2015年四川省高考数学试卷理科

/2015年XX省高考数学试卷〔理科一、选择题：本大题共10小题.每小题5分.共50分。在每小题给出的四个选项中.只有一个是符合题目要求的。1．〔5分〔2015•XX设集合A={x|〔x+1〔x﹣2＜0}.集合B={x|1＜x＜3}.则A∪B=〔A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}2．〔5分〔2015•XX设i是虚数单位.则复数i3﹣=〔A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i3．〔5分〔2015•XX执行如图所示的程序框图.输出s的值为〔A．﹣ B． C．﹣ D．4．〔5分〔2015•XX下列函数中.最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是〔A．y=cos〔2x+ B．y=sin〔2x+C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx5．〔5分〔2015•XX过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线.交该双曲线的两条渐近线于A、B两点.则|AB|=〔A． B．2 C．6 D．46．〔5分〔2015•XX用数字0.1.2.3.4.5组成没有重复数字的五位数.其中比40000大的偶数共有〔A．144个 B．120个 C．96个 D．72个7．〔5分〔2015•XX设四边形ABCD为平行四边形.||=6.||=4.若点M、N满足..则=〔A．20 B．15 C．9 D．68．〔5分〔2015•XX设a、b都是不等于1的正数.则"3a＞3b＞3"是"loga3＜logb3"的〔A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件9．〔5分〔2015•XX如果函数f〔x=〔m﹣2x2+〔n﹣8x+1〔m≥0.n≥0在区间[]上单调递减.那么mn的最大值为〔A．16 B．18 C．25 D．10．〔5分〔2015•XX设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点.与圆〔x﹣52+y2=r2〔r＞0相切于点M.且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条.则r的取值范围是〔A．〔1.3 B．〔1.4 C．〔2.3 D．〔2.4二、填空题：本大题共5小题.每小题5分.共25分。11．〔5分〔2015•XX在〔2x﹣15的展开式中.含x2的项的系数是〔用数字填写答案．12．〔5分〔2015•XXsin15°+sin75°的值是．13．〔5分〔2015•XX某食品的保鲜时间y〔单位：小时与储藏温度x〔单位：℃满足函数关系y=ekx+b〔e=2.718…为自然对数的底数.k、b为常数．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时.在22℃的保鲜时间是48小时.则该食品在33℃的保鲜时间是小时．14．〔5分〔2015•XX如图.四边形ABCD和ADPQ均为正方形.他们所在的平面互相垂直.动点M在线段PQ上.E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ.则cosθ的最大值为．15．〔5分〔2015•XX已知函数f〔x=2x.g〔x=x2+ax〔其中a∈R．对于不相等的实数x1、x2.设m=.n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2.都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2.都有n＞0；③对于任意的a.存在不相等的实数x1、x2.使得m=n；④对于任意的a.存在不相等的实数x1、x2.使得m=﹣n．其中的真命题有〔写出所有真命题的序号．三、解答题：本大题共6小题.共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．〔12分〔2015•XX设数列{an}〔n=1.2.3.…的前n项和Sn满足Sn=2an﹣a1.且a1.a2+1.a3成等差数列．〔Ⅰ求数列{an}的通项公式；〔Ⅱ记数列{}的前n项和为Tn.求使得|Tn﹣1|成立的n的最小值．17．〔12分〔2015•XX某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛.A中学推荐了3名男生、2名女生.B中学推荐了3名男生、4名女生.两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当.从参加集训的男生中随机抽取3人.女生中随机抽取3人组成代表队．〔Ⅰ求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；〔Ⅱ某场比赛前.从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数.求X的分布列和数学期望．18．〔12分〔2015•XX一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中.设BC的中点为M、GH的中点为N．〔Ⅰ请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处〔不需说明理由；〔Ⅱ证明：直线MN∥平面BDH；〔Ⅲ求二面角A﹣EG﹣M的余弦值．19．〔12分〔2015•XX如图.A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．〔Ⅰ证明：tan；〔Ⅱ若A+C=180°.AB=6.BC=3.CD=4.AD=5.求tan+tan+tan+tan的值．20．〔13分〔2015•XX如图.椭圆E：的离心率是.过点P〔0.1的动直线l与椭圆相交于A、B两点.当直线l平行于x轴时.直线l被椭圆E截得的线段长为2．〔Ⅰ求椭圆E的方程；〔Ⅱ在平面直角坐标系xOy中.是否存在与点P不同的定点Q.使得恒成立？若存在.求出点Q的坐标；若不存在.请说明理由．21．〔14分〔2015•XX已知函数f〔x=﹣2〔x+alnx+x2﹣2ax﹣2a2+a.其中a＞0．〔Ⅰ设g〔x是f〔x的导函数.讨论g〔x的单调性；〔Ⅱ证明：存在a∈〔0.1.使得f〔x≥0在区间〔1.+∞内恒成立.且f〔x=0在区间〔1.+∞内有唯一解．2015年XX省高考数学试卷〔理科参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题.每小题5分.共50分。在每小题给出的四个选项中.只有一个是符合题目要求的。1．〔5分〔2015•XX设集合A={x|〔x+1〔x﹣2＜0}.集合B={x|1＜x＜3}.则A∪B=〔A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}[分析]求解不等式得出集合A={x|﹣1＜x＜2}.根据集合的并集可求解答案．[解答]解：∵集合A={x|〔x+1〔x﹣2＜0}.集合B={x|1＜x＜3}.∴集合A={x|﹣1＜x＜2}.∵A∪B={x|﹣1＜x＜3}.故选：A[点评]本题考查了二次不等式的求解.集合的运算.属于容易题．2．〔5分〔2015•XX设i是虚数单位.则复数i3﹣=〔A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i[分析]通分得出.利用i的性质运算即可．[解答]解：∵i是虚数单位.则复数i3﹣.∴===i.故选；C[点评]本题考查了复数的运算.掌握好运算法则即可.属于计算题．3．〔5分〔2015•XX执行如图所示的程序框图.输出s的值为〔A．﹣ B． C．﹣D．[分析]模拟执行程序框图.依次写出每次循环得到的k的值.当k=5时满足条件k＞4.计算并输出S的值为．[解答]解：模拟执行程序框图.可得k=1k=2不满足条件k＞4.k=3不满足条件k＞4.k=4不满足条件k＞4.k=5满足条件k＞4.S=sin=.输出S的值为．故选：D．[点评]本题主要考查了循环结构的程序框图.属于基础题．4．〔5分〔2015•XX下列函数中.最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是〔A．y=cos〔2x+ B．y=sin〔2x+C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx[分析]求出函数的周期.函数的奇偶性.判断求解即可．[解答]解：y=cos〔2x+=﹣sin2x.是奇函数.函数的周期为：π.满足题意.所以A正确y=sin〔2x+=cos2x.函数是偶函数.周期为：π.不满足题意.所以B不正确；y=sin2x+cos2x=sin〔2x+.函数是非奇非偶函数.周期为π.所以C不正确；y=sinx+cosx=sin〔x+.函数是非奇非偶函数.周期为2π.所以D不正确；故选：A．[点评]本题考查两角和与差的三角函数.函数的奇偶性以及红丝带周期的求法.考查计算能力．5．〔5分〔2015•XX过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线.交该双曲线的两条渐近线于A、B两点.则|AB|=〔A． B．2 C．6 D．4[分析]求出双曲线的渐近线方程.求出AB的方程.得到AB坐标.即可求解|AB|．[解答]解：双曲线x2﹣=1的右焦点〔2.0.渐近线方程为y=.过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线.x=2.可得yA=2.yB=﹣2.∴|AB|=4．故选：D．[点评]本题考查双曲线的简单性质的应用.考查基本知识的应用．6．〔5分〔2015•XX用数字0.1.2.3.4.5组成没有重复数字的五位数.其中比40000大的偶数共有〔A．144个 B．120个 C．96个 D．72个[分析]根据题意.符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个.末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论.①首位数字为5时.②首位数字为4时.每种情况下分析首位、末位数字的情况.再安排剩余的三个位置.由分步计数原理可得其情况数目.进而由分类加法原理.计算可得答案．[解答]解：根据题意.符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个.末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字为5时.末位数字有3种情况.在剩余的4个数中任取3个.放在剩余的3个位置上.有A43=24种情况.此时有3×24=72个.②首位数字为4时.末位数字有2种情况.在剩余的4个数中任取3个.放在剩余的3个位置上.有A43=24种情况.此时有2×24=48个.共有72+48=120个．故选：B[点评]本题考查计数原理的运用.关键是根据题意.分析出满足题意的五位数的首位、末位数字的特征.进而可得其可选的情况．7．〔5分〔2015•XX设四边形ABCD为平行四边形.||=6.||=4.若点M、N满足..则=〔A．20 B．15 C．9 D．6[分析]根据图形得出=+=.==.=•〔=2﹣.结合向量结合向量的数量积求解即可．[解答]解：∵四边形ABCD为平行四边形.点M、N满足..∴根据图形可得：=+=.==.∴=.∵=•〔=2﹣.2=22.=22.||=6.||=4.∴=22=12﹣3=9故选：C[点评]本题考查了平面向量的运算.数量积的运用.考查了数形结合的思想.关键是向量的分解.表示．8．〔5分〔2015•XX设a、b都是不等于1的正数.则"3a＞3b＞3"是"loga3＜logb3"的〔A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件[分析]求解3a＞3b＞3.得出a＞b＞1.loga3＜logb3.或根据对数函数的性质求解即可.再利用充分必要条件的定义判断即可．[解答]解：a、b都是不等于1的正数.∵3a＞3b＞3.∴a＞b＞1.∵loga3＜logb3.∴.即＜0.或求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1.0＜a＜1根据充分必要条件定义得出："3a＞3b＞3"是"loga3＜logb3"的充分条不必要件.故选：B．[点评]本题综合考查了指数.对数函数的单调性.充分必要条件的定义.属于综合题目.关键是分类讨论．9．〔5分〔2015•XX如果函数f〔x=〔m﹣2x2+〔n﹣8x+1〔m≥0.n≥0在区间[]上单调递减.那么mn的最大值为〔A．16 B．18 C．25 D．[分析]函数f〔x=〔m﹣2x2+〔n﹣8x+1〔m≥0.n≥0在区间[]上单调递减.则f′〔x≤0.故〔m﹣2x+n﹣8≤0在[.2]上恒成立．而〔m﹣2x+n﹣8是一次函数.在[.2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′〔≤0.f′〔2≤0即可．结合基本不等式求出mn的最大值．[解答]解：∵函数f〔x=〔m﹣2x2+〔n﹣8x+1〔m≥0.n≥0在区间[]上单调递减.∴f′〔x≤0.故〔m﹣2x+n﹣8≤0在[.2]上恒成立．而〔m﹣2x+n﹣8是一次函数.在[.2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′〔≤0.f′〔2≤0即可．即由〔2得m≤〔12﹣n.∴mn≤n〔12﹣n≤=18.当且仅当m=3.n=6时取得最大值.经检验m=3.n=6满足〔1和〔2．故选：B．解法二：∵函数f〔x=〔m﹣2x2+〔n﹣8x+1〔m≥0.n≥0在区间[]上单调递减.∴①m=2.n＜8对称轴x=﹣.②即③即设或或设y=.y′=.当切点为〔x0.y0.k取最大值．①﹣=﹣2．k=2x.∴y0=﹣2x0+12.y0==2x0.可得x0=3.y0=6.∵x=3＞2∴k的最大值为3×6=18②﹣=﹣．.k=.y0==.2y0+x0﹣18=0.解得：x0=9.y0=∵x0＜2∴不符合题意．③m=2.n=8.k=mn=16综合得出：m=3.n=6时k最大值k=mn=18.故选；B[点评]本题综合考查了函数方程的运用.线性规划问题.结合导数的概念.运用几何图形判断.难度较大.属于难题．10．〔5分〔2015•XX设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点.与圆〔x﹣52+y2=r2〔r＞0相切于点M.且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条.则r的取值范围是〔A．〔1.3 B．〔1.4 C．〔2.3 D．〔2.4[分析]先确定M的轨迹是直线x=3.代入抛物线方程可得y=±2.所以交点与圆心〔5.0的距离为4.即可得出结论．[解答]解：设A〔x1.y1.B〔x2.y2.M〔x0.y0.斜率存在时.设斜率为k.则y12=4x1.y22=4x2.则.相减.得〔y1+y2〔y1﹣y2=4〔x1﹣x2.当l的斜率存在时.利用点差法可得ky0=2.因为直线与圆相切.所以=﹣.所以x0=3.即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=4x.得y2=12.∴.∵M在圆上.∴.∴r2=.∵直线l恰有4条.∴y0≠0.∴4＜r2＜16.故2＜r＜4时.直线l有2条；斜率不存在时.直线l有2条；所以直线l恰有4条.2＜r＜4.故选：D．[点评]本题考查直线与抛物线、圆的位置关系.考查点差法.考查学生分析解决问题的能力.属于中档题．二、填空题：本大题共5小题.每小题5分.共25分。11．〔5分〔2015•XX在〔2x﹣15的展开式中.含x2的项的系数是﹣40〔用数字填写答案．[分析]根据所给的二项式.利用二项展开式的通项公式写出第r+1项.整理成最简形式.令x的指数为2求得r.再代入系数求出结果．[解答]解：根据所给的二项式写出展开式的通项.Tr+1=；要求x2的项的系数.∴5﹣r=2.∴r=3.∴x2的项的系数是22〔﹣13C53=﹣40．故答案为：﹣40．[点评]本题考查二项式定理的应用.本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项.在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．12．〔5分〔2015•XXsin15°+sin75°的值是．[分析]利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．[解答]解：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=〔sin15°cos45°+cos15°sin45°=sin60°=．故答案为：．[点评]本题考查两角和的正弦函数.三角函数的化简求值.考查计算能力．13．〔5分〔2015•XX某食品的保鲜时间y〔单位：小时与储藏温度x〔单位：℃满足函数关系y=ekx+b〔e=2.718…为自然对数的底数.k、b为常数．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时.在22℃的保鲜时间是48小时.则该食品在33℃的保鲜时间是24小时．[分析]由题意可得.x=0时.y=192；x=22时.y=48．代入函数y=ekx+b.解方程.可得k.b.再由x=33.代入即可得到结论．[解答]解：由题意可得.x=0时.y=192；x=22时.y=48．代入函数y=ekx+b.可得eb=192.e22k+b=48.即有e11k=.eb=192.则当x=33时.y=e33k+b=×192=24．故答案为：24．[点评]本题考查函数的解析式的求法和运用.考查运算能力.属于中档题．14．〔5分〔2015•XX如图.四边形ABCD和ADPQ均为正方形.他们所在的平面互相垂直.动点M在线段PQ上.E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ.则cosθ的最大值为．[分析]首先以AB.AD.AQ三直线为x.y.z轴.建立空间直角坐标系.并设正方形边长为2.M〔0.y.2.从而可求出向量的坐标.由cosθ=得到.对函数求导.根据导数符号即可判断该函数为减函数.从而求出cosθ的最大值．[解答]解：根据已知条件.AB.AD.AQ三直线两两垂直.分别以这三直线为x.y.z轴.建立如图所示空间直角坐标系.设AB=2.则：A〔0.0.0.E〔1.0.0.F〔2.1.0；M在线段PQ上.设M〔0.y.2.0≤y≤2；∴；∴cosθ==；设f〔y=.；函数g〔y=﹣2y﹣5是一次函数.且为减函数.g〔0=﹣5＜0；∴g〔y＜0在[0.2]恒成立.∴f′〔y＜0；∴f〔y在[0.2]上单调递减；∴y=0时.f〔y取到最大值．故答案为：．[点评]考查建立空间直角坐标系.利用空间向量解决异面直线所成角的问题.异面直线所成角的概念及其范围.向量夹角的概念及其范围.以及向量夹角余弦的坐标公式.函数导数符号和函数单调性的关系．15．〔5分〔2015•XX已知函数f〔x=2x.g〔x=x2+ax〔其中a∈R．对于不相等的实数x1、x2.设m=.n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2.都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2.都有n＞0；③对于任意的a.存在不相等的实数x1、x2.使得m=n；④对于任意的a.存在不相等的实数x1、x2.使得m=﹣n．其中的真命题有①④〔写出所有真命题的序号．[分析]运用指数函数的单调性.即可判断①；由二次函数的单调性.即可判断②；通过函数h〔x=x2+ax﹣2x.求出导数判断单调性.即可判断③；通过函数h〔x=x2+ax+2x.求出导数判断单调性.即可判断④．[解答]解：对于①.由于2＞1.由指数函数的单调性可得f〔x在R上递增.即有m＞0.则①正确；对于②.由二次函数的单调性可得g〔x在〔﹣∞.﹣递减.在〔﹣.+∞递增.则n＞0不恒成立.则②错误；对于③.由m=n.可得f〔x1﹣f〔x2=g〔x1﹣g〔x2.即为g〔x1﹣f〔x1=g〔x2﹣f〔x2.考查函数h〔x=x2+ax﹣2x.h′〔x=2x+a﹣2xln2.当a→﹣∞.h′〔x小于0.h〔x单调递减.则③错误；对于④.由m=﹣n.可得f〔x1﹣f〔x2=﹣[g〔x1﹣g〔x2].考查函数h〔x=x2+ax+2x.h′〔x=2x+a+2xln2.对于任意的a.h′〔x不恒大于0或小于0.则④正确．故答案为：①④．[点评]本题考查函数的单调性及运用.注意运用指数函数和二次函数的单调性.以及导数判断单调性是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题.共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．〔12分〔2015•XX设数列{an}〔n=1.2.3.…的前n项和Sn满足Sn=2an﹣a1.且a1.a2+1.a3成等差数列．〔Ⅰ求数列{an}的通项公式；〔Ⅱ记数列{}的前n项和为Tn.求使得|Tn﹣1|成立的n的最小值．[分析]〔Ⅰ由已知数列递推式得到an=2an﹣1〔n≥2.再由已知a1.a2+1.a3成等差数列求出数列首项.可得数列{an}是首项为2.公比为2的等比数列.则其通项公式可求；〔Ⅱ由〔Ⅰ求出数列{}的通项公式.再由等比数列的前n项和求得Tn.结合求解指数不等式得n的最小值．[解答]解：〔Ⅰ由已知Sn=2an﹣a1.有an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1〔n≥2.即an=2an﹣1〔n≥2.从而a2=2a1.a3=2a2=4a1.又∵a1.a2+1.a3成等差数列.∴a1+4a1=2〔2a1+1.解得：a1=2．∴数列{an}是首项为2.公比为2的等比数列．故；〔Ⅱ由〔Ⅰ得：.∴．由.得.即2n＞1000．∵29=512＜1000＜1024=210.∴n≥10．于是.使|Tn﹣1|成立的n的最小值为10．[点评]本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．17．〔12分〔2015•XX某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛.A中学推荐了3名男生、2名女生.B中学推荐了3名男生、4名女生.两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当.从参加集训的男生中随机抽取3人.女生中随机抽取3人组成代表队．〔Ⅰ求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；〔Ⅱ某场比赛前.从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数.求X的分布列和数学期望．[分析]〔Ⅰ求出A中学至少有1名学生入选代表队的对立事件的概率.然后求解概率即可；〔Ⅱ求出X表示参赛的男生人数的可能值.求出概率.得到X的分布列.然后求解数学期望．[解答]解：〔Ⅰ由题意.参加集训的男、女学生共有6人.参赛学生全从B中抽出〔等价于A中没有学生入选代表队的概率为：=.因此A中学至少有1名学生入选代表队的概率为：1﹣=；〔Ⅱ某场比赛前.从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.X表示参赛的男生人数.则X的可能取值为：1.2.3.P〔X=1==.P〔X=2==.P〔X=3==．X的分布列：X123P和数学期望EX=1×=2．[点评]本题考查离散型随机变量的分布列.期望的求法.考查古典概型概率的求法.考查分析问题解决问题的能力．18．〔12分〔2015•XX一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中.设BC的中点为M、GH的中点为N．〔Ⅰ请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处〔不需说明理由；〔Ⅱ证明：直线MN∥平面BDH；〔Ⅲ求二面角A﹣EG﹣M的余弦值．[分析]〔Ⅰ根据展开图和直观图之间的关系进行判断即可；〔Ⅱ利用线面平行的判定定理即可证明直线MN∥平面BDH；〔Ⅲ法一：利用定义法求出二面角的平面角进行求解．法二：建立坐标系.利用向量法进行求解即可．[解答]解：〔ⅠF、G、H的位置如图；证明：〔Ⅱ连接BD.设O是BD的中点.∵BC的中点为M、GH的中点为N.∴OM∥CD.OM=CD.HN∥CD.HN=CD.∴OM∥HN.OM=HN.即四边形MNHO是平行四边形.∴MN∥OH.∵MN⊄平面BDH；OH⊂面BDH.∴直线MN∥平面BDH；〔Ⅲ方法一：连接AC.过M作MH⊥AC于P.则正方体ABCD﹣EFGH中.AC∥EG.∴MP⊥EG.过P作PK⊥EG于K.连接KM.∴EG⊥平面PKM则KM⊥EG.则∠PKM是二面角A﹣EG﹣M的平面角.设AD=2.则CM=1.PK=2.在Rt△CMP中.PM=CMsin45°=.在Rt△PKM中.KM==.∴cos∠PKM=.即二面角A﹣EG﹣M的余弦值为．方法二：以D为坐标原点.分别为DA.DC.DH方向为x.y.z轴建立空间坐标系如图：设AD=2.则M〔1.2.0.G〔0.2.2.E〔2.0.2.O〔1.1.0.则=〔2.﹣2.0..设平面EGM的法向量为=〔x.y.z.则.即.令x=2.得=〔2.2.1.在正方体中.DO⊥平面AEGC.则==〔1.1.0是平面AEG的一个法向量.则cos＜＞====．二面角A﹣EG﹣M的余弦值为．[点评]本题主要考查简单空间图形的直观图.空间线面平行的判定和性质.空间面面夹角的计算.考查空间想象能力.推理能力.运算求解能力．19．〔12分〔2015•XX如图.A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．〔Ⅰ证明：tan；〔Ⅱ若A+C=180°.AB=6.BC=3.CD=4.AD=5.求tan+tan+tan+tan的值．[分析]〔Ⅰ直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可．〔Ⅱ通过A+C=180°.得C=180°﹣A.D=180°﹣B.利用〔Ⅰ化简tan+tan+tan+tan=.连结BD.在△ABD中.利用余弦定理求出sinA.连结AC.求出sinB.然后求解即可．[解答]证明：〔Ⅰtan===．等式成立．〔Ⅱ由A+C=180°.得C=180°﹣A.D=180°﹣B.由〔Ⅰ可知：tan+tan+tan+tan==.连结BD.在△ABD中.有BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA.AB=6.BC=3.CD=4.AD=5.在△BCD中.有BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC.所以AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC.则：cosA===．于是sinA==.连结AC.同理可得：cosB===.于是sinB==．所以tan+tan+tan+tan===．[点评]本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理．简单的三角恒等变换.考查函数与方程的思想.转化与化归思想的应用．20．〔13分〔2015•XX如图.椭圆E：的离心率是.过点P〔0.1的动直线l与椭圆相交于A、B两点.当直线l平行于x轴时.直线l被椭圆E截得的线段长为2．〔Ⅰ求椭圆E的方程；〔Ⅱ在平面直角坐标系xOy中.是否存在与点P不同的定点Q.使得恒成立？若存在.求出点Q的坐标；若不存在.请说明理由．[分析]〔Ⅰ通过直线l平行于x轴时被椭圆E截得的线段长为2及离心率是.计算即得结论；〔Ⅱ通过直线l与x轴平行、垂直时.可得若存在不同于点P的定点Q满足条件.则Q点坐标只能是〔0.2．然后分直线l的斜率不存在、存在两种情况.利用韦达定理及直线斜率计算方法.证明对任意直线l.均有即可．[解答]解：〔Ⅰ∵直线l平行于x轴时.直线l被椭圆E截得的线段长为2.∴点〔.1在椭圆E上.又∵离心率是.∴.解得a=2.b=.∴椭圆E的方程为：+=1；〔Ⅱ结论：存在与点P不同的定点Q〔0.2.使得恒成立．理由如下：当直线l与x轴平行时.设直线l与椭圆相交于C、D两点.如果存在定点Q满足条件.则有==1.即|QC|=|QD|．∴Q点在直线y轴上.可设Q〔0.y0．当直线l与x轴垂直时.设直线l与椭圆相交于M、N两点.则M、N的坐标分别为〔0.、〔0.﹣.又∵=.∴=.解得y0=1或y0=2．∴若存在不同于点P的定点Q满足条件.则Q点坐标只能是〔0.2．下面证明：对任意直线l.均有．当直线l的斜率不存在时.由上可知.结论成立．当直线l的斜率存在时.可设直线l的方程为y=kx+1.A、B的坐标分别为A〔x1.y1、B〔x2.y2.联立.消