高中立体几何专题

13讲立体几何20考题变化看,以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角 0, 2二面角的大小可用它们的平面角来度量 其平面角θ∈0，πScos＝S'S ７．及球面距⌒ 例如，可以循着如下的程序求A、PAP∠AOPAP∠AOPAP 球S球表 V=球3棱锥，所有这些棱锥的体积和可以看作是球体积的近似值.当棱锥的个数无限增加，且所有这些棱锥的底面积无限变小时，棱锥的体积和就变成球体积，同时棱锥底面面积的和就变成球面面积,棱锥高变成球半径.由于第n个棱 πR2·R＝43cosS射S1、⑴已知水平平面a,b，如果将角线ll处，且与两条a,b，则与的大小关系是2 A.或 B.>或< C.> D.< 角的直线 A. B. C. D.⑶异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O,过点O有3条直线与a,b所成角都是600,则的取值可能是 A.30 B.50 C.60 D.90⑴如图1所示,直线l上点Ａ在平面上的射影是ι上的点B,过点B作则 在Rt△OBC和Rt△OAC中，tg=AC,tg=BC.显然 ∴tantan,又、（0，，∴

C2PA⊥ABCD，M、NAB、PC求证PDCABCDθ，问能否确定θMNAB与PCθ的值；若不能，说明理由.（1）∵PA⊥PCAN1PCBN，又MAB2b214d21a4b214d21a4PM=CMNPC，∴MN⊥PC（1）∴MNPCABPA=AD，∴θ=45°113ABC-ABCABC11CAB1

，D为AB的中点 3EC3EC求证：AB1⊥平面 AB1CD求二面角B1—AC—B解:（1）∵DAB，△ABC ∠ABC=900，∴CD⊥ABAA ∴CD⊥平面 ∴CD⊥AB1，又∴AB1⊥平面 由CD⊥平面 ∵AB1⊥平面 ∴DEAB1与CD

3，AC=1,2

2.∴DE2

1(CE)(CE)2连结B1C，易证B1C⊥AC，BC⊥AC∴∠B1CBB1—AC—BRt△CEA

，BC=AC=1,∴∠B3(AB3(AB)2(121∴

cos

2，∴

22∴tgBCBBB1 ,∴BCB 22 说明：作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提,当然,准确地作出应当2aSAE（不含端点）EC=ACCDESB2aEFCDSEFMSEFMDBSBMCD（1）∵ ∴CD∥EF∵D900,CD又SD面 SDCDCDSAD，∴CDEDEFABEFCD（2）CD平面SADEFCDEFAEEFDEEF,AED即为二面角D—EF—C中EC2ED22AC2AD2CD2AC2E

ADE为等腰三角形，AED

tanAED(3)CD2DMCAB2AB2ABa,CD2a,BD

2a,BDC

BC2a,BCBDSDABCD,SDBC,BC平面SBD在SBDSDDBMSB中点，MDSBMD平面SBCMCSBC,MDMCDMC5．1ABCD—A1B1C1D1中，ACBDE，CBCB1（Ⅰ）∵A1ABEBF

2

同理CHE、F分别是AC、B1C1EF//21

CH

BF 6 BH2CH2BC

6)24

6)24

2BHBHCarccos(1)3

3

6 故二面角BEFC的大小为

3（Ⅰ）CA1BD110,CA1DC111即CA1BDCA1又BDDC1A1C平面则A1DD1B就是所求二面角cosAC,DB

13 133

|A1C||D1B故二面角BEFC的大小为

33：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。4(0°，90esp.两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条) 有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——①直线在平面内——②直线和平面相交——esp.空间向量法(找平面的法向量0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为最小角定理:斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理:如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那esp.直线和平面垂直的定义：如果一条直线a就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。③直线和平面平行——两个平面平行-----没有公共点；两个平面相 有一条公共直线a值范围为[0