推荐学习高中物理第二章匀速圆周运动微型专题2竖直面内的圆周运动学案教科版必修2

微型专题2竖直面内的圆周运动[学习目标]1.了解竖直面内圆周运动的两种基本模型.2.掌握轻绳(或轻杆)约束下圆周运动的两个特殊点的相关分析.3.学会分析圆周运动问题的一般方法．一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型如图1所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例．图1(1)最低点运动学方程：T1－mg＝meq\f(v\o\al(12),r)所以T1＝mg＋meq\f(v\o\al(12),r)(2)最高点运动学方程：T2＋mg＝meq\f(v\o\al(22),r)所以T2＝meq\f(v\o\al(22),r)－mg(3)最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由T2＋mg＝eq\f(mv\o\al(22),r)可知，当T2＝0时，v2最小，最小速度为v2＝eq\r(gr).讨论：当v2＝eq\r(gr)时，拉力或压力为零．当v2>eq\r(gr)时，小球受向下的拉力或压力．当v2<eq\r(gr)时，小球不能到达最高点．例1一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图2所示，水的质量m＝0.5kg，水的重心到转轴的距离l＝50cm.(g取10m/s2)图2(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)(2)若在最高点水桶的速率v＝3m/s，求水对桶底的压力大小．答案(1)2.24m/s(2)4N解析(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小．此时有：mg＝meq\f(v\o\al(02),l)，则所求的最小速率为：v0＝eq\r(gl)≈2.24m/s.(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为N，则由牛顿第二定律有：N＋mg＝meq\f(v2,l)，代入数据可得：N＝4N.由牛顿第三定律，水对桶底的压力大小：N′＝4N.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳”模型针对训练(多选)如图3所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是()图3A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为eq\r(gl)D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力答案CD解析小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力提供，则可以使绳子的拉力为零，B错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，mg＝eq\f(mv2,l)，v＝eq\r(gl)，C正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，绳子的拉力一定大于小球的重力，故D正确．【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳”模型二、竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型如图4所示，细杆上固定的小球和管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下做圆周运动．图4(1)最高点的最小速度由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg.(2)小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况①v>eq\r(gr)，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或压力，mg＋F＝meq\f(v2,r)，所以F＝meq\f(v2,r)－mg，F随v增大而增大．②v＝eq\r(gr)，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F＝0，mg＝meq\f(v2,r).③0<v<eq\r(gr)，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，mg－F＝meq\f(v2,r)，所以F＝mg－meq\f(v2,r)，F随v的增大而减小．例2长L＝0.5m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2kg.现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图5所示．在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力大小(取g＝10m/s2)．图5(1)A的速率为1m/s；(2)A的速率为4m/s.答案(1)16N(2)44N解析以A为研究对象，设其受到杆的拉力为F，则有mg＋F＝meq\f(v2,L).(1)代入数据v1＝1m/s，可得F＝m(eq\f(v\o\al(12),L)－g)＝2×(eq\f(12,0.5)－10)N＝－16N，即A受到杆的支持力为16N．根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力，大小为16N.(2)代入数据v2＝4m/s，可得F′＝m(eq\f(v\o\al(22),L)－g)＝2×(eq\f(42,0.5)－10)N＝44N，即A受到杆的拉力为44N．根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44N.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆”模型例3(多选)如图6所示，半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，设小球经过最高点P时的速度为v，则()图6A．v的最小值为eq\r(gL)B．v若增大，球所需的向心力也增大C．当v由eq\r(gL)逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小D．当v由eq\r(gL)逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大答案BD解析由于小球在圆管中运动，在最高点速度可为零，A错误；根据向心力公式有F＝meq\f(v2,L)，v若增大，球所需的向心力一定增大，B正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v＝eq\r(gL)时，圆管受力为零，故v由eq\r(gL)逐渐减小时，轨道对球的弹力增大，C错误；v由eq\r(gL)逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大，D正确．【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆”模型1.(轻绳作用下物体的运动)杂技演员表演“水流星”，在长为1.6m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图7所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4m/s，则下列说法正确的是(取g＝10m/s2)()图7A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5N答案B解析“水流星”在最高点的临界速度v＝eq\r(gL)＝4m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故选B.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳”模型2．(轨道约束下小球的运动)(多选)如图8所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动．圆环半径为R，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是()图8A．小球对圆环的压力大小等于mgB．重力mg提供小球做圆周运动所需的向心力C．小球的线速度大小等于eq\r(gR)D．小球的向心加速度大小等于g答案BCD解析因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；此时小球只受重力作用，即重力mg提供小球做圆周运动所需的向心力，满足mg＝meq\f(v2,R)＝ma，即v＝eq\r(gR)，a＝g，选项B、C、D正确．【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳”模型3．(球在管形轨道中的运动)(多选)如图9所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是()图9A．小球通过最高点时的最小速度是eq\r(Rg)B．小球通过最高点时的最小速度为零C．小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力D．小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力答案BD解析小球通过最高点的最小速度为0，圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线ab以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，即外侧管壁对小球一定有作用力，故B、D正确．【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆”模型4．(轻杆作用下小球的运动)如图10所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动．当小球运动到最高点时，瞬时速度为v＝eq\r(\f(1,2)Lg)，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是()图10A.eq\f(1,2)mg的拉力 B.eq\f(1,2)mg的压力C．零 D.eq\f(3,2)mg的压力答案B解析当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg＝meq\f(v′2,L)，解得：v′＝eq\r(gL)，而eq\r(\f(1,2)gL)<eq\r(gL)，故杆对球是支持力，即mg－N＝meq\f(v2,L)，解得N＝eq\f(1,2)mg，由牛顿第三定律，球对杆是压力，故选B.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆”模型选择题考点一轻绳(过山车)模型1．长为r的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点．则下列说法中正确的是()A．小球过最高点时速度为零B．小球过最高点时速度大小为eq\r(gr)C．小球开始运动时绳对小球的拉力为meq\f(v\o\al(02),r)D．小球过最高点时绳对小球的拉力为mg答案B【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳”模型

2.如图1所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为()图1A．0B.eq\r(gR)C.eq\r(2gR)D.eq\r(3gR)答案C解析由题意知F＋mg＝2mg＝meq\f(v2,R)，故速度大小v＝eq\r(2gR)，C正确．【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳”模型3．某飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直面内以速度v做匀速圆周运动，圆的半径为R，在圆周的最高点和最低点比较，飞行员对座椅的压力在最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的表面)()A．mg B．2mgC．mg＋eq\f(mv2,R) D．2eq\f(mv2,R)答案B解析在最高点有：F1＋mg＝meq\f(v2,R)，解得：F1＝meq\f(v2,R)－mg；在最低点有：F2－mg＝meq\f(v2,R)，解得：F2＝mg＋meq\f(v2,R).所以F2－F1＝2mg，B正确．【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳”模型4.在游乐园乘坐如图2所示的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，下列说法正确的是()图2A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一定会掉下去B．人在最高点时对座位仍可能产生压力，但压力一定小于mgC．人在最高点和最低点时的向心加速度大小一定相等D．人在最低点时对座位的压力大于mg答案D解析过山车上人经最高点及最低点时，受力如图，在最高点，由mg＋N＝meq\f(v\o\al(12),R)，可得：N＝m(eq\f(v\o\al(12),R)－g)①在最低点，由N′－mg＝meq\f(v\o\al(22),R)，可得：N′＝m(eq\f(v\o\al(22),R)＋g)②由支持力(大小等于压力)表达式分析知：当v1较大时，在最高点无保险带也不会掉下，且还可能会对座位有压力，大小因v1而定，所以A、B错误．最高点、最低点两处向心力大小不等，向心加速度大小也不等(变速率)，所以C错误．由②式知最低点N′>mg，根据牛顿第三定律可知，D正确．【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳”模型考点二杆(管道)模型5．长度为1m的轻杆OA的A端有一质量为2kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图3所示，小球通过最高点时的速度为3m/s，g取10m/s2，则此时小球将()图3A．受到18N的拉力B．受到38N的支持力C．受到2N的拉力D．受到2N的支持力答案D解析设此时轻杆拉力大小为F，根据向心力公式有F＋mg＝meq\f(v2,r)，代入数值可得F＝－2N，表示小球受到2N的支持力，选项D正确．【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆”模型6．(多选)如图4所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R.现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列说法中正确的是()图4A．若v0＝eq\r(gR)，则小球对管内壁无压力B．若v0>eq\r(gR)，则小球对管内上壁有压力C．若0<v0<eq\r(gR)，则小球对管内下壁有压力D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力答案ABC解析在最高点，只有重力提供向心力时，由mg＝meq\f(v\o\al(02),R)，解得v0＝eq\r(gR)，因此小球对管内壁无压力，选项A正确．若v0＞eq\r(gR)，则有mg＋FN＝meq\f(v\o\al(02),R)，表明小球对管内上壁有压力，选项B正确．若0＜v0＜eq\r(gR)，则有mg－FN′＝meq\f(v\o\al(02),R)，表明小球对管内下壁有压力，选项C正确．综上分析，选项D错误．【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆”模型7．如图5所示，质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，则()图5A．若盒子在最高点时，盒子与小球之间恰好无作用力，则该盒子做匀速圆周运动的周期为2πeq\r(\f(R,g))B．若盒子以周期πeq\r(\f(R,g))做匀速圆周运动，则当盒子运动到图示球心与O点位于同一水平面位置时，小球对盒子左侧面的力为4mgC．若盒子以角速度2eq\r(\f(g,R))做匀速圆周运动，则当盒子运动到最高点时，小球对盒子下面的力为3mgD．盒子从最低点向最高点做匀速圆周运动的过程中，球处于超重状态；当盒子从最高点向最低点做匀速圆周运动的过程中，球处于失重状态答案A解析由mg＝meq\f(4π2,T2)R可得，盒子运动周期T＝2πeq\r(\f(R,g))