2022高考数学专题2函数与导数

2022届高考数学二轮复习专题二函数与导数【重点知识回首】1．函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势．函数的图象也是高考命题的热点之一．近几年来考察导数的综合题基本已经定位到压轴题的地点了．2．对于函数部分考察的重点为：函数的定义域、值域、单一性、奇偶性、周期性对称性和函数的图象；指数函数、对数函数的观点、图象和性质；应用函数知识解决一些实际问题；导数的基本公式，复合函数的求导法例；可导函数的单一性与其导数的关系，求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【典型例题】1．函数的性质与图象函数的性质是高考考察的重点内容．根据函数单一性和奇偶性的定义，能判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单一性，从数形联合的角度认识函数的单一性和奇偶性，掌握求函数最大值和最小值的常用方法．函数的图象是函数性质的直观载体，可以利用函数的图象概括函数的性质．对于抽象函数一类，也要尽量画出函数的大概图象，利用数形联合议论函数的性质．例1．“龟兔赛跑”叙述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是赶忙追赶，但为时已晚，乌龟仍是先抵达了终点用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的行程，t为时间，则下列图与故事情节相符合的是（）ABCD答案：B解析：在选项B中，乌龟抵达终点时，兔子在同一时间的行程比乌龟短．点评：函数图象是近年高考的热点的试题，考察函数图象的实际应用，考察学生解决问题、剖析问题的能力，在复习时应惹起重视．例2．已知定义在R上的奇函数，知足f(x4)f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f=mm>0在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4，则x1x2x3x4_________.答案：-8解析：因为定义在R上的奇函数，知足f(x4)f(x)，所以f=mm>0-8-6-4-202468f(x4)f(x)，所以,由为奇函数，所以函数图象对于直线对称且f(0)0，由f(x4)f(x)知f(x8)f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间[0,2]上是增函数，所以在区间[-2,0]上也是增函数．如下图，那么方程f=mm>0在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4，不妨设x1x2x3x4，由对称性知x1x212，x3x44．所以x1x2x3x41248．点评：此题综合考察了函数的奇偶性,单一性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形联合的思想和函数与方程的思想解答问题．2．函数与解方程、不等式的综合问题函数与方程、不等式、数列是亲密有关的几个部分，经过成立函数模型来解决有关他们的综合问题是高考的考察方向之一，解决该类问题要善于运用转变的思想方法，将问题进行不断转变，建立模型来解决问题．例2．为何值时，不等式logmx2logm3x2成立．x20x0解析：当m1时，3x20x21x2．3x23x21x2x20x02时，3x202当0m1x3x1或x2．x23x23x1或x2故m1时，1x2．21或x2为所求．0m1时，x3点评：该题考察了对数不等式的解法，其基本的解题思路为将对数不等式转变为普通不等式，需要注意转变之后x的范围发生了变化，因此最后要查验，或许转变时将限制条件联立．3．函数的实际应用函数的实际运用主假如指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描绘了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特点和限制关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特点，成立函数关系．掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，考生应具备用初等数学思想方法研究函数的能力，运用函数思想解决有关数学识题的意识是运用函数思想的重点．例3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋起码10层、每层平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为（10）层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层

200056048购地总费用（注：平均综合费用=平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用=）建筑总面积解析：设楼房每平方米的平均综合费为y元，依题意得：y(56048x)21601000056048x10800(x10,xN*)．108002000x4810800x则y48，令y0，即0，解得x15．x2x2当x15时，y0；当0x15时，y0，因此，当x15时，y取得最小值，ymin2000元．答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．点评：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题．利用导数，求函数的单一性、求函数值域或最值是一种常用的方法．4．导数与单一性、极（最）值问题．导数作为工具来研究三次函数、指数函数、对数函数的单一性，极值、最值时，拥有其独到的优越性，要理解导数的几何意义，娴熟导数的运算公式，善于借助导数解决有关的问题．例4．已知函数f(x)1ax3bx2x3，其中a0．3（1）当a,b知足什么条件时，f(x)取得极值（2）已知a0，且f(x)在区间(0,1]上单一递增，试用a表示出b的取值范围．解析：（1）由已知得f'(x)ax22bx1，令f'(x)0，得ax22bx10，f(x)要取得极值，方程ax22bx10必须有解，所以△4b24a0，即b2a，此时方程ax22bx10的根为：x12b4b24abb2a，x22b4b24abb2a，2aa2aa所以f'(x)a(xx1)(xx2)当a0时，-∞，11，22，∞12f’＋0－0＋f增函数极大值减函数极小值增函数所以f(x)在1，2处分别取得极大值和极小值．当a0时，-∞，222，111，∞F’－0＋0－f减函数极小值增函数极大值减函数所以f(x)在1，2处分别取得极大值和极小值．综上，当a,b知足b2a时，f(x)取得极值．（2）要使f(x)在区间(0,1]上单一递增，需使f'(x)ax22bx10在(0,1]上恒成立．即bax1,x(0,1]恒成立，所以b(ax1)max，22x22xax1a1a(x21)设g(x)a，2，g'(x)2x22x22x2令g'(x)0得x1或x1a舍去，a当a1时，01(0,1)时g'(x)0，g(x)ax11，当x2单一增函数；aa2x当x(1,1]时g'(x)0，g(x)ax1单一减函数，a22x所以当x1g(1)a．时，g(x)取得最大，最大值为aa所以ba．当0a1时，11，此时g'(x)0在区间(0,1]恒成立，a所以g(x)ax1在区间(0,1]上单一递增，22x当x1时g(x)最大，最大值为g(1)a1a12，所以b．2综上，当a1时，ba；当0a1时，ba12．点评：此题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单一性和函数的最值，函数在区间上为单一函数，则导函数在该区间上的符号确定，进而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值．运用函数与方程的思想，化归思想和分类议论的思想解答问题．【模拟操练】1．函数ylog22x的图象（）2xA．对于原点对称B．对于主线yx对称C．对于轴对称D．对于直线yx对称2．定义在R上的偶函数fx的部分图象如右图所示，则在2,0上，下列函数中与fx的单一性不同的是（）A．yx21B．y|x|12x1,x0ex,xoC．y1,xD．yex,x0x303．已知定义在R上的奇函数，知足f(x4)f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则A．f(25)f(11)f(80)C．f(11)f(80)f(25)

B．f(80)f(11)f(25)D．f(25)f(80)f(11)4．定义在R上的函数log2(1x),x0f知足f=，则f（2022）的值f(x1)f(x2),x0为．5．已知函数在R上知足f(x)2f(2x)x28x8，则曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程是．6．已知函数f(x)1x3ax2bx,且f'(1)03I）试用含a的代数式表示b；（Ⅱ）求f(x)的单一区间；（Ⅲ）令a1，设函数f(x)在x1,x2(x1x2)处取得极值，记点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2))，证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点．7．已知函数f(x)x32bx2cx2的图象在与轴交点处的切线方程是y5x10．（I）求函数的解析式；（II）设函数g(x)f(x)1mx，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值3时对应的自变量的值．【参照答案】1．答案：A解析：由于定义域为（-2，2）对于原点对称，又f-=-f，故函数为奇函数，图象对于原点对称，选A．2．答案：C解析：根据偶函数在对于原点对称的区间上单一性相反，故可知求在2,0上单一递减，注意到要与fx的单一性不同，故所求的函数在2,0上应单一递增．而函数yx21在,1上递减；函数yx1在,0时单一递减；函数y2x1,x0在（,0]上单一递减，原因如下＇=32>0<0，故函数单一递增，显然x31,x0切合题意；而函数yex,x0，有＇=-ex<0<0，故其在（,0]上单一递减，不ex,x0切合题意，综上选C．3．答案：D解析：因为知足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)，又因为在R上是奇函数，f(0)0，得f(80)f(0)0，f(25)f(1)f(1)，而由f(x4)f(x)得f(11)f(3)f(3)f(14)f(1)，又因为在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)f(0)0，所以f(1)0，即f(25)f(80)f(11)，应选D．4．答案：1解析：由已知得f(1)log221，f(0)0，f(1)f(0)f(1)1，f(2)f(1)f(0)1，f(3)f(2)f(1)1(1)0，f(4)f(3)f(2)0(1)1，f(5)f(4)f(3)1，f(6)f(5)f(4)0，所以函数f的值以6为周期重复性出现．，所以f（2022）=f（5）=1．5．答案：y2x1解析：由f(x)2f(2x)x28x8得：f(2x)2f(x)(2x)28(2x)8，即2f(x)f(2x)x24x4，∴f(x)x2∴f/(x)2x，∴切线方程为y12(x1)，即2xy10．6．解析：（I）依题意，得f'(x)x22axb，由f'(1)12ab0得b2a1．（Ⅱ）由（I）得f(x)1x3ax2(2a1)x，3故f'(x)x22ax2a1(x1)(x2a1)，令f'(x)0，则x1或x12a，①当a1时，12a1，当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表：x(,12a)(2a,1)(1)f'(x)-f(x)单一递增单一递减单一递增由此得，函数f(x)的单一增区间为(,12a)和(1,)，单一减区间为(12a,1)．②由a1时，12a1，此时，f'(x)0恒成立，且仅在x1处f'(x)0，故函数f(x)的单一区间为R；③当a1时，12a1，同理可得函数f(x)的单一增区间为(,1)和(12a,)，单一减区间为(1,12a)．综上：当a1时，函数f(x)的单一增区间为(,12a)和(1,)，单一减区间为(12a,1)；当a1时，函数f(x)的单一增区间为R；当a1时，函数f(x)的单一增区间为(,1)和(12a,)，单一减区间为(1,12a)（Ⅲ）当a1时，得f(x)1x3x23x，由f'(x)x22x30，得3xx11,x23．由（Ⅱ）得f(x)的单一增区间为(,1)和(3,)，单一减区间为(1,3)，所以函数f(x)在x11,x23处取得极值，故5),N(3,9)，M(1,8x3所以直线MN的方程为y1，3y1x3x23x由3得x33x2x308x13解得x1,x21.x33，1x11x21x335,11,，yy2y3913311所以线段MN与曲线f(x)有异于M,N的公共点(1,)．37．解析：（I）由已知,切点为2,0,故有f(2)0,即4bc30①又f(x)3x24bxc，由已知f(2)128bc5得8bc70②联立①②，解得b1,c1．所以函数的解析式为f(x)x32x2x2．（II）因为g(x)