高数课件同济版上下册

1第三节格林公式及其应用

小结作业格林(Green)公式平面上曲线积分与路径无关的条件二元函数的全微分求积格林Green.G.(1793—1841)

英国数学家、物理学家第十章曲线积分与曲面积分21.区域连通性的分类

设D为平面区域,复连通区域单连通区域一、格林公式否则称为则称D为平面复连通区域.成的部分都属于D,如果D内任一闭曲线所围单连通区域,格林公式及其应用3格林定理(定理1)设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,在D上具有一阶连续偏导数,则有2.

格林公式公式(1)称其中L是D的取正向的边界曲线.格林公式.格林公式及其应用4当观察者沿边界行走时,(1)

P、Q在闭区域D上一阶偏导数的连续性;(2)曲线L是封闭的,并且取正向.注规定边界曲线L的正向区域D总在他的左边.格林公式及其应用5(1)先对简单区域证明:证明若区域D既是又是即平行于坐标轴的直线和L至多交于两点.格林公式及其应用6同理可证格林公式及其应用7(2)再对一般区域证明:积分区域的可加性

若区域D由按段光(如图)将D分成三个既是又是的区域格林公式及其应用滑的闭曲线围成.8格林公式及其应用9(3)

对复连通区域证明:由(2)知

若区域不止由一条闭曲线添加直线段则D的边界曲线由及构成.格林公式及其应用所围成.对复连通区域D,格林公式且边界的方向对区的曲线积分,右端应包括沿区域D的全部边界域D来说都是正向.GFCEAB10

便于记忆形式:格林公式的实质之间的联系.沟通了沿闭曲线的积分与二重积分格林公式及其应用11(1)计算平面面积3.简单应用格林公式得闭区域D的面积格林公式及其应用12

例

求椭圆解由公式得D所围成的面积.格林公式及其应用13(2)简化曲线积分格林公式及其应用对平面闭曲线上的对坐标曲线积分,比较简单时,常常考虑通过格林公式化为二重积分来计算.14例

计算分析但由可知非常简单.其中AO是从点⌒的上半圆周到点此积分路径⌒不是闭曲线!格林公式及其应用15为应用格林公式再补充一段曲线,因在补充的曲线上还要算曲线积分,补充的曲线要简单,使之构成闭曲线.所以因而这里补加直线段直线段.通常是补充与坐标轴平行的L不闭合+边L＊,使L+L＊闭合,再用格林公式.格林公式及其应用由格林公式解的方程为故所以,16(3)

简化二重积分则解令例为顶点的三角形闭区域.格林公式格林公式及其应用17解记L所围成的闭区域为D,其中L为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.例令有格林公式及其应用18即L为不包围原点的任一闭曲线.即L为包围原点在内的任一闭曲线.由格林公式应用由格林公式,得作位于D内圆周格林公式及其应用19注意格林公式的条件∴格林公式及其应用其中l的方向取逆时针方向20B如果在区域G内有二、平面上曲线积分与路径无关的条件AL1L21.平面上曲线积分与路径无关的定义否则与路径有关.格林公式及其应用则称曲线积分在G内与路径无关,21定理2设区域G是一个单连通域,在G内恒成立.函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则曲线积分在G内与路径无关(或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充要条件是2.平面上曲线积分与路径无关的条件格林公式及其应用两条件缺一不可22三、二元函数的全微分求积考虑表达式如果存在一个函数使得则称并将全微分式,为一原函数.格林公式及其应用23

由例可知:都是分别是上面的原函数.全微分式.格林公式及其应用24定理3设区域G是一个单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则

下面说明一般怎样在G内恒成立.格林公式及其应用在G内为某一函数的全微分的充要条件是等式求原函数判断全微分式25必要性.

由设P、Q的偏导数连续,因而即设存在某一函数证于是连续.所以使得格林公式及其应用26充分性.设已知条件由定理2可知:当起点M0(x0,y0)固定时,格林公式及其应用在G内恒成立.则于是把曲线积分写作:上述积分x,y的函数,

记为即曲线积分在区域G内与路径无关.M(x,y).起点为M0(x0,y0),终点为M(x,y)的此积分的值取决于终点27

下面证明函数u(x,y)的全微分就是:因为P(x,y),Q(x,y)都是因此只要证明(1)偏导数定义,(3)积分中值定理.(2)曲线积分与路径无关,其中用到下面的知识点:格林公式及其应用连续的.28D(x0,y1)或则格林公式及其应用29例问是否为全微分式?用曲线积分求其一个原函数.如是,解在全平面成立所以上式是全微分式.因而一个原函数是：全平面为单连通域，格林公式及其应用法一(x,y)30这个原函数也可用下法“分组”凑出:格林公式及其应用法二31因为函数u满足故从而所以,问是否为全微分式?用曲线积分求其一个原函数.如是,由此得y的待定函数格林公式及其应用法三32解原式=原积分与路径无关.例格林公式及其应用33格林公式及其应用2002研究生考题(数学一)8分内具有一阶连续导数,L是上半平面(y>0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(a,b),终点为(c,d).记(1)证明曲线积分I与路径L无关;(2)当ab=cd时,求I的值.练习证因为所以在上半平面内曲线积分I与路径L无关.(1)34格林公式及其应用解(2)由于曲线积分I与路径L无关,L是上半平面(y>0)内的有向分段光滑曲线,起点(a,b),终点(c,d).所以(2)当ab=cd时,求I的值.35格林公式格林公式及其应用四、小结单(复)连通区域的概念

格林公式的三个应用格林公式的实质的联系.沟通