8.2空间点、线、面之间的位置关系

./§8.2空间点、线、面之间的位置关系教学目标教学目标1．理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．学习内容学习内容知识梳理知识梳理1．平面的基本性质及推论<1>平面的基本性质：基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内．基本性质2：经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面．基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．<2>平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．直线与直线的位置关系<2>判断两直线异面：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线．注：异面直线定义中"不同在任何一个平面内的两条直线"是指"不可能找到一个平面能同时经过这两条直线",也可以理解为"既不平行也不相交的两条直线",但是不能理解为"分别在两个平面内的两条直线"．<3>异面直线所成的角：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角<或直角>叫做异面直线a与b所成的角<或夹角>．异面直线所成角的范围是eq\b\lc\<\rc\]<\a\vs4\al\co1<0,\f<π,2>>>．若两条异面直线所成的角是直角,则称两条异面直线互相垂直,所以空间两条直线垂直分为相交垂直和异面垂直．例题讲解例题讲解题型一平面基本性质的应用例1如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点．求证：<1>E、C、D1、F四点共面；<2>CE、D1F、DA三线共点思维启迪<1>两条相交直线或两条平行直线确定一个平面；<2>可以先证CE与D1F交于一点,然后再证该点在直线DA上证明<1>连接EF,CD1,A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点,∴EF∥BA1.又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,∴E、C、D1、F四点共面．<2>∵EF∥CD1,EF<CD1,∴CE与D1F必相交,设交点为P则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点思维升华基本性质1是判断一条直线是否在某个平面的依据；基本性质2及推论是判断或证明点、线共面的依据；基本性质3是证明三线共点或三点共线的依据．巩固<1>以下四个命题中①不共面的四点中,其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是<>A．0B．1C．2D．3<2>a、b是异面直线,在直线a上有5个点,在直线b上有4个点,则这9个点可确定________个平面．答案<1>B<2>9解析<1>①假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面．这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C,但是若A、B、C共线,则结论不正确；③不正确；④不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形．<2>∵a、b是异面直线,∴a上任一点与直线b确定一平面,共5个,b上任一点与直线a确定一平面,共4个,一共9个．题型二判断空间两直线的位置关系例2如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问<1>AM和CN是否是异面直线？说明理由；<2>D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．思维启迪第<1>问,连接MN,AC,证MN∥AC,即AM与CN共面；第<2>问可采用反证法．解<1>不是异面直线．理由如下：连接MN、A1C1、AC∵M、N分别是A1B1、B1C1∴MN∥A1C1又∵A1A綊C1∴A1ACC1为平行四边形,∴A1C1∥AC,∴MN∥AC∴A、M、N、C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线．<2>是异面直线．证明如下：∵ABCD—A1B1C1D1∴B、C、C1、D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线,则存在平面α,使D1B⊂平面α,CC1⊂平面α,∴D1、B、C、C1∈α,与ABCD—A1B1C1D1是正方体矛盾∴假设不成立,即D1B与CC1是异面直线．思维升华<1>证明直线异面通常用反证法；<2>证明直线相交,通常用平面的基本性质,平面图形的性质等．巩固<1>如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是<>A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行<2>在图中,G、N、M、H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．<填上所有正确答案的序号><3>下列命题中不正确的是________．<填序号>①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行；④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面．答案<1>D<2>②④<3>①②解析<1>连接B1C,B1D1,则点M是B1C的中点,MN是△B1CD1的中位线,∴MN∥B1D∵CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,BD∥B1D1,∴MN⊥CC1,MN⊥AC,MN∥BD.又∵A1B1与B1D1相交,∴MN与A1B1不平行,故选D.<2>图①中,直线GH∥MN；图②中,G、H、N三点共面,但M∉面GHN,因此直线GH与MN异面；图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面；图④中,G、M、N共面,但H∉面GMN,因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．<3>没有公共点的两直线平行或异面,故①错；命题②错,此时两直线有可能相交；命题③正确,因为若直线a和b异面,c∥a,则c与b不可能平行,用反证法证明如下：若c∥b,又c∥a,则a∥b,这与a,b异面矛盾,故cb；命题④也正确,若c与两异面直线a,b都相交,由基本性质2可知,a,c可确定一个平面,b,c也可确定一个平面,这样,a,b,c共确定两个平面．巩固构造衬托平面研究直线相交问题：在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有________条．思维启迪找三条异面直线都相交的直线,可以转化成在一个平面内,作与三条直线都相交的直线．因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面．进而研究公共交线问题．解析方法一在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交点N,当M取不同的位置时就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示．方法二在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面α,因CD与平面α不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连接PQ,则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线．由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交．答案无数温馨提醒<1>本题难度不大,但比较灵活．对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查,难度一般都不会太大．<2>误区警示：本题解法较多,但关键在于构造平面,但不少学生不会构造平面,因此失分较多．这说明学生还是缺少空间想象能力,缺少对空间直线位置关系的理解.综合题库综合题库A组1．判断下面结论是否正确<请在括号中打"√"或"×"><1<√><2>两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线．<×><3>两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点,并记作α∩β＝A.<×><4>两个平面ABC与DBC相交于线段BC.<×><5>经过两条相交直线,有且只有一个平面．<√>2．已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b<>A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案C解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b,与已知a、b为异面直线相矛盾．3．下列命题正确的个数为<>①经过三点确定一个平面②梯形可以确定一个平面③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合A．0B．1C．2D．3答案C解析经过不共线的三点可以确定一个平面,∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面,∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面,∴③正确；命题④中没有说清三个点是否共线,∴④不正确．4.如图,α∩β＝l,A、B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l＝M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过<>A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M答案D解析∵AB⊂γ,M∈AB,∴M∈γ.又α∩β＝l,M∈l,∴M∈β.根据公理3可知,M在γ与β的交线上．同理可知,点C也在γ与β的交线上．5．已知空间四边形ABCD中,M、N分别为AB、CD的中点,则下列判断：①MN≥eq\f<1,2><AC＋BD>；②MN>eq\f<1,2><AC＋BD>；③MN＝eq\f<1,2><AC＋BD>；④MN<eq\f<1,2><AC＋BD>．其中正确的是________．答案④解析如图,取BC的中点O,连接MO、NO,则OM＝eq\f<1,2>AC,ON＝eq\f<1,2>BD,在△MON中,MN<OM＋ON＝eq\f<1,2><AC＋BD>,∴④正确.B组1．若空间中有两条直线,则"这两条直线为异面直线"是"这两条直线没有公共点"的<>A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件答案A解析"两条直线为异面直线"⇒"两条直线无公共点"．"两直线无公共点"⇒"两直线异面或平行"．故选A.2．若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b⊥c,则直线a与c<>A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能答案D解析当a,b,c共面时,a∥c；当a,b,c不共面时,a与c可能异面也可能相交．3．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,eq\r<2>和a,且长为a的棱与长为eq\r<2>的棱异面,则a的取值范围是<>A．<0,eq\r<2>>B．<0,eq\r<3>>C．<1,eq\r<2>>D．<1,eq\r<3>>答案A解析此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,长为a的棱长一定大于0且小于eq\r<2>.选A.4.如图所示,平面α∩平面β＝l,A∈α,B∈α,AB∩l＝D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是<>A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC答案C解析易知D∈β,D∈平面ABC,C∈β,C∈平面ABC.∴平面ABC∩平面β＝CD.5．设P表示一个点,a、b表示两条直线,α、β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是<>①P∈a,P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P,b⊂β⇒a⊂β③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b,P∈α,P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④答案D解析当a∩α＝P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,∴①错；a∩β＝P时,②错；如图,∵a∥b,P∈b,∴P∉a,∴由直线a与点P确定唯一平面α,又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,∴β与α重合,∴b⊂α,故③正确；两个平面的公共点必在其交线上,故④正确．6．平面α、β相交,在α、β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定________个平面．答案1或4解析若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行,则确定一个平面；否则确定四个平面．7．a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题：①若a∥b,b∥c,则a∥c；②若a与b相交,b与c相交,则a与c相交；③若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________<只填序号>．答案①解析由公理4知①正确；当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故②不正确；a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b"不同在任何一个平面内",故③不正确．8.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别为棱C1D1、C1C点,有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．<注：把你认为正确的结论的序号都填上>答案③④解析直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故①②错误．9．如图,空间四边形ABCD中,E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1,CG∶GD＝3∶1,过E、F、G的平面交AD于点H.<1>求AH∶HD；<2>求证：EH、FG、BD三线共点．<1>解∵eq\f<AE,EB>＝eq\f<CF,FB>＝2,∴EF∥AC,∴EF∥平面ACD,而EF⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面ACD＝GH,∴EF∥GH,∴AC∥GH.∴eq\f<AH,HD>＝eq\f<CG,GD>＝3.∴AH∶HD＝3∶1.<2>证明∵EF∥GH,且eq\f<EF,AC>＝eq\f<1,3>,eq\f<GH,AC>＝eq\f<1,4>,∴EF≠GH,∴EFGH为梯形．令EH∩FG＝P,则P∈EH,而EH⊂平面ABD,又P∈FG,FG⊂平面BCD,平面ABD∩平面BCD＝BD,∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点．10．在三棱锥P－ABC中,E是PC的中点．求证：AE与PB是异面直线．证明假设AE与PB共面,设平面为α,∵A∈α,B∈α,E∈α,∴平面α即为平面ABE,∴P∈平面ABE,这与P∉平面ABE矛盾,所以AE与PB是异面直线．C组1．l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是<>A．l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面D．l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面答案B解析当l1⊥l2,l2⊥l3时,l1与l3也可能相交或异面,故A不正确；l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3,故B正确；当l1∥l2∥l3时,l1,l2,l3未必共面,如三棱柱的三条侧棱,故C不正确；l1,l2,l3共点时,l1,l2,l3未必共面,如正方体中从同一顶点出发的三条棱,故D不正确．2.如图是正四面体<各面均为正三角形>的平面展开图,G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点,在这个正四面体中,①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中,正确命题的序号是________．答案②③④解析还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角,DE⊥MN.3．正方体ABCD—A1B1C1D1中,P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么,正方体的过P、Q、R答案六解析延长PQ或<QP>分别交CB延长线于E,交CD延长线于F,取C1D1中点M,连接RM,连接RE交BB1于S,连接MF交DD1于N,连接NQ,PS,则六边形PQNMRS即为正方体ABCD—A1