2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴.某商场

销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个

月可售出100件.根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1

元，每个月会少售出2件，设每件商品的售价为x元，每个月的销量为y件.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；

（3）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？

28.（2019•辽阳）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，

物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y

（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示.

（1）求），与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获

利最大？最大获利是多少元？

五.二次函数综合题（共22小题）

29.（2020•阜新）如图，二次函数y=x2+fec+c的图象交x轴于点A（-3,0）,B（1,0）,

交y轴于点C.点尸（〃［，0）是x轴上的一动点，PMLx轴，交直线AC于点交抛

物线于点N.

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）①若点P仅在线段A。上运动，如图，求线段的最大值；

②若点尸在x轴上运动，则在y轴上是否存在点。，使以M,N,C,Q为顶点的四边形

为菱形.若存在，请直接写出所有满足条件的点。的坐标：若不存在，请说明理由.

备用图

1)

30.(2020•盘锦)如图1,直线y=x-4与x轴交于点8,与y轴交于点A,抛物线产-^x'+hx+c

经过点8和点C(0,4),ZVIBO沿射线AB方向以每秒迎个单位长度的速度平移，平移

后的三角形记为△DEF(点A,B,。的对应点分别为点。，E,F),平移时间为f(O<r

<4)秒，射线OF交x轴于点G,交抛物线于点M,连接ME.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当tanN£MF=g时，请直接写出f的值；

1

(3)如图2,点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的5，连接OM,NF,

OM与NF相交于点P,当NP=FP时,求f的值.

31.(2020•锦州)在平面直角坐标系中，抛物线产-#+〃x+c交x轴于A(-3,0),8(4,

0)两点，交)，轴于点C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图，直线y=+*与抛物线交于A,。两点，与直线8c交于点E.若M(/«,

0)是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点凡交直线A。于点G,

交直线BC于点H.

①当点尸在直线上方的抛物线上，且S^EFG=>OEG时，求，"的值；

②在平面内是否存在点P,使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；

若不存在，请说明理由.

32.(2020•朝阳)如图，抛物线产一92+6"c与x轴交于点A,点以与y轴交于点C,

抛物线的对称轴为直线犬=-1,点C坐标为(0,4).

备用图

(1)求抛物线表达式；

(2)在抛物线上是否存在点P,使/ABP=N8CO,如果存在，求出点P坐标；如果不

存在，请说明理由；

(3)在(2)的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线上方抛物线上的一个动点，

求点"到直线8P的最大距离；

(4)点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，

三个动点都不与点4,B,C重合，连接GH,GQ,HQ,得到△GH。，直接写出△GH。

周长的最小值.

33.(2020•鞍山)在平面直角坐标系中，抛物线y=a，+6x+2(aWO)经过点A(-2,-4)

和点C(2,0),与)，轴交于点£>,与x轴的另一交点为点反

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,连接BQ,在抛物线上是否存在点尸，使得NPBC=2NBD0?若存在，请

求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2,连接AC,交y轴于点E,点M是线段AO上的动点(不与点4,点。重

合)，将△CME沿A/E所在直线翻折，得到△尸ME,当与△AME重叠部分的面积

1

是△AMC面积的一时，请直接写出线段AM的长.

4

34.(2020•大连)在平面直角坐标系xOy中，函数Q和&的图象关于y轴对称，它们与直

线工=，(t>0)分别相交于点P,Q.

(1)如图，函数Q为y=x+l,当f=2时，PQ的长为；

(2)函数Q为当尸。=6时，r的值为；

(3)函数尸1为了=。,+云+。(〃W0),

①当r=乎时，求△OP。的面积；

②若c>0,函数Q和&的图象与x轴正半轴分别交于点A(5,0),8(1,0),当cW

xWc+1时，设函数F\的最大值和函数F2的最小值的差为〃，求〃关于c的函数解析式，

并直接写出自变量c的取值范围.

ar2+1x+c(aWO)与x轴相交于点A(-1,0)和点

(2)在直线BC上方的抛物线上存在点。，使/£)CB=2NA8C,求点。的坐标;

7

(3)在(2)的条件下，点尸的坐标为(0,鼻)，点A7在抛物线上，点N在直线BC上.当

以。，F,M,N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标.

36.(2020•沈阳)如图1,在平面直角坐标系中，。是坐标原点，抛物线产吴+%x+c经过

点B(6,0)和点C(0,-3).

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图2,线段0C绕原点。逆时针旋转30°得到线段0D过点B作射线3£>,点

M是射线8。上一点(不与点8重合)，点M关于x轴的对称点为点M连接NM,NB.

①直接写出的形状为；

②设的面积为S”△008的面积为是S2.当51=|为时，求点M的坐标；

(3)如图3,在(2)的结论下，过点B作交NM的延长线于点E,线段BE

绕点8逆时针旋转，旋转角为a(00<a<120°)得到线段BF,过点尸作雁〃x轴，

交射线BE于点K,NKBF的角平分线和NKFB的角平分线相交于点G,当BG=2g时，

请直接写出点G的坐标为

图1图2图3

37.(2020•丹东)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-%?+法+c与x轴交于A,B

两点，A点坐标为(-2,0),与y轴交于点C(0,4),直线)，=一3+,"与抛物线交于B,

。两点.

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)求，〃的值和。点坐标.

(3)点P是直线8。上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为“，交直线

BD于点F,过点。作x轴的平行线，交PH于点、N,当N是线段P尸的三等分点时，求

P点坐标.

(4)如图2,。是x轴上一点，其坐标为(一去0).动点例从A出发，沿x轴正方向

以每秒5个单位的速度运动，设M的运动时间为f(f>0),连接4力，过M作MG_LAO

于点G,以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为A'0',点M在

运动过程中，线段A'Q'的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A'Q'与抛

物线有公共点时/的取值范围.

图1图2

38.(2020•营口)在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+6x-3过点4(-3,0),8(1,0),

与y轴交于点C,顶点为点D

(1)求抛物线的解析式；

(2)点户为直线CQ上的一个动点，连接BC；

①如图1,是否存在点P,使NPBC=NBCO?若存在，求出所有满足条件的点P的坐

标；若不存在，请说明理由；

②如图2,点P在x轴上方，连接公交抛物线于点N,ZPAB=ZBCO,点M在第三象

限抛物线上，连接MN,当NANM=45°时，请直接写出点M的坐标.

39.(2020•辽阳)如图，抛物线y=a/-2，Wx+c(aWO)过点O(0,0)和A(6,0).点

8是抛物线的顶点，点。是x轴下方抛物线上的一点，连接08,OD.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①，当/8。。=30°时，求点。的坐标；

(3)如图②，在(2)的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C,交线段0£＞于点E,

点尸是线段OB上的动点(点尸不与点。和点B重合)，连接EF,将aBEF沿EF折叠，

点8的对应点为点8,与△OBE的重叠部分为△£人?,在坐标平面内是否存在一

点H,使以点E,F,G,H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点，的坐标,

若不存在，请说明理由.

40.(2019•营口)在平面直角坐标系中，抛物线yuaf+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),

与y轴交于点C,连接AC,BC,将△O8C沿8c所在的直线翻折，得到△OBC,连接

OD.

(1)用含a的代数式表示点C的坐标.

(2)如图1,若点。落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式.

41.(2019•抚顺)如图，抛物线y=a?+bx-3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，

与y轴交于点C,点。是抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式.

(2)点N是)，轴负半轴上的一点，且ON=近，点。在对称轴右侧的抛物线上运动，连

接Q。，QO与抛物线的对称轴交于点M,连接MN,当MN平分N0M。时，求点Q的

坐标.

(3)直线BC交对称轴于点E,P是坐标平面内一点，请直接写出△PCE与△ACO全等

时点P的坐标.

42.（2019•丹东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线）=与*轴交于&C两

点，与y轴交于点A,直线）=—%+2经过A,C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点。，

直线MN与对称轴交于点G,与抛物线交于M,N两点（点N在对称轴右侧），且MN〃

x轴，MN=7.

（1）求此抛物线的解析式.

（2）求点N的坐标.

（3）过点A的直线与抛物线交于点F,当tanN£AC另时，求点尸的坐标.

（4）过点。作直线AC的垂线，交AC于点H,交y轴于点K,连接CN,△A//K沿射

线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中aAHK与四边形DGNC产生重叠,

设重叠面积为S,移动时间为f（0WW遍），请直接写出S与f的函数关系式.

43.（2019•铁岭）如图1,抛物线>=公2+法+6与x轴交于点A（-2,0）,B（6,0）,与y

轴交于点C,顶点为。，直线AO交y轴于点E.

（1）求抛物线的解析式.

（2）如图2,将△AOE沿直线AQ平移得到

①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标.

②在移动过程中，存在点M使为直角三角形，请直接写出所有符合条件

在平面直角坐标系中，抛物线y--x2+bx+c经过点A(-1,0)

和点C(0,4),交x轴正半轴于点B,连接4C,点E是线段。8上一动点(不与点0,

8重合)，以0E为边在x轴上方作正方形0EFG,连接FB,将线段FB绕点尸逆时针旋

转90°,得到线段FP,过点尸作P”〃.y轴，交抛物线于点”，设点£(a,0).

(1)求抛物线的解析式.

(2)若△AOC与△FEB相似，求。的值.

x轴于点A(-3,0)和点B(1,0),交y

轴于点C

(1)求这个抛物线的函数表达式.

(2)点。的坐标为(-I,0),点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形AOCP

面积的最大值.

(3)点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点M使△MN0为等腰直

角三角形，且NMN。为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

46.(2019•鞍山)在平面直角坐标系中，过点A(3,4)的抛物线y=d7+%x+4与x轴交于

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图I,点P是直线A8上方抛物线上的一个动点，连接PO交A8于点Q,连接

AP,当SMQD=2%”Q时，求点P的坐标.

(3)如图2,G是线段OC上一个动点，连接OG,过点G作GMLDG交AC于点M,

过点M作射线MN,使NNMG=60°,交射线GO于点N；过点G作垂足为

点、H,连接请直接写出线段的最小值.

47.(2019•朝阳)如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+6与x轴交于点A,与y轴交点

C,抛物线y=-2，+/?x+c过A,C两点，与x轴交于另一点3.

(1)求抛物线的解析式.

(2)在直线AC上方的抛物线上有一动点E,连接BE,与直线4C相交于点F,当EF=初

时，求sin/EBA的值.

(3)点N是抛物线对称轴上一点，在(2)的条件下，若点£位于对称轴左侧，在抛物

线上是否存在一点M,使以M,N,E,B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接

写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

48.(2019•葫芦岛)如图，直线y=-x+4与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线)=-

经过B,C两点，与x轴另一交点为A.点尸以每秒在个单位长度的速度在线段

BC上由点3向点C运动(点P不与点8和点C重合)，设运动时间为r秒，过点P作x

轴垂线交x轴于点E,交抛物线于点M.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①，过点P作y轴垂线交)，轴于点N,连接交BC于点Q,当羽=g时，

求t的值；

(3)如图②，连接4M交3C于点。，当是等腰三角形时，直接写出/的值.

49.(2019•辽阳)如图，在平面直角坐标系中，RtAABC的边BC在x轴上，NABC=90°,

以A为顶点的抛物线y=-P^x+c经过点C(3,0),交y轴于点E(0,3),动点P在

对称轴上.

(1)求抛物线解析式；

(2)若点尸从A点出发，沿A-B方向以I个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设

运动时间为/秒，过点P作PD±AB交AC于点D,过点D平行于y轴的直线I交抛物线

于点Q，连接AQ，CQ,当t为何值时，AACQ的面积最大？最大值是多少？

(3)若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P,使得以点P,M,E,C

为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明

50.（2019•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线），=奴2+公+2QW0）与x轴交于A,

B两点（点A在点B的左侧），与），轴交于点C,抛物线经过点£＞（-2,-3）和点E（3,

2）,点P是第一象限抛物线上的一个动点.

（1）求直线OE和抛物线的表达式；

（2）在y轴上取点尸（0,1）,连接尸F,PB,当四边形08PF的面积是7时，求点P的

坐标；

（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线。E上存在两点M,N

（点M在点N的上方），且A/N=2四，动点Q从点P出发，沿「一MfN-A的路线运

动到终点A,当点。的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标.

2019年、2020年辽宁省数学中考试题分类（8）——二次函数

参考答案与试题解析

二次函数的图象（共1小题）

1•【解答】解：由二次函数图象，得出a<0,-^<0,b<0,

4、一次函数图象，得a>0,b>0,故A错误；

B、一次函数图象，得a<0,b>0,故B错误；

C、一次函数图象，得a>0,b<0,故C错误；

D、一次函数图象，得a<0,b<0,故Z）正确；

故选：D

二.二次函数图象与系数的关系（共6小题）

2.【解答】解：①根据抛物线开口向下可知：

a<0,

因为对称轴在y轴右侧，

所以b>0,

因为抛物线与>'轴正半轴相交，

所以c>0,

所以abc<0,

所以①错误；

②因为抛物线对称轴是直线x=\,

即弓=1,

所以h=-2a,

所以Z?+2a=0,

所以②正确；

③因为b=-2ch

由4a+/v4〃c,得

2

4。+4。<4ac,

Va<0,

.,.（?<1+tz,

根据抛物线与y轴的交点，c>l,

所以③错误；

④当x=-1时，y<0,

即a-b+c<0,

因为b=-2a,

所以3“+c<0,

所以④正确.

所以正确的是②④2个.

故选：B.

3.【解答】解：•.•二次函数法+cQW0）的对称轴为：》=一4，

•b-9

••一加-2，

:.b=-4〃，

丁点A坐标为（-1,0）,点。在（0,2）与（0,3）之间，且都在抛物线上，

：.a-b+c=012VcV3,

由二次函数图象可知，a<0,

AZ?>0,

又・・,c>0,

/.abc<0j故①不正确；

7111

丁点N（I>2）关于对称轴工=2的对称点为（3,刈），>一,丁随工的增大而增大，

・•・），］<以，故②正确；

b=-4a

a—b+c=0,

{2<c<3

解得：一卷v^v—,，

故③正确；

•.•抛物线的顶点为。，对称轴为直线x=2,

二点A与点B关于直线x=2对称，点D在直线x=2上，

：.AB=6,DA=DB,

是等腰三角形，

1

如果△403是等腰直角三角形，则点。到A3的距离等于5AB=3,即。（2,3）,

.，・二次函数解析式为：y=—基广+踊+司，

当x=0时，）=|，与点C在（0,2）与（0,3）之间（不包括这两点）矛盾,

...△ACB不可能是等腰直角三角形，故④不正确；

.••正确的有2个，

故选：B.

4.【解答】解：①由图象可知：a>0,c<0,

.,.ahc>0,故①正确；

②：抛物线的对称轴为直线x=l,抛物线的对称轴为直线x=l,

•_A-i

.•一而T'

:.b=-2a,

当x=-2时，y=4a-2t>+c=0,

4a+4a+c=0,

Sa+c=0>故②）错误；

③（xi，m）,B5，M是抛物线上的两点，

由抛物线的对称性可知：XI+&=1X2=2,

当x=2时，y=4a+2b+c=4a-4a+c=c,故③正确；

④由题意可知：M,N到对称轴的距离为3,

当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，

在x轴下方的抛物线上存在点P,使得PMA.PN,

8a+c=0,

••c~~~8。，

♦：b=-2a,

.4Q*(-8u)—(—2Q)^

・・W-3,

4a

解得：a>l，故④错误；

⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为(4,0),

••y=ax+6x+c=a(x+2)(x-4)

若方程a(x+2)(4-x)=-2,

即方程。(x+2)(x-4)=2的两根为xi，工2，

则可、M为抛物线与直线y=2的两个交点的横坐标,

/.XI<-2<4<X2，故⑤错误;

故选：A.

5.【解答】解：I•抛物线开口向上，

.">0,

•.•对称轴在y轴的右侧，

'-a和b异号，

：.b<0,

,/抛物线与y轴的交点在x轴下方，

：.c<0,

：.bc>0,所以A选项错误；

•.,当x=l时，y<0,

.,.a+b+c<0,所以B选项错误；

•.•抛物线经过点(-1,0)和点(3,0),

抛物线的对称轴为直线x=l,

即一21,

：.2a+b=0,所以C选项正确；

:抛物线与x轴有2个交点，

，△=7-4ac>0,

即44c所以。选项错误.

故选：C.

6.【解答】解：①由图象可知：。>0,c<0,

由于对称轴—卷〉0,

・"V0,

Aabc>0,故①正确；

②抛物线过（3,0）,

.\x=3,y=9〃+3b+c=0,故②正确；

③顶点坐标为：（-白，—）

4ac—标

由图象可知：-------<-2,

4a

•Aac-Z?2<-Sa,

即b2-4〃c>8〃，故③错误；

④由图象可知：—。>0,

；・2a+h<0f

・・・9〃+3/?+c=0,

c=-9。-3b,

•\5a+b+c=5a+b-9a-3b=-4a-2b=-2（2。+/?）>0,故④正确;

故选：C.

7•【解答】解：由图可知〃>0,与y轴的交点cVO,对称轴x=l,

：.b=-2iVO；

二•c必c>0,A错误；

由图象可知，函数与x轴有两个不同的交点，・•・△>（）,8错误；

当x=-1时，y>0,

：.a-b+c>0,C错误；

■:b=-2a,。正确；

故选：D.

三.抛物线与x轴的交点（共4小题）

8.【解答】解：；y=-X2+2X+4=-（x-1）2+5,

二抛物线的开口向下，顶点坐标为（1,5）,抛物线的对称轴为直线x=l,当xVl时，y

随X的增大而增大，

令y=0,则-，+2r+4=0,解方程解得肛=1+z，M=1一遍，

AA=4-4X（-1）X4=20>0,

・••抛物线与x轴有两个交点.

故选：C.

9.【解答】解：设抛物线与X轴交点横坐标分别为修、田，且可<12,

根据两个交点关于对称轴直线x=l对称可知：XI+X2=2,

即X2-1=2,得l2=3,

・•・抛物线与X轴的另一个交点为（3,0）,

故选：B.

10•【解答】解：当y=0时，—/，+3+2=0,

解得：xi=-2,X2=4,

・••点A的坐标为（-2,0）；

当x=0时,y=-y+2=2,

・••点C的坐标为（0,2）；

当y=2时，—甲:+尹+2=2,

解得：为=0,田=2,

・,•点。的坐标为（2,2）.

设直线的解析式为（&N0）,

将4（-2,0）,D（2,2）代入了=丘+儿得:

蜉:；纥°,解得：卜1

（2k+b=2[b=1

，直线AD的解析式为y=营+1.

1

当x=0时，y=p+l=L

・•・点七的坐标为（0,1）.

当y=l时，―//+*x+2=l,

解得：xi=l-V5,X2=l+V5,

・••点P的坐标为（1一6，1）,点。的坐标为（1+V5,1）,

.,.P<2=l+V5-(1-V5)=2V5.

故选：B.

11.【解答】解：,••抛物线丫=(4-1)/-x+1与x轴有交点，

/.△=(-1)2-4X(fc-1)XI20,解得心号,

又1W0,

:.k的取值范围是k<|akWl；

故答案为：依祖g.

四.二次函数的应用(共17小题)

12.【解答】解：(1)当100WA;W300时，设y与犬的函数关系式为：y=kx+b,根据题意得

出：

rl00k+b=100

l300/c+b=80'

解得：卜=一需，

U=no

1

与x的函数关系式为：y=-ygX+110,

故答案为：y=--jgX+110；