数学（江苏专用理科提高版）大一轮复习自主学习第75课矩阵的运算

第75课矩阵的运算【自主学习】第75课矩阵的运算(本课时对应同学用书第193~195页)自主学习回归教材1.(选修42P83复习题1(5)改编)矩阵A=，矩阵B=，计算AB.【解答】AB==.2.(选修42P65习题6改编)二阶矩阵X满意X=，求二阶矩阵X.【解答】设二阶矩阵X=，那么=，所以解得所以二阶矩阵X=.3.(选修42P65习题6改编)矩阵A=，B=，满意AX=B，求矩阵X.【解答】设X=，由=，得解得所以X=.4.(选修42P58例6改编)矩阵A=，求逆矩阵A1.【解答】由于|A|==2×21=3≠0，所以A1==.5.(选修42P57例5改编)用逆矩阵学问解方程组【解答】由于所以设X=，A=，B=，那么AX=B，且A1=，所以X=A1B==，所以1.矩阵乘法的运算法那么是=.2.矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换(先TN后TM)的复合变换.留意变换的先后挨次，不能随便交换.如A=，B=，计算AB，BA，并推断AB与BA是否相等.AB==，BA==，所以AB与BA不相等.3.矩阵乘法满意结合律，但不满意交换律和消去律.如计算：(1)X=；(2)X=.(1)【解答】X===.(2)【解答】X===.4.对于二阶矩阵A，B，假设有AB=BA=E，那么称A是可逆的，B称为A的逆矩阵.从几何变换的角度可以看出，逆矩阵实际上就是对应着原先变换的逆变换.假设B为A的逆矩阵，那么A是B的逆矩阵，并且假设逆矩阵存在，那么肯定是唯一的.并不是全部矩阵都有逆矩阵，事实上，矩阵可逆当且仅当其对应的行列式不等于零.5.假设二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，那么AB也存在逆矩阵，且(AB)1=B1A1，这个结论可以推广到多个的情形，假设A，B，C均可逆，那么(ABC)1=C1B1A1.6.A，B，C均为二阶矩阵，且AB=AC，假设矩阵A存在逆矩阵，那么B=C.【要点导学】要点导学各个击破矩阵的乘法例1设A=，B=，假设AB=BA，求实数k的值.【思维引导】一般矩阵相乘都是不行交换的，能相互交换次序的矩阵必需具备特别的形式.为解决这个问题，不妨设B是与A可交换的矩阵，可将其形式设出来，利用AB=BA，求出需待定的参数.【解答】由于AB=，BA=，由AB=BA，得k=3.【精要点评】娴熟把握二阶矩阵乘法的运算法那么是进行矩阵乘法的关键，需要指出的是，一般地，不肯定有AB=BA成立.矩阵乘法的几何意义是矩阵所对应的变换的复合，同样两个变换的复合在一般情形之下是不行以交换的.例2△ABC的顶点坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(2，1)，对它先作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°.(1)分别求两次变换所对应的矩阵M1，M2；(2)求点A，C在两次连续的变换作用下所得到的点A'，C'所在直线的方程.【解答】(1)M1=，M2=.(2)令M=M2M1==，所以M==，M==.故点A，C在两次连续的变换作用下所得到的点A'，C'的坐标分别是(0，1)，(1，2)，所以A'，C'所在直线的方程是y=3x1.变式(2014·江苏模拟)矩阵A=，B=，假设矩阵AB对应的变换把直线l：x+y2=0变为直线l'，求直线l'的方程.【解答】AB==.在直线l上任取一点P(x'，y')，经矩阵AB对应的变换变为点Q(x，y)，那么==，所以即代入x'+y'2=0，得xy+2=0，所以直线l'的方程为4x+y8=0.求逆矩阵例3(2014·苏州暑假调查)矩阵A=，B=，求矩阵A1B.【思维引导】利用待定系数的方法或公式法求出矩阵A的逆矩阵，再求出矩阵A1B.【解答】设矩阵A的逆矩阵为，那么=，即=，故a=，b=0，c=0，d=1，从而A1=，所以A1B==.【精要点评】求逆矩阵常见的方法：(1)用待定系数法求逆矩阵：设A是一个二阶可逆矩阵，AB=BA=E；(2)公式法：=adbc，记为det(A)，有A1=，当且仅当det(A)=adbc≠0时成立；(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵；(4)(AB)1=B1A1.变式(2015·南通期末)矩阵M=的逆矩阵M1=，求实数m，n的值.【解答】由MM1===，所以解得例4(2015·福建卷)矩阵A=，B=.(1)求矩阵A的逆矩阵A1；(2)求矩阵C，使得AC=B.【解答】(1)由于|A|=2×31×4=2，所以A1==.(2)由AC=B得(A1A)C=A1B，故C=A1B==.解方程组例5用矩阵方法求二元一次方程组的解.【思维引导】用矩阵方法解方程组首先将方程组表示成AX=B，然后两边左，乘矩阵A的逆矩阵A1即可求解.【解答】方程组可以写成=.令M=，其行列式=3×13×(2)=9≠0，所以M1=，所以=M1==.【精要点评】一般地，方程组可以表示成=，简写成AX=B，A1AX=A1BX=A1B.变式(2014·江苏模拟)(1)求矩阵A=的逆矩阵；(2)利用逆矩阵学问解方程组【解答】(1)设逆矩阵为A1=，那么由=，得解得所以A1=.(2)X==A1B==，即1.矩阵的逆矩阵为.【答案】2.设M=，利用逆矩阵求矩阵M.【解答】由题设知的逆矩阵为，从而M=·=.3.假设=，求实数a，b，c，d的值.【解答】由于=，所以=，故解得a=1，b=4，c=d=1.4.(2015·无锡期末)矩阵M=.(1)求矩阵M的逆矩阵M1；(2)求直线y=2x在矩阵M1对应的变换作用下的曲线方程.【解答】(1)由于M=，所以M1=.(2)设点P(x，y)是曲线y=2x上任意一点，在矩阵M1对应的变换作用下得到点Q(x'，y')，那么==，所以即由于点P在直线y=2x上，于是2y'=2×x'，所以2y'=x'，即直线y=2x在矩阵M1对应的变换作用下的曲线方程为y=x.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成?配套检测与评估?中的练习第149~150页.【检测与评估】第75课矩阵的运算1．求矩阵A=的逆矩阵A1．2．矩阵A=，B=，求矩阵A1B.3．矩阵A的逆矩阵A1=，求矩阵A.4．矩阵A=，B=.(1)求矩阵A的逆矩阵A1；(2)求直线x+y1=0在矩阵A1B对应的变换作用下得到的直线方程.5．(2015·泰州二模)矩阵A=，矩阵B=，直线l1：xy+4=0在矩阵A对应的变换作用下得到直线l2，直线l2又在矩阵B对应的变换作用下得到直线l3：x+y+4=0.(1)求a，b的值；(2)求直线l2的方程.6．矩阵A=，B=，向量α=，x，y为实数.假设Aα=Bα，求x+y的值.7．(2015·泰州期末)矩阵A=，B=，假设矩阵AB1对应的变换把直线l变为直线l'：x+y2=0，求直线l的方程.8．矩阵A=，向量β=，求向量α，使得A2α=β.【检测与评估答案】第75课矩阵的运算1．设A1=，那么=，即=，所以解得所以A1=.2．设矩阵A的逆矩阵为，那么=，即=，故a=1，b=0，c=0，d=，从而A的逆矩阵A1=，所以A1B==.3．设A=，那么由AA1=E，得=，解得所以A=.4．(1)设A1=，那么=，解得a=3，b=1，c=2，d=1，所以A1=.(2)A1B=.设直线上任意一点为P(x0，y0)，变换后的点为P'(x0'，y0')，那么=，所以即所以x0'+3y0'y0'1=0，即x0'+2y0'1=0，故所求直线方程为x+2y1=0.5．(1)BA==.设P(x，y)是l1上的任意一点，其在BA作用下对应的点为(x'，y')，所以=，即又(x'，y')在直线l3上，所以2ax+by+4=0，即为直线l1：xy+4=0，所以a=，b=1．(2)由(1)知B=，同理可得直线l2的方程为2yx+4=0，即x2y4=0.6．由得Aα==，Bα==.由于Aα=Bα，所以=，故解得所以x