2023年等差数列教案 1

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐等差数列教案1

教学过程

一、复习引入：

上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种办法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n项和公式..这些办法从不同的角度反映数列的特点下面我们看这样一些例子

1．小明觉得自己英语成果很差，目前他的单词量只yes,no,you,me,he5个他打算从此天起天天背记10个单词，那么从此天开头，他的单词量逐日增强，依次为：5，15，25，35，…（问：多少天后他的单词量达到3000？）

2．小芳觉得自己英语成果很棒，她目前的单词量多达3000她决定从此天起不再背单词了，结果不知不觉地天天忘掉5个单词，那么从此天开头，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，…

（问：多少天后她那3000个单词所有忘光？）

从上面两例中，我们分离得到两个数列

①5，15，25，35，…和②3000，2995，2990，2980，…

请学生们认真观看一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？

·共同特征：从其次项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的挨次是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列

二、讲解新课：

1．等差数列：普通地，假如一个数列从其次项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）

⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列{na},若na－1-na=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N+，则此数列是

等差数列，d为公差

2．等差数列的通项公式：dnaan)1(1-+=【或=nadmnam)(-+】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}na的首项是1a，公差是d，则据其定义可得：

daa=-12即：daa+=12

daa=-23即：dadaa2123+=+=

daa=-34即：dadaa3134+=+=

……

由此归纳等差数列的通项公式可得：dnaan)1(1-+=

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a和公差d，便可求得其通项na

如数列①1，2，3，4，5，6；nnan=?-+=1)1(1（1≤n≤6）

数列②10，8，6，4，2，…；nnan212)2()1(10-=-?-+=（n≥1）数列③;,1,54;53,52;515

51)1(51nnan=?-+=（n≥1）由上述关系还可得：dmaam)1(1-+=

即：dmaam)1(1--=

则：=nadna)1(1-+=dmnadndmamm)()1()1(-+=-+--

即的其次通项公式=nadmnam)(-+∴d=n

maanm--如：dadadadaa43212345+=+=+=+=

三、例题讲解

例1⑴求等差数列8，5，2…的第20项

⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？假如是，是第几项？

解：⑴由35285,81-=-=-==da

n=20，得49)3()120(820-=-?-+=a

⑵由4)5(9,51-==-=da

得数列通项公式为：)1(45=nan

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得)1(45401=-n成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项

例2在等差数列{}na中，已知105=a，3112=a，求1a,d,naa,20

解法一：∵105=a，3112=a，则

???=+=+311110411dada????=-=32

1da∴53)1(1-=-+=ndnaan

5519120=+=daa

解法二：∵3710317512=?+=?+=dddaa

∴5581220=+=daa3)12(12-=-+=ndnaan

小结：其次通项公式dmnaamn)(-+=

例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列nu中，设数列的第s项和第t项分离为su和tu，计算t

suuts--的值，你能发觉什么结论？并证实你的结论解：通过计算发觉t

suuts--的值恒等于公差证实：设等差数列{nu}的首项为1u，末项为nu，公差为d，

???-+=-+=)2()1()1()1(11dtuudsuuts

⑴-⑵得dtsuuts)(-=-dt

suuts=--∴小结：①这就是其次通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率

例4梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度

解：设{}na表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，

由已知条件，可知：1a=33,12a=110，n=12

∴daa)112(112-+=,即10=33+11d解得：7=d

因此，,61,54,47740,407335432===+==+=aaaa

,103,96,89,82,75,6811109876======aaaaaa

答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.

例5已知数列{na}的通项公式qpnan+=，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分离是什么？

分析：由等差数列的定义，要判定{}na是不是等差数列，只要看1--nnaa（n≥2）是不是一个与n无关的常数

解：当n≥2时,（取数列{}na中的随意相邻两项1-na与na（n≥2））

])1([)(1qnpqpnaann+--+=--pqppnqpn=+--+=)(为常数

∴{na}是等差数列，首项qpa+=1，公差为p

注：①若p=0，则{na}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…

②若p≠0,则{na}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.

③数列{na}为等差数列的充要条件是其通项na=pn+q(p、q是常数)称其为第3通项公式

④推断数列是否是等差数列的办法是否满足3个通项公式中的一个四、练习：

1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.

分析：按照所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.

解：按照题意可知：1a=3,d=7－3=4.

∴该数列的通项公式为：na=3+（n－1）×4,即na=4n－1（n≥1,n∈N*）

∴4a=4×4－1=15,10a=4×10－1=39.

评述：关键是求出通项公式.

（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.

解：按照题意可知：1a=10,d=8－10=－2.

∴该数列的通项公式为：na=10+（n－1）×（－2）,即：na=－2n+12,

∴20a=－2×20+12=－28.

评述：要注重解题步骤的规范性与精确     性.

（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？假如是，是第几项？假如不是，说明理由.

分析：要想推断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得na等于这一数.

解：按照题意可得：1a=2,d=9－2=7.

∴此数列通项公式为：na=2+（n－1）×7=7n－5.

令7n－5=100,解得：n=15,

∴100是这个数列的第15项.

（4）－20是不是等差数列0，－3

2

1，－7，……的项？假如是，是第几项？假如不是，说明理由.解：由题意可知：1a=0,d=－3

2

1∴此数列的通项公式为：na=－27n+2

7,令－27n+27=－20,解得n=7

47由于－27n+27=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.2.在等差数列{na}中，（1）已知4a=10,7a=19,求1a与d;

（2）已知3a=9,9a=3,求12a.

解：（1）由题意得：???=+=+1961031

1dada,解之得：???==311da.（2）解法一：由题意可得：???=+=+3

89211dada,解之得???-==1111da∴该数列的通项公式为：na=11+（n－1）×（－1）=12－n,∴12a=0

解法二：由已知得：9a=3a+6d,即：3=9+6d,∴d=－1

又∵12a=9a+3d,∴12a=3+3×（－1）=0