中考数学一轮考点复习：函数综合（考点解读＋考题精析）

函数综合

考点解读

1、结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。

2、能用反比例函数、一次函数、二次函数解决实际问题。

3、能解决二次函数与圆的综合问题。

考题精析

1.如图，若抛物线y=-x?+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）

的个数为k,则反比例函数丫=旦（x>0）的图象是)

X

v

八”A

5-5-

4-4'

3'

3-C.

2-2-

1-1'

0~2345x0~2345x

-1L-1L

【考点】G2：反比例函数的图象；HA：抛物线与x轴的交点.

【分析】找到函数图象与x轴、y轴的交点，得出k=4,即可得出答案.

【解答】解：抛物线y=-x?+3,当y=0时，x=±

当x=0时，y=3,

则抛物线y=-x?+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）为（-1，

1),(0,1),(0,2),(1,1)；共有4个,

k=4；

故选：D.

2.下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（）

①函数y=x；②函数y=x?；③函数y=工.

x

A.①②B.②③C.①③D.都不是

【考点】G2：反比例函数的图象；F4：正比例函数的图象；H2：二次函数的图象；R5：中心对称图

形.

【分析】函数①③是中心对称图形，对称中心是原点.

【解答】解：根据中心对称图形的定义可知函数①③是中心对称图形.

故选C

3.已知抛物线y=ax?+bx+c与反比例函数丫=卜的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1,则一

X

次函数y=bx+ac的图象可能是（）

【考点】F3：一次函数的图象；G4：反比例函数的性质；H3：二次函数的性质.

【分析】根据抛物线y=ax?+bx+c与反比例函数y=2的图象在第一象限有一个公共点，可得b>0,根

X

据交点横坐标为1,可得a+b+c=b,可得a,c互为相反数，依此可得一次函数y=bx+ac的图象.

【解答】解：•••抛物线丫=a*2+6*+（:与反比例函数丫=上的图象在第一象限有一个公共点，

X

Ab>0,

•・•交点横坐标为1,

.\a+b+c=b,

/.a+c=O,

Aac<0,

...一次函数y=bx+ac的图象经过第一、三、四象限.

故选：B.

4.一次函数丫=1^+13满足kb>0,且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【考点】F7：一次函数图象与系数的关系.

【分析】根据y随x的增大而减小得：k<0,又kb>0,则bVO.再根据k,b的符号判断直线所经

过的象限.

【解答】解：根据y随x的增大而减小得：k<0,又kb>0,则b<0,

故此函数的图象经过第二、三、四象限，

即不经过第一象限.

故选A.

5.已知二次函数y=ax，bx+c(aWO)的图象如图所示，以下四个结论：①a>0；②c>0；③b?-4ac

<0,正确的是()

A.①②B.②④C.①③D.③④

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.

【分析】①由抛物线开口向上可得出a>0,结论①正确；②由抛物线与y轴的交点在y轴负半轴可

得出cVO,结论②错误；③由抛物线与x轴有两个交点，可得出△=b2-4ac>0,结论③正确；④由

抛物线的对称轴在y轴右侧，可得出-2>0,结论④错误.综上即可得出结论.

2a

【解答】解：①•••抛物线开口向上,

•*.a>0,结论①正确；

②•.•抛物线与v轴的交点在y轴负半轴，

.,.c<0,结论②错误；

③•.•抛物线与x轴有两个交点，

A=b2-4ac>0,结论③正确；

④•.•抛物线的对称轴在y轴右侧，

/.—>0-结论④错误.

故选C.

6.如图，已知^ABC的顶点坐标分别为A(0,2)、B(1,0)、C(2,1),若二次函数y=x2+bx+l的

图象与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是()

A.bW-2B.b<-2C.b2-2D.b>-2

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.

【分析】对称轴x=-5Wl时，二次函数y=x2+bx+l的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点.

【解答】解：抛物线y=x2+bx+l与y轴的交点为（0,1）

VC（2,1）,

二对称轴x=-5Wl时，二次函数y=x2+bx+l的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，

：.b^-2,

故选：C.

7.对于函数y=2,当函数值y〈-l时，自变量x的取值范围是-2<xV0.

X

【考点】G4：反比例函数的性质.

【分析】先求出y=-l时x的值，再由反比例函数的性质即可得出结论.

【解答】解：•••当y=-l时,x=-2,

.•.当函数值y<-1时，-2<x<0.

故答案为：-2Vx<0.

8.函数y1=x与丫2=乌的图象如图所示，下列关于函数y=y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对

称；②当XV2时，y随x的增大而减小；③当x>0时，函数的图象最低点的坐标是（2,4）,其中所

有正确结论的序号是①③.

【考点】G4：反比例函数的性质；F6：正比例函数的性质；R7：坐标与图形变化-旋转.

【分析】结合图形判断各个选项是否正确即可.

【解答】解：①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；

②在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；

③结合图象的2个分支可以看出，当x=2时，y=?=4,即在第一象限内，最低点的坐标为（2,4）,

故正确；

...正确的有①③.

故答案为：①③.

9.在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x-l的图象经过Pi（xi，y］）、P2（x2,y2）两点，若x】V

x2,则viVv，（填"V"或"="）

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征.

【分析】根据k=l结合一次函数的性质即可得出y=x-1为单调递增函数，再根据X1VX2即可得出Y1

<V2,此题得解.

【解答】解：,••一次函数y=x-l中k=l,

随x值的增大而增大.

Vxi<x2,

yi<y2.

故答案为：<.

10.如图，点Al（1,V3）在直线11：y/x上，过点A1作AiB」k交直线L于点B1，A1B1

为边在△OAiBi外侧作等边三角形AiBiG，再过点J作A2B2U1，分别交直线k和卜于A2,B2两点，

以A2B2为边在△OA2B2外侧作等边三角形A2B2c2,...按此规律进行下去，则第n个等边三角形AnB。：

的面积为一一冬涉I

（用含n的代数式表示）

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；KK：等边三角形的性质.

【分析】由点心的坐标可得出OAi=2,根据直线I］、12的解析式结合解直角三角形可求出AiBi的长度,

由等边三角形的性质可得出A1A2的长度，进而得出OA2=3,通过解直角三角形可得出A2B2的长度，

同理可求出AnBn的长度，再根据等边三角形的面积公式即可求出第n个等边三角形AnBnCn的面积.

【解答】解：•.•点Ai（1,圾）,

：.OAi=2.

•直线lx：y=v^3x»直线L：y=-^-x,

o

AZAxOBi=30.

在Rt^OAiBi中，0Ai=2,NAQBi=30°,NOAiBi=90°,

A]BI=LOBI,

/.AiBi=

•••△AiBiCi为等边三角形，

•*.AiA；7--^AiBi=l>

2

・・OA2=3,AzBzf/3,

同理，可得出：隼

A3B3=,A4B4=-^^n2

…AnBn=(y)"V3.

乙!

2n-3

.•.第n个等边三角形AnBnCn的面积为

故答案为：亨(•!•产3：

11.已知抛物线：y=ax2+bx+c(a>0)经过A(-1,1),B(2,4)两点，顶点坐标为(m,n),有

下列结论：

①b<l；②cV2；③OVmV*；④nWl.

则所有正确结论的序号是①②④.

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.

【分析】根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出b=-a+l、c=-2a+2,结合a>0,可得出b

VI、c<2,即结论①②正确；由抛物线顶点的横坐标m=-g,可得出即mV3,结论

③不正确；由抛物线y=ax?+bx+c(a>0)经过A(-1,1),可得出nWl,结论④正确.综上即可得

出结论.

【解答】解：•.♦抛物线过点A(-1,1),B(2,4),

.(a-b+c=l

I4a+2b+c=4

...b=-a+1,c=-2a+2.

Va>0,

Ab<l,c<2,

结论①②正确；

•.•抛物线的顶点坐标为(m,n),

...m="-b—-a-+-1=1--—1—，

2a2a22a

结论③不正确；

,抛物线y=ax?+bx+c(a>0)经过A(-1,1),顶点坐标为(m,n),

nWl,结论④正确.

综上所述：正确的结论有①②④.

故答案为：①②④.

12.如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以

lcm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中,

当运动时间为3s时,四边形EFGH的面积最小，其最小值是18cnA

【考点】H7：二次函数的最值；LE：正方形的性质.

【分析】设运动时间为t(0WtW6),则AE=t,AH=6-t,由四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积

-4个4AEH的面积，即可得出Syq.EFGH关于t的函数关系式，配方后即可得出结论.

【解答】解：设运动时间为t(0WtW6),则AE=t,AH=6-t,

根据题意得：S四如EFGH=S正方形ABCD-4s岫£产6*6-4义£1(6-t)=2t2-12t+36=2(t-3)2+18,

.•.当t=3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18.

故答案为：3；18

13.已知反比例函数y上(kWO)的图象经过点B(3,2),点B与点C关于原点。对称，BA_Lx轴

X

于点A,CDJ_x轴于点D.

(1)求这个反比函数的解析式；

(2)求4ACD的面积.

【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；R7：坐标与图

形变化-旋转.

【分析】(1)根据待定系数法，可得函数解析式；

(2)根据三角形的面积公式，可得答案.

【解答】解：(1)将B点坐标代入函数解析式，得

解得k=6,

反比例函数的解析式为丫=电；

X

(2)由B(3,2),点B与点C关于原点0对称，得

C(-3,-2).

由BAJ_X轴于点A,CD_Lx轴于点D,

得A(3,0),D(-3,0).

SMCD=±AD・CD=£[3-(-3)]X|-2=6.

14.如图，在AABC中，AC=BC,AB，x轴，垂足为A.反比例函数y=K（x>0）的图象经过点C,交

X

AB于点D.已知AB=4,BC=£.

（1）若OA=4,求k的值；

（2）连接OC,若BD=BC,求OC的长.

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理.

【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出AE,BE的长，再利用勾股定理得出OA的长，得出C点坐

标即可得出答案；

（2）首先表示出D,C点坐标进而利用反比例函数图象上的性质求出C点坐标，再利用勾股定理得

出co的长.

【解答】解：（1）作CELAB,垂足为E,

VAC=BC,AB=4,

，AE=BE=2.

在RQBCE中，BC=-|,BE=2,

VOA=4,

•♦•C点的坐标为：（万*,2）,

丁点c在产上的图象上，

X

k=5,

(2)设A点的坐标为(m,0),

5

VBD=BC=y,

・'A吟’

•,.D,C两点的坐标分别为：(m,1),(m-1,2).

•.•点C,D都在尸K的图象上，

x

.3_z3、

.nn=2(m-—),

22

••m=6，

.，.C点的坐标为：(卷，2),

作CF_Lx轴,垂足为F,

9

/.OF=-|,CF=2,

在RtAOFC中,

OC2=OF2+CF2,

15.在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这

一点的“互换点"，如（-3,5）与（5,-3）是一对"互换点”.

（1）任意一对"互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？

（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m,n）,求直线MN的表达式（用含m、n的代数式

表示）；

（3）在抛物线y=x?+bx+c的图象上有一对“互换点"A、B,其中点A在反比例函数y=-2的图象上，直

线AB经过点P（1,1）,求此抛物线的表达式.

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；FA：待定系数法求一次函数解析式；H8：待定系数

法求二次函数解析式.

【分析】（1）设这一对“互换点”的坐标为（a,b）和（b,a）.①当ab=O时，它们不可能在反比例函

数的图象上，②当abWO时，由b』可得a*，于是得到结论；

ab

（2）把M（m,n）,N（n,m）代入y=cx+d,即可得到结论；

（3）设点A（p,q）,则q=3由直线AB经过点P［）,得到p+q=l,得到q=-1或q=2,将

D22

这一对“互换点"代入y=x?+bx+c得，于是得到结论.

【解答】解：（1）不一定，

设这一对"互换点”的坐标为（a,b）和（b,a）.

①当ab=O时，它们不可能在反比例函数的图象上，

②当abWO时，由屋可得修，即（a,b）和（b,a）都在反比例函数尸K（kWO）的图象上；

abx

（2）由M（m,n）得N（n,m）,设直线MN的表达式为y=cx+d（c20）.

则有产+产解得,

lnc+d=mlId=nrl-n

直线MN的表达式为y=-x+m+n；

（3）设点A（p,q）,贝I」

D

・•,直线AB经过点P（5，卷），由（2）得lp+q，

p+q=l,

.21

・・p—二1，

D

解并检验得：p=2或p=-1,

q=-1或q=2,

这一对“互换点”是（2,-1）和（-1,2）,

将这一对“互换点"代入y=x2+bx+c得,

:蓝北解得b=-2

c=-l'

此抛物线的表达式为y=x2-2x-l.

16.小慧根据学习函数的经验，对函数y=|x-1|的图象与性质进行了探究.下面是小慧的探究过程,

请补充完整：

（1）函数v=lx-1］的自变量X的取值范围是任意实数

（2）列表，找出y与x的几组对应值.

X..,-10123...

y・・,b1012...

其中，b=2；

（3）在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象;

【分析】（1）根据一次函数的性质即可得出结论；

（2）把x=-l代入函数解析式，求出y的值即可；

（3）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；

（4）根据函数图象即可得出结论.

【解答】解：（1）二、无论为何值，函数均有意义,

.♦•X为任意实数.

故答案为：任意实数；

(2),当x=-1时，y=-1-11=2,

b=2.

故答案为:2；

（3）如图所示;

（4）由函数图象可知，函数的最小值为0.

故答案为：函数的最小值为0（答案不唯一）.

(2)将直线I向上平移4个单位得到I1，k交x轴于点C.作出h的图象，卜的解析式是y=-2x+6

将直线绕点顺时针旋转。得到交于点作出的图象，

(3)IA90l2,LLD.LtanNCAD=_^_.

【考点】F9：一次函数图象与几何变换；F3：一次函数的图象.

【分析】(1)分别令x=0求得y、令y=0求得x,即可得出A、B的坐标，从而得出直线I的解析式；

(2)将直线向上平移4个单位可得直线k根据"上加下减"的原则求解即可得出其解析式；

(3)由旋转得出其函数图象及点B的对应点坐标，待定系数法求得直线1的解析式，继而求得其与

y轴的交点，根据tan/CAD=tan/EAO=器可得答案.

0A

【解答】解：(1)当y=0时，-2x+2=0,解得：x=l,即点A(1,0),

当x=0时，y=2,即点B(0,2),

如图，直线AB即为所求；

(2)如图，直线I1即为所求，

直线li的解析式为y=-2x+2+4=-2x+6,

故答案为：y=-2x+6；

(3)如图，直线12即为所求,

方法一、：直线I绕点A顺时针旋转90。得到12，

/BAD=90°,

AZCAD+ZOAB=90°,

又•；NOAB+NABO=90°,

，/CAD=NABO,

tanZCAD=tanZABO=^-=~

方法二：•••直线I绕点A顺时针旋转90。得到12,

由图可知，点B(0,2)的对应点坐标为(3,1),

设直线12解析式的y=kx+b,

将点A(1,0)、(3,1)代入，得：(k+b=0,

I3k+b=l

舄

解得：，

b-^727

•••直线12的解析式为y』-吉，

当x=0时，y=-y,

...直线12与y轴的交点E(0,

/.tanZCAD=tanZEAO=—=T=—,

0AY2

故答案为:1.

18.设a、b是任意两个实数，用max{a,b}表示a、b两数中较大者，例如：max{-1,-1}=-1,

max{l,2)=2,max{4,3}=4,参照上面的材料，解答下列问题：

(1)max{5,2}=5,max{0,3}=3；

(2)若max{3x+l,-x+l}=-x+1,求x的取值范围；

(3)求函数y=xz-2x-4与y=-x+2的图象的交点坐标，函数y=xz-2x-4的图象如图所示，请你在

图中作出函数y=-x+2的图象，并根据图象直接写出max{-x+2,x?-2x-4}的最小值.

【考点】H7：二次函数的最值；F3：一次函数的图象；F5：一次函数的性质；H2：二次函数的图象.

【分析】(1)根据max{a,b}表示a、b两数中较大者，即可求出结论；

(2)根据max{3x+l,-x+l}=-x+l,即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；

(3)联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y=-x+2的图象，观察图形，

即可得出max{-x+2,x?-2x-4}的最小值.

【解答】解:(1)max{5,2}=5,max{0,3}=3.

故答案为：5；3.

(2)*.,max{3x+l,-x+l}=-x+1,

3x+lW-x+1,

解得:xWO.

(3)联立两函数解析式成方程组，

.尸X2-2X-4,解得：『二

,y=-x+21/1=4［了2=-1

，交点坐标为(-2,4)和(3,-1).

画出直线y=-x+2,如图所示，

观察函数图象可知：当x=3时，max{-x+2,x?-2x-4}取最小值-1.

19.如图，RSAOB的直角边0A在x轴上，OA=2,AB=1,将RgAOB绕点。逆时针旋转90。得到

RtACOD,抛物线y=Yx?+bx+c经过B、D两点.

(1)求二次函数的解析式；

(2)连接BD,点P是抛物线上一点，直线OP把aBOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标.

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H5：二次函数图象上点的坐标特征；R7：坐标与图形

变化-旋转.

【分析】(1)由旋转性质可得CD=AB=1、OA=OC=2,从而得出点B、D坐标，代入解析式即可得出答

案；

(2)由直线0P把△BOD的周长分成相等的两部分且OB=OD,知DQ=BQ,即点Q为BD的中点，从

而得出点Q坐标，求得直线OP解析式，代入抛物线解析式可得点P坐标.

【解答】解：(1),.•RtZkAOB绕点。逆时针旋转90。得到Rt