衍射的逆运算在二元光学设计中的应用

菲涅耳衍射变换在二元光学设计中的应用李俊昌1,引言在激光应用研究中，沿着光传播方向研究光波从一个空间平面到另一个空间平面的衍射是一件十分重要的工作，并且，在许多情况下，例如二元光学设计［1］及实时全息的精确测量⑵还涉及到逆着光波传播方向的衍射逆运算问题。在标量衍射理论研究领域，沿着光波传播方向的衍射问题可以通过多种方法求解［3］，菲涅耳衍射的逆运算通过适当的数学处理后可以用傅里叶变换［4］或分数傅里叶变换［5］计算，但对于不满足菲涅耳衍射近似的逆运算问题，还未明确地建立起便于使用的表达式。因此，深入研究衍射的逆运算问题具有重要意义。理论研究表明［6］，衍射的正向及逆向运算可以采用多种方法。我们不但可以从基尔霍夫公式、瑞利-索末菲公式以及衍射的角谱理论出发，导出可以用傅里叶变换表述及使用快速傅里叶变换（FFT）运算的表达式，而且，还可以将菲涅耳衍射积分的逆运算表为与菲涅耳衍射积分非常对称的形式，建立可以用FFT计算的菲涅耳衍射变换。对上述计算方法的灵活使用，可以十分方便和有效地解决许多重要的光学计算及光学设计问题。本文简要导出菲涅耳衍射变换，并基于二元光学设计的Gerchberg-Saxton（GS）算法［7~9］，将菲涅耳衍射变换用于菲涅耳衍射区衍射元件的设计，给出设计实例。最后，简要讨论可以采用多种不同的衍射运算方法进行一般衍射元件设计的问题。2菲涅耳衍射变换按照标量衍射理论，直角坐标系中的菲涅耳衍射表述如下［3,6］：jXd U0jXd U0(X0,"0-8-8jI-x)+(y-y)Jdxdy2d 0 0I00（1）式中，j=v‘—1，k=2兀/人，人是光波长；U（x,y）为平面xy上的光波0 0 0 00场，UG,y）是经过距离d的衍射后，观测平面xy上的光波场.对上式两边作傅里叶变换并利用空域卷积定律得FU（x对上式两边作傅里叶变换并利用空域卷积定律得FU（x,y）｝=FU0（x0,y0）F］eXPjd）exp1—牛（f2+/2j,2xy=.FU0(x。,y0j(x2+y2』2d（2）式中，fx、f；是与空间坐标x、y对应的频域坐标。这样，物平面x°y0上光波场的傅里叶变换表为

处( )72+f2)2xyexp—j(x2+处( )72+f2)2xyexp—j(x2+y』;FU0G。,*)}=FU(x,y)}exp]—jkd11-="ny腥1j2上式两边作逆傅里叶变换即得到与（1）式形式十分对称的逆运算表达式U（x,y）=叫（-卿）jfv［,、项业—x）+（y-y）Idxdy000 —j人d 12d0 0J—8-8为便于下面的讨论，将（1）式表征的菲涅耳衍射定义为菲涅耳衍射正变换，用符号Fd）｛｝表示，相应地，（4）式定义为菲涅耳衍射逆变换，简写为乞｛｝，每个符号的下标d为菲涅耳衍射距离。于是菲涅耳衍射变换对可以简单地表为：UG,y)=F(d)U000,yj}U0G0,y0)=F*U(x,y)}由于上述正变换及逆变换均表为卷积形式，按照线性系统理论［1。］，作适当的离散处理后就能通过FFT进行卷积的快速计算求解。另外，如果将（1）（4）两式写为:U(x,y)=exjXdexpjk2d(3)(4)（5）（6）jjU(x,y)expf£x2]exp—j2兀[吉x+gy1dxdy000 0d0)」|_ 0d0Xd0)」00—8—8TJ( )exp(-jkd) fjk](8)U0(x0,V'K^叫成吁)(8)jjUG,y)exp当x2expjjUG,y)exp当x2expVXd )VXd0Xd0)—8—8两积分式则形成文献［4］从另一种途径导出的可用傅里叶变换及反变换计算的表达式，进行合理的离散处理后［11］，也可以用FFT作直接快速计算。菲涅耳衍射变换的建立为许多实际应用提供了方便，例如，将菲涅耳衍射变换用于衍射元件设计的GS算法，可以方便地进行菲涅耳衍射区衍射元件的设计。3菲涅耳衍射变换在二元光学设计中的应用在光束整形的应用研究中，通常期望光波通过二元光学系统后成为一个给定强度分布并沿某预定方向传播的平行光。这种既变换振幅又变换波面的二元光学系统通常可以由两个二元光学元件组成［1］，图1为所研究问题的示意图，图中，平面x0y0上的第一个元件作振幅变换，使到达xy平面的第二个元件表

面的光波强度分布满足设计要求；第二个元件则作波面整形，使透过元件的光波成为沿光轴传播的平面波。以下通过菲涅耳衍射变换讨论光学元件的设计问题。设第一个元件的复振幅变换函数为rG,y），复振幅为"G,y）的光束0 0 0 i0 0自左向右传播，期望通过距离d的传播到达xy平面时形成复振幅为UG,y）的光波场。根据图1有（9）UG,y)=FU(x,y)TG,（9）(d)i0 0 0 0 0图1二元光学元件及坐标定义Fig.1Binaryopticsandthedefinitionsofcoordinates对（9）式两边作菲涅耳衍射逆变换后容易得到（）F-1UG,y）｝（10）r0（x0,y0）=U（x,（10）TOC\o"1-5"\h\zi0 0令rA（x0y0）、P0（气y0）以及expN（气y0）］分别为二元光学元件的振幅透过率、光瞳及位相变换因子［6］，可将该元件的复振幅透过函数表为（11）T（x,y）=T（x,y）p（x,y）exp［升（x,y（11）0 0 0A0 0 0 0 0 0 0于是得到（12）p(x,y)exp【M,y也-^（12）000 00TG,yUG,y)A0 0i0 0由于光瞳内P0(粉y0)=1是实函数，理想的纯位相型元件应满足(13)T(x,y)=1(13)给定入射到元件表面的光波场U（x0,y0）及期望通过光学系统形成的光波场强度分布I（x,y）后，二元光学元件的设计主要任务是求出满足制作工艺要求的位相变换因子，由于第二个光学元件的设计比较简单，以下主要对第一个元件的设计作讨论。基于GS算法［7~9］，现提出一种用菲涅耳衍射变换进行上述衍射元件设计的

方法。令Q(x,y)^0〜2兀间满足给定约束条件的随机数，观测平面的初始振幅可设为(14)U"y)=|UG,y)exp(Q(x,(14)式中，UG，y) I^x,y)，约束条件是Q(x,y)所确定的波面法线方向是来自第一个元件光瞳并指向I(x,y)的非零区域的方向。二元光学元件的理论尝试解即为()F-1U(x,y)｝TOC\o"1-5"\h\zT板,y)=(d)(1 )(15)0100UVx,y(15)对上面得到的相位分布作量化处理［1,9］，得到附合光刻要求的尝试解T0100,y0):T(x,y)=T(x,y) (16)101 0 0 01 0 01例如，利用二值化掩膜处理工艺的尝试解的幅角可按下式作量化arg、§,y0)］=INT卜larg［半*孚 (17)式中L为正整数，INT｛｝表示对｛｝内的数据作取整操作。当设计完成后，L次掩膜融刻处理便能生成具有2l级不同位相调制的衍射元件［1］。将尝试解归一化，重新表出观测平面的复振幅U：(xU：(x,y)=F(d)\u(x0,y0)t4^4

T\x,y)01001(18)上式规一化并将观测平面复振幅重新设为(19)U(x,y)=U(x,y)"；/，：(19)i1 八|U；G,y)将上结果作为新的迭代计算初始值，反复进行从(二)到(五)的操作，直到获得满足误差要求或达到设定迭代次数的复振幅变化函数T01(x。,y0)。如果应用研究中只需要在xy平面形成期待的强度分布，可以不使用第二个光学元件。反之，如果期望经过xy平面后的光波变为具有期待强度分布的平面波，在上面的设计已经达到要求后，将最后一次迭代时到达观没平面的复振幅U,(x,y)作类同于(17)式的量化处理，第二个光学元件的复振幅透过函1数应满足：(20)T(x,y)=exp扁(x,y)］

(20)qG,qG,y)E*l¥｝草(21)至此，就基本完成了将光束强度分布进行变换并准直的二元光学设计。4强激光变换设计实例在材料表面激光强化的应用研究中，将光束变换为两端强中间弱的带形光斑后，在垂直于光斑长度方向作扫描处理可以获得较均匀的硬化区［6,13］，图2是这种光斑强度分布的示意图。图2光斑强度分布的理论设计。Fig.2Illustrationontheamplitudedistributionfordesignedbeam’sopticfield.根据图中所标注的参数，功率为P0的光斑的强度分布可表为I(x,I(x,y)=rectrmprect l"2b)2ab(h(22)现以获得这种形式强度分布的光束为例进行二元光学设计。（一）设计参数定义根据上面提出的设计方法，入射光波场可以任意给定，为给出数值计算实例，设入射光波场为功率P0波面半径为R的球面波，其复振幅为（23）0 0x2+y2W0 0x2+y2W2(_exp-2kw2)（24）式中，w，门为常数。选择不同的数值可以获得不同的强度分布［6,13］。令二元光学元件具有边长D的方形光瞳，实际制作时划分为NXN个方形单元，即每个单元的宽度为5/N，现利用本文的讨论进行设计。（二）设计实例设N=256,D=30mm，L=4,w=5mm，门=0.2,P°=2000W，R=500mm，d=200mm，a=10mm，b=2mm,h1/h2=0.7，将（1）（4）两式作NxN点离散处理，取样宽度为&图3b给出经过10次迭代处理后在平面xy上光斑的强度分布。为便于比较变换前后光束的强度分布，在同一标度下图3a给出入射光束的分布。经统计，落入理想光斑矩形边界内的光能占光束总能量的87.9%。(a) (b)图3入射光束(a)及变换后光束(b)的强度分布比较(图面尺寸30mmx30mm)Fig.3.Comparisonofamplitudedistributionbetweenincidentlight(a)andtransformedlight(b)(dimension:30mmx30mm)比较入射光束与变换后光束的强度分布可以看出，变换后光束具有整齐的矩形边界，对于准确控制激光热作用区十分有利，然而，光斑局部均匀度并不好，没有理想的平滑过度，还有待于作进一步优化设计处理。尽管如此，设计实例对菲涅耳衍射变换用于菲涅耳衍射区二元光学设计的可行性给出了可靠的证明，并且，利用激光热处理温度场快速计算理论［6,14］容易证明，所得的设计结果已经能够满足金属材料激光热处理的需要。例如，某金属材料的热物性参数为［13］：导热系数0.04W/Kmm，热扩散系数10mm2/s，金属材料表面吸收系数0.8。若激光功率为2000W，令变换后光束沿垂直于光斑长度方向以速率5mm/s扫描金属材料表面，观测时刻是激光作用后2秒，利用瞬态温度场的快速计算方法并选择材料迅速加热时的奥氏体化温度为760。［13］，求得垂直于光束扫描方向的相变硬化带剖面尺寸如图4a；热处理过程中该硬化区达到的最高温度示于图4b(图中最上面一条曲线对应于z=0的材料表面，往下是深度间隔每增加Az=0.24mm后的曲线)。研究图4a可以看出，我们得到了宽度约19mm，厚度接近1mm的比较均匀的硬化带；而图4b表明，光斑的局部不均匀性对热作用结果的影响可以忽略不计，因为只有在z=0的表面温度曲线上看到光束强度的局部非平滑过度带来的微弱影响，由于热扩散效应，在表面以下0.24mm的温度曲线已经完全平滑化。15DUc(a) (b)图4相变硬化带模拟(a)及热处理过程中该硬化区达到的最高温度模拟(b)。Fig.4.Simulatedhardenzone(a),andthemaximumtemperatureduringannealinginthehardenzone(b).5讨论

由于菲涅耳衍射变换可以通过FFT快速计算，作为菲涅耳衍射变换的一种应用，我们基于GS算法，提出了在菲涅耳衍射区纯位相型衍射元件的快速设计方法，并简单地给出了一个设计实例。应该指出，由于设计只采用位相自由度，较难达到十分满意的设计目标，可以证明，如果在设计中增加振幅自由度，通过为数不多的迭代计算就能较好地达到要求，但这种设计通常会使衍射效率下降［9］，对于具有热效应的强激光而言，过多的衍射效率下降将引入对衍射元件的冷却问题，因此，纯位相型元件设计方法的研究有重要意义。如果期望对设计结果作进一步优化，改善变换后光束的局部强度分布均匀性，可以将设计结果作为YG算法［9］的叠代初始值［1］，再通过YG算法获得较好的结果。但对于金属材料激光表面处理这一类应用而言，进一步优化并不十分必要。菲涅耳衍射变换的表达式比较简单，本文只对菲涅耳衍射的逆运算作了必要的推导。事实上，从基尔霍夫公式、瑞利一索末菲公式以及角谱理论出发，不但可以实现衍射的逆运算，而且这几个衍射计算公式及其逆运算均可以利用FFT进行快速计算［6］。从严格的理论意义而言，基尔霍夫公式、瑞利一索末菲公式以及角谱理论是衍射问题的更准确的描述［3］，根据本文的讨论，将相应的表达式用于GS算法中，将能形成以不同的衍射计算公式为基础的二元光学设计方法，获得更好的理论设计结果。例如，沿用本文所采用的坐标及各参数定义，并注意到衍射平面与观测平面间的坐标关系x0=x,片斗，光传播空间中两平面光波场间的相互运算可以表为下述不同形式。(一)根据衍射的角谱理论可得：U(x,y)=F-1<F"yT。(x,y)}exp［jk"-(f)-(Q］}.(x,yTG,y)=F-i<FU(x,y)}exp[一jkz^1-(f)_kf(二)根据基尔霍夫公式可得：UG,y)=F-1F-UG,yTG,y)鬲f,f)}i 0 Jxyu,G,y)toG,y)=穿」：f)[jj,其中，hf,f)=」ej2±x2±2pZ2T^+zJxyIj2人Y2+x2+y2/根据瑞利一索末菲公式可得：UG,y)=歹-1F-UG,yTG,y)Hf,f)}i 0 RxyU(x,U(x,yTG,y)=其中，气(fx,fy)=F参照本文3的讨论，可以将以上几组不同的表达式用于衍射元件的设计。实际计算表明，当所计算的问题是在菲涅耳衍射区时，使用以上诸式所得的结果与使用菲涅耳衍射变换设计的结果没有本质区别，但计算量各不相同［61因此，根据实际设计问题的需要，通过不同衍射计算公式的合理选择，可以较好地完成设计任务。参考文献：1金国藩，严英白，邬敏贤等著，二元光学，国防工业出版社，1998：238〜241。JunchangLi,BinghengXiong,LiyunZhong,XiaoxuLu,“InverseCalculationofDiffractionanditsApplicationtotheReal-timeHolographicInterferometry”，ProceedingsoftheSPIE,2000,Vol,4659.pp.284-290.PracticalHolographyXVI,partofIS&T/SPIE’sElectronicImaging2002,Jan.,SanJose,CA,USAJ.W.Goodman,“IntroductiontoFourierOptics”，McGraw-Hill,NewYork,1988,p90-94.4王润文叶超，衍射光学元件的解析方分析法，光学学报，Vol.15,No.12,December,1996:P1607-1612.5孙添资董智丽，利用分数傅里叶变换设计衍射光学元件，量子电子学报，Vol.17,No.4,Aug.,2000:P369-372.6李俊昌著，激光的衍射及热作用计算，科学出版社，2002：159~160R.W.Gerchberg,W.O.Saxton,Apracticalalgorithmforthedeterminationofthephasefromimageanddiffractionplanep