八年级全等模型第1讲一线三等角

八年级全等模型汇总

第1讲一线三等角八年级全等模型汇总1、一线三等角-模型分析【知识梳理】“一线三等角”在初中几何中出现得比较多，是一种常见的全等或相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成全等或相似图形．这三个等角可以是直角也可以是锐角或钝角，可以是在直线的同侧，也可以是在直线的异侧.一、“一线三等角”的基本构图：ABACEFABCDEEDCB123常见变形：CFBFAAGEDAGEBDQPC一线三等角-模型分析二、“一线三等角”的基本应用：“一线三等角”主要应用于导角证三角形的全等．最常见的是直角型“一线三等角”，其次是60°角和45°角及一般的角．【方法技巧】用法：若一线三等角都具备则直接应用;若一线三等角不完全具备，则需要构造出一线三等角．一线三等角-模型分析一、直角型“一线三等角”——“三垂直”直角型“一线三等角”又称“三垂直”或“K"形图，是“一线三等角”问题中最为常见的一种．认识“三垂直"模型：直线绕直角顶点旋转，由外到内，由一般到特殊．证明线段相等方法等角对等边线段的和差关系证明线段所在的三角形全等斜边中点定理中位线定理证明角度相等方法①等边对等角②对顶角相等③平行线性质④角度的和差关系⑤证明角所在的三角形全等或相似⑥四点共圆，对角互补⑦圆周角定理⑧等（同）角的余（补）角相等例1、已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作直线l，过B，C分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E．(1)如图1，当直线l在△ABC的外部时，求证：DE=BD+CE;(2)当直线l在△ABC的内部如图2所示时，求证：DE=BD－CE;(3)当直线l在△ABC的内部如图3所示时，直接写出DE，

BD，CE三者之间的数量关系式为____________.课堂练习

课堂练习

课堂练习二、等边三角形中的“一线三等角”例1、如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别AB，BC，AC上的点，∠DEF=60°，BD=CE．求证：BE=CF．

一线三等角课堂练习练习1．如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，AC上的点，

BE，AD交于点F，∠AFE=60°．求证：AD=BE．

课堂练习三、等腰直角三角形中的“一线三等角”例1、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°,点D,E分别为AB、BC上的点，且CD=DE，∠CDE=45°求证：BD=BC．

课堂练习练习1．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠C=90°，BC=7，AD=4，过点A作AE⊥AB，垂足为A，且AE=AB，连接DE．求△ADE的面积．

构造全等

课堂练习2．已知：在四边形ABCD中，AD//BC，AB=AD，∠ABC=2∠C=2α，点E在AD．上，点F在DC上．(1)如图1，若α=45°，∠BDC的度数为

(2)如图2，当α=45°，∠BEF=90°时，求证：EB=EF;

(3)如图3，若α=30°，则当∠BEF=

时，使得EB=EF成立?(请直接写出结果)

90°

构造Rt△EHB≌Rt△EDF（ASA）120°在AB上截取AN=AE，进而求证△BNE≌△EDF作EH//AB,交BD于点H;求证△BHE≌△EDF课后练习例1、如图8，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4,H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（

）A．2 B．4 C．5 D．不能确定例2、已知:在△ABC中,∠BAC=90°

,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由；(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由；(3)归纳(1)、(2),请用简洁的语言表达BD、DE、C