2023学年完整公开课版弧弦圆心角

义务教育课程标准实验教科书九年级上册人民教育出版社24.1.3弧、弦、圆心角圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?·一、思考圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心.圆的特性：旋转不变性·

圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.OBA二、概念

圆心角所对的弧为AB，

过点O作弦AB的垂线,垂足为M,OABM1.有关概念：顶点在圆心的角,叫圆心角，如,所对的弦为AB；

则垂线段OM的长度,即圆心到弦的距离，叫弦心距,图1中，OM为AB弦的弦心距。1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。①②③④2、下列图中弦心距做对了的是（）┐┐①②③④

如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？·OAB探究·OABA′B′A′B′三、猜想与证明如图，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB，OC`⊥A`B`。猜想：弧AB与弧A`B`，AB与A`B`，OC与OC`之间的关系，并证明你的猜想。定理

相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。在同圆或等圆中，OABCA'B'C'圆心角所对的弧相等，圆心角所对的弦相等，圆心角所对弦的弦心距相等。推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等吗？题设结论在同圆或等圆中(前提)圆心角相等（条件）定理推论OABCA'B'C'推论在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏如由条件:②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____，所对的弦________；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_________．这样，我们就得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．相等相等相等相等同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．四、定理圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏由条件:①∠AOB=∠A′O′B′②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出拓展与深化在同圆或等圆中,如果轮换下面四组条件:①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由.●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏如由条件:②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′推论在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏如由条件:②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，如果AB＝CD，那么

，

，

；如果OE＝OF，那么

，

，

；如果弧AB＝弧CD，那么

，

，

；如果∵∠AOB＝∠COD，那么

，

，

。下列说法正确吗？为什么？在⊙O和⊙O’中，∵∠AOB＝∠A’O’B’∴AB＝A’B’在⊙O和⊙O’中，∵AB＝A’B’，∴弧AB＝弧A’B’注意前提：在同圆或等圆中OABECDF复习回顾OAB下面的说法正确吗?为什么?如图,因为，根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理可知：

⌒⌒已知：如图，点P在⊙O上,点O在∠EPF的平分线上，∠EPF的两边交⊙O于点A和B。求证：PA=PB.EFABPO基础练习已知：如图，点O在∠EPF的平分线上，⊙O和∠EPF的两边分别交于点A，B和C，D。求证：AB＝CDEFOPACBD变式1已知：如图，⊙O的弦AB，CD相交于点P，∠DPO=∠BPO

。求证：AB＝CDOCDABP变式2已知：如图，⊙O的弦AB，CD相交于点P，过P、O的直径为MN，∠APO=∠CPO

。求证：PB＝PD变式3OCDABPNMOCBDAP3、已知：如图，PB＝PD.求证：AB=CD

。变式4例1.如图,在⊙O中,∠ACB=600,求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC︵AB︵AC=CBAO证明：∵∴AB=AC,△ABC等腰三角形．又∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.·ABCO五、例题例1如图在⊙O中，

，∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.猜想与证明定理

相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。在同圆或等圆中，OABCA'B'C'推论在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏七、思考如图，已知AB、CD为的两条弦，，求证AB＝CD.

⌒⌒已知：如图，AD=BC.求证：AB＝CDOCBDAE1°圆心角1°弧CDn°圆心角n°弧把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角。1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。一般地，n°的圆心角对着n°的弧。弧的度数判断题：在两个圆中，分别有弧AB和弧CD，若弧AB和弧CD的度数相等，则有：（1）弧AB和弧CD相等； （ ）（2）弧AB所对的圆心角和弧CD所对的圆心角相等。 （ ）注意：等弧的度数一定相等，但度数相等的弧不一定是等弧！定义辨析1、已知：在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的1/3，圆的半径为2cm。求AB的长。2、已知AB和CD为⊙O的两条直径，弦EC//AB,弧EC的度数为40°，求∠BOD的度数。OBADCE练习OCBDAP3、已知：如图，PB＝PD.求证：AB=CD

。变式4弧、弦、弦心距之间的不等量关系在同圆或等圆中，是不是弧越长，它所对的弦越长？是不是弦越长，它所对的弧越长？•OABCDEF5、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。（）×思维拓展:小林根据在一个圆中圆心角、弦、弧三个量之间的关系认为在如图中已知∠AOB=2∠COD,则有=2,AB=2CD,你同意他的说法吗?︵AB︵CD．ABOCD•OABCDEF已知AB和CD是⊙O的两条弦，OE和OF分别是AB和CD的弦心距，如果AB＞CD,那么OE和OF有什么关系？为什么？想一想？如图⊙A与⊙B是两个等圆,直线CF∥AB,分别交⊙A于点C、D，交⊙B于点E、F。求证：∠CAD=∠EBF•A•BCDEFGH•ABCDMNO如图M、N为AB、CD的中点,且AB=CD.求证：∠AMN＝∠CNMOBACDFE4、已知：如图，⊙O的两条半径OA⊥OB，C、D是弧AB的三等分点。求证：CD＝AE＝BF。继续提高5、已知：如图，⊙O的两条直径AB⊥CD，四条弦AE//FD//CG//HB。求证：E、F、H、G四等分圆周。OBADCFEGH3、如图，A、B分别为CD和EF的中点，AB分别交CD、EF于点M、N，且AM=BN。求证：CD=EF⌒⌒证：连结OA、OB，设分别与CD、EF交于点F、G∵A为CD中点，B为EF中点∴OA⊥CD，OB⊥EF

故∠AFC=∠BGE=90°①

又由OA=OB，∴∠OAB=∠OBA②

且AM=BN③∴△AFM≌△BGN∴AF=BG∴OF=OG∴DC=EF

FG1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．（2）如果，那么____________，______________．（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，____________．（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？·CABDEFOAB=CDAB=CD相等

因为AB=CD

，所以∠AOB=∠COD.

又因为AO=CO，BO=DO，

所以△AOB≌△COD.

又因为OE

、OF是AB与CD对应边上的高，所以OE=OF.六、练习2.