全国名校真题模拟训练

全国名校真题模拟专题训练

数列与数学归纳法

三、解答题（二）

»）在（-U）上有意义,-1,

51、（广东省四校联合体第一次联考）已知函数且

…+/(>)=/(h).

任意的X、yw(-l，D都有1+D

2x

{X*}满足占=；,勺+1=x伽山皮⑺.

（1）若数列2

1+心+■/(4)…+/(2:尸〃工)

⑵求511«+3«+1〃+2的值.

2元

.•・1+€之2|4|•区1又看=5

解:⑴1+4

I2V..|<1/(^)=/(1)=-1

1+大

r\.

/(x*+i)=/(—^7)=-与=/(X*)+/(x,)=2/(xJ.

而1+/1+/、

—)_?

，(勺)—.­,{_/(%))是以-1为首项以2为公比的等比数列，故/(/)=-2"]

/(0)+/(0)=/(粤=/(0)由⑼=0

⑵由题设，有i+o

xe(-U),</(x)+/(-x)=八口)=/(0)=0,

又一

得〃F=-/⑶,故知/⑶在(-LD上为奇函数.由

[11

_(:+1)(左+2)_

11"-i'i

-Z------------=-----------------------1--------------------1_-------------------

/+3^+1(尢+1)«+2)-1/+1)«+2)伏+DW+2)

得〃』1)"4)+八-占=/岛)-，晨)

于是£«"』+13左+1)="寸1一/1(7+2)=7-^(«712)

/+£)+〃储"(号京+，&)=。

52、(广东省五校2008年高三上期末联考)已知数列&｝的前n项和吊满

足：'(a为常数，且。.。，。.^.(口求但力的通项公式；

b

(H)设“%，若数列@J为等比数歹”,求a的值;

11

4=----+-----

(III)在满足条件(II)的情形下，设1+41-4”,数列G)的前n项和为Tn

r>2n--

求证：3

解：(1。耳=三@一"...4=。，

a

当心2时，&=40-&0-广a口a-口3'

&-=a*1*

*，即⑷是等比数列..•3=0产=〃；................4分

23T3*-1)0H2a

D=-------------F1=-----------------------

(H)由(I)知，n""("D，若SJ为等比数列，

,,3a+2,3『+2a+2

则有与=她,而仄=地=-A=

2

,3a+2X2o3a+2a+21

(-----Y=3------3----a=-

故。。，解得3,.........................7分

再将”=?代入得”=于成立，

所以3..........................................................8分

113a3"1

%=d）*G1+（3*+1-d产3*+1+3*“-1

（HI）证明:由（H）知3，所以33

_3f3g1+1…1.A:

3*+13"+1-13*+13*+1-1

=2-（1-1）

一由严彳......................................9分

上」--L--^<1—L

由3*+［3*'3*+1-1严得3*+13*+1-13*F，

所以〃=2一捻-焉）>2-0-煮）................微分

+U…+华2-（；-£）］+［2-（$$）］+7-@-我）］

=2刀_［（；一f+（今一/）+…+/_/）］

=2落-0-白）>2附一；

Tx>2n--

即3........................14分

53、（贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考）数列

中,的=2产+1=%+6（£：是常数产=123「）且苗，％。3成公比不为1的等比

数列。

⑴求c的值；

（II）求同的通项公式。

（111）（理做文不做）由数列1%）中的第1、3、9、27.....项构成一个新的数列{2},

Inn.

求I"0”的值。

解:⑴4=2,劭=2+c=2+3"因为右，内,见成等比数列,

所以（2+C）：2（2+3c），解得c=0或c=2.

当。二0时,%=囱=%，不符合题意舍去，故。=2....理4分（文6分）

（||）当附＞2时，由于a广生=2。，….

Iczv、、n（n—V）

r1、生一巧1=1［1+2+・・・+（/-1）］匕=------c

/一生一】=（"1）"所以"20

又/=25=2,故％=2+〃。-1）=/_"26=2,"）.当2］时,上式也成立，

所以4=7-匕+2（%=12…）……理8分（文12分）

lim也

（lll）bn=32n-2_3n-1+2,二…"=9.....理12分

54、（安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检）已知数列1%）

%=1,4%+1=（；）”，八犷）

中，2

⑴求证:数列供J与他*-1）册M）都是等比数列；（2）求数列SJ前2〃的和

（3）若数列以）前加的和为弓，不等式6%%对阀eM恒成立，求

k的最大值。

4+2_1

"

廿*+L=（不）-、

解:⑴：2,•••%*22分

1

..数列为，%，…,如口…是以1为首项,5为公比的等比数列;

11

数列叼，4,….与*，…是以5为首项,5为公比的等比数列。4分

=（/+饱十…十a2*』）+（a2+4十…+町*）=-----彳一+?------—

1--1--

⑵22

=3-3.4)*

29分

646外«3(1-MJO64[3-3d)"]4)"«3-斐(》02"+)之64+左

⑶2222

’6当且仅当为=3时取等号，所以64+上46,即上EY8,../的最大值为

-48

55、（河北衡水中学2008年第四次调考）已知等差数列口」的公差大于0,且

是方程/一Mx+45=0的两根，数列做）的前n项的和为邑，且

S=1--b

*2x

（1）?求数列口」，.）的通项公式；

⑵记4="”也，求证:Wc*.

解：（I）：现比是方程―一I©+45=0的两根，且数列SJ的公差d>0,

4="生=2.

...<23=5,由=9,公差5-3

.a,=<a+(«-5)d=2«-1.

3...........3分

又当n=l时，有bi=Si=l-23

[b

«之2时，有与=.一口=-(%-4U产=如1N2).

当2如3

,_2_1

瓦=­、q=­•

•・・数列｛bn｝是等比数列，33

9

4=4广"

,5.......6分

2(2«-1)2(2万+1)

c*=a*bL*=-Q.]=~

(H)由(I)知339分

2(2n+1)2(2«-l)8(1一福)

.4+1-4=-----------------=■3„+1£。

.,.4+i,c”......................................12分

56、(河北省正定中学高2008届一模)设数列｛a〃｝的各项都是正数，且对任意

〃6便,都有一十尺+■+...+*=/，记s〃为数列｛a〃｝的前n项和.

(1)求数列｛a〃｝的通项公式；

(2)若以=于+(-1广1九2’(2为非零常数,〃eN+),问是否存在整数入，使得对任

意都有bn+、>/

解团)在已知式中，当〃=1时

3]>0..刃=1..............................................................................................1分

当n>2时白；+帚+白：+…①

ai+a2+a3+・・・+。：_1=S；_]②

①-②得,3=S:一喋k⑸一Z-J电+3-J

-：an>0.•?«==+S*』=2Sn-an

■.ai=l适合上式.....................3分.

a1

当心2时，«-=2Sn-i-an-i④

22

③一④得*-，-1=2(Sn-Sn-l)-3n+3n-l=23n-3n+3n-l=3n+3n-l

'.Hn+Sn-l>0..Hn-Hn-l=1

，数列｛an｝是等差数列,首项为1，公差为1，可得an=n......................5分

(ax=n=3*十(-1)内2，2。=3黑+(-1)”/，2，

九+i_A=[3"1+(—1)*12*"]_[3"+(—1)以2*]

=23*-3N(-l)i.2*>0

(一1严4<(最严

2⑤.......................................................................................7分

当〃=2攵-1,攵=1,2,3,……时，⑤式即为2⑥

依题意，⑥式对k=l,2,3……都成立,.•.入<1........................9分

当n=2k,k=l,2,3,…时，⑤式即为2⑦

依题意，⑦式对k=l,2,3,……都成立，

,3

A>——

.­.2...........................................................1

1分

一己〈Zvi,又2治0

•2

・•.存在整数入=-1，使得对任意neN,都有bn+i>bn.....................12

分

57、已知数列的前万项和为工，对一切正整数万，点只3方”)都在函数

/(x)=?+2z的图像上,且过点2(%应)的切线的斜率为♦.

(1)求数列(％)的通项公式.

(2)若为=2"%，求数列的前"项和备.

闭设0=仲=*"犷)''=仲=2即”犷)，等差数列G)的任一项

%e°cR，其中5是QCR中的最小数,110<%()<115，求｛cj的通项公式.

解:⑴；点只㈤S*)都在函数〃x)=,+2x的图像上,:凡=/+2吟e"),

当n>2时,%='「凡-1=2阀+1.

当n=l时,勺=4=3满足上式，所以数列［4｝的通项公式为4=2*+1.……3

分

(2)由/㈤=求导可得/(x)=2x+2

"过点巴(”方0的切线的斜率为幻，匕=2抬+2.

/.bx=24q=4.（2%+1）.4*

233

：.Tn=4x3x4+4x5x4+4x7x4+■■+4x（2«+1）x4*①

由①x4,得

4Ta=4x3x4?+4x5x43+4x7x44+-+4x（2%+1）x4*+1②

①-②得：

-3]=4[3乂4+2x（4?+43+.•.+4*）-（2%+1）乂4**[

4tl-4”】）,

=43x4+2x;力--⑵+1）x4*+]

-T=盟口⑷+2一"

-99

7分

•."C=（x|x=2%+2,〃eM）,火=口k=4n+2,ne2T）Qr\R=R

ID）,・

又e°c式,其中G]是Qc《中的最小数,：4=6.

**）是公差是4的倍数,',=4加+6（we.

110<4m+6<115

1/110<c<115mwN

v10，解得m=27.

所以％=114,

11^=12

设等差数列的公差为d,则10-19

C*=6+5+1）X12=12M-6,所以匕｝的通项公式为q=12%-6..............12

分

58、（河北省正定中学2008年高三第五次月考）已知$•是数列的前八项

_3

和,乌=5'四，且S.「3g+2Su+l=0淇中*2,”犷.

⑴求数列㈤｝的通项公式火；

(2)(理科)计算a0°4的值.(文科)求..

解:①S・*「3s.+2sz+1=。=4+1-S.=2(S._SQ-1

=＞&&=2a.-lS之2)_______2分

_3

又“12，生也满足上式,：.4+1=2%_]伽€2‘)o_]=2(4—1)(冏€咒.)

••数列是公比为2,首项为“"二'的等比数列------4分

②S.F+3…+%=（2-/1卜（2。+＞（2"）+.+（21+1）

②,=4+4++4

=（2-1+1）+（2°+1）+（21+1）+...+（2,H2+1）

2*-1

=（2-1+2°+21+...25!-3）+W=^~+N小八、

I/2-------------（9分）

.t__L

lim—-=lim2T1=lim--J=2

1T-2.74-212

a*—+--

于是22"-----------（12分）

59、（河南省开封市2008届高三年级第一次质量检）函数/㈤对任意xeR都有

f（x）+f（l-x）=.

/4w（-）+/（—）（«€

⑴求2n»的值；

4｝满是＜.=〃o）+/d）+〃2）+…+/（匕1）+〃1）,求数歹也4）

（2）数列«««的通项

公式。

4=--—芯=B；+8；+6；+••,+8；,S*=32-—

⑶令4%-1附试比较Tn与Sn的大小。

z=1^)/(-)=-

解:⑴令224

1ZB通/1、1、1,,1、C/M-1、

牙=_即一)+/(I—-)=三=/(-)+/(-)

令力为n2)2n

1力一1

a,=/(0)+/(-)+-+/(—)+/(1)

(2)«n

«„=/(1)+/(-)+-+/(-)+/(0)

又MX，两式相加

1〃一1

2%=L/(0)+/(i)]+LA—)+/(——)]+-..+[/(i)+/(o)]

nn

n+1

~2~

n+1,、…

a*=Ge^*)

<3x+i-ax=故数歹ij{a*}

4是等差数列

⑶'”卷4

11

4=8；+8：+•••+/?；=16(1++~2+…+-2416[1T-----+------n(n-1))

1x22x3

=16[l+0-；)+§_$+.・・+(.1

--)]

n-\n

16(2-1)

n

=32-—=^

n

TMS.

60、已知数列t』中供二三%=5,其前门项和为满足

g+S1=2S1+2*-1(«＞3)

(1)试求数列｛4｝的通项公式.

2*-i

4='7"是数列9")的前n项和，证明:禽〈飞

⑵令

we0,

(3)证明:对任意的I6，均存在使得⑵中的北＞山成立.

解：(1)由2+Si=2$1+21伽2引得S*-J*』=S--S-+2i523)

,•@二s*-s*_】：.%=%_]+2'T力>3)即4一4.1=2,1(n>3)

乂劭—巧=5—3=2。>2)%—%_i=2"-1(4>2)

a*=(4-4-J+(%-i-%-2)十…十(%一％)+/

2»-1+2»-2+2»-3_(..>>+21+3=2(1^?2)+3=2)1_)_1

1-2

故数列tJ的通项公式为4=2"+1

(4分)

7*_2_1____1__

"1132"+1+1

⑶证明：由(2)可知

111l-6w1

+1冽---->—；—

若看＞.，则得从32,+1，化简得32«++1

142

•/me(0,-)/.1-6w>0.12X+1>-------1..n>log/-------1)-1

6l-6wl-6m

21

log2(--------1)—1<10<W<一时,取?=唧可

当1-6初，即15......................(10分)

211

log2(--------1)—1>1即一Wm<一时，贝U

当1-6加，即156

记J--1”的整数部分为s«-s+i

1-6附，取。即可，

172€（0,—）入T1、

综上可知，对任意的6均存在使得时（2）中的乙>也成立（［2分）

J（z）=~J^+~

61、（黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试）已知Vx数列

（%）的前n项和为$■，点"外+1在曲线了=/（力上缶e"）且

勺=1,%>0

（1）求数列SJ的通项公式；

4=与+161-84一3

（2）数列的前n项和为且看满足%%+i，设定片的值使得数

列侬J是等差数列；

S*>—J4tt+]-1,%eN*

(3)求证：2

•a*.a*

（-T）~~2=1

二数列凡是等差数列,首项即公差d=4

-4=l+4(«-l)

.ax

21

怎二

•4«-3

..4>0

(«€2V*)

........(4分)

iT

a=-j===-2^-3

⑵由xW"-3即

得(4%—3)小=(An+1)7；+(An-3)(4%+1)

T%+'n1

------------=1

•4%+14M—3

.3=(4〃-3)(毒+%-1)

若也｝为等差数列，则为一1=°片=明=1

,Z>„=8»-7nGM*

1

(3)平附-3

22

.2d4冷-3n/4%-3+十1

_，4阀+1-、/4.-3

-2

号“1+?+…+%，(件1)+能-£

2

H--F(、/4t+1-、/44-3)=--1-1

>—V4«+l=1n€2^*

2...............12分

62、(黑龙江省哈尔滨三中2008年高三上期末)已知二次函数/⑶=°/+从的

图象过点(-4n,0)且/@一2衣,(附e酒

(1)求〃M的解析式；

{%}满足」-=/(工),且%=4,求数列⑸)

(2)若数列“用国的通项公式；

X______

4}，求证:Z&皿*1<2.

(3)对于(2)中的数列⑪

/(x)=—+2»x,(jreW*)

答案：(1)2

1

⑶略

63、(本题满分12分)(黑龙江省哈尔滨三中2008年高三上期末)已知

a=(cos(/x)]),8=(7(x),2sin(.x))a〃8

{aJ满足勺=；，%=/(%)(%e%)

(1)证明：°SaS*+i<l，

7V4一开

ax+i.一7巴>，

(2)证明：44

(3)设7贵数列SJ的前n项和，判断7”与—的大小，并说明理由。

答案：(1)略

⑵略

⑶4>%-3

64、(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)已知数列｛an｝的前n项和为Sn,

并且满足ai=2,nan+i=Sn+n(n+l).

(1)求数列(怎)的逋项公式；

(为数列与)的前4项和，求《.

⑵设不

解：(]产川一("1)/=%+2%%+「4=2伽22)

%=2,%=$1+2,..a3-<31=2,所以｛乐〕等差4=2%

a*2nn、23n

—=—=--T=]H—+---!■•••+---

（2）2*2*2”1'*2222*T

112«-1n

/="+…+k尹

3看=2-5+2），,7；=4一线

65、(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)已知二次函数f(x)=ax2+bx+

c的图象顶点坐标是(，-),且f(3)=2

(1)求y=f(x)的表达式,并求出f(l),f(2)的值;

(2)数列S)他)，若对任意的实数,都满足g("'"])=*+4+产"e",其

中区⑴是定义在实数集R上的一个函数，求数列(怎)的通项公式；

(3)设圆：S一％尸+S一")'=，：，若圆G,与圆G，+i外切,化,｝是各项都是正数的

11m左

等比数列，设国是前”个圆的面积之和，求

32

解:⑴4

11

因如⑶=2,所%(3-2y-±=2=a=l

24

31□

/W=(X--)Q3--=X3-3X+2/./(1)=0./(2)=0

(2)令x=+B*+l=0,x=2n2a*+8*+2*I=0,

J&=1-2川

则n,

也=2*M-2

⑶4+「&)'+(葭f=(2*+2-2*+了+(2川一2吗2=293

-+3Qx+5

•1Gi+i+q=22，G+2+q+]=22,,,g=2,“S*=

：,S*二亓0：+dH-----Fr；)=»：U+q2+g4+“.+q2(*-i)]

..1m%=lim兀]+，+“,+产i)14

1=71

2-----=一无

x-f©rx->®产）1-13

4

66、（黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末）已知数列｛an｝满足a】=5,a2=

5,an+i=an+6an-i(n>2且neN*)

(1)求出所有使数列S*+i+办*)成等比数列的'值,并说明理由；

(2)求数列SJ的通项公式；

----F—+,,,H<—(«€N).

(3)求证：,叼42

a*+i+=(1+/)[%H---axJ——=4=>不+2-6=0,04=3或2

解:⑴1+N1+4

⑵a-2)*

(3)当附=21时,

证明」_+_113--3-------+--1-----4<--

32bl+2^^1+_2?后No2A2fc21工

怎-i%3如十三.2独3・023

2

432A--2n.

=__________£____2___4<__

3北一之2北+12/3/3派

22

三二"">1）

3A-62n）>0（-

2.6-23fc122124

比cs+111444491

々劭%981982

当力=2k+1时，一十—+,,•+—<—+,,1+<—

aiaxai4+12

67、（湖北省八校高2008第二次联考）已知数列他｝，化）满足

a=2,2。・=1+4%，4=，数列也｝的前“项和为SJ・=S：.-S.

（I）求数列（"■）的通项公式;

（11）求证:小"・；

sC+H

（III）求证:当B2时，-12

解:⑴由4=%-1,得丹吟+1,代入24=1+的闻，得2（4+1）=1+（4+1昭讯+1）

_L_1=1

整理，得她+】+%—为=°,从而有如X=^-1=2-1=1

1

44丁"'

3"是首项为1,公差为1的等差数列,即“4（4分）

111

•:S=1+1+=-----+------+

⑵”2n+1w+22M

11一1+--1--+---1-

力+2n+32«2M+12y+2

11111

——4—

2M+12月+2M+12M+22月+2（，•力+1<2M+2）

（8分）

⑶,.・弁22s1・=s*-J1+%-**+…+区--4-+4>z++4+4+$

T三T三…手工,:Q=>,工=1居=L

由Q）知仇X】2］，】12

7,八1,7月+11

%=：+47+-+5+4+$列吁1氏+彳+$=万（"1）+”=~

............（14分）

68、（湖北省三校联合体高2008届2月测试）已知数列&）的首项4=1'立2=3

前〃项和为E,且£+】、号、XT分别是直线/上的点A、B、（：的横坐标，点B

2%+1

分衣所成的比为%，设&=1

%=1限（%+1）+4

O

⑴判断数列（4+D是否为等比数列，并证明你的结论；

3

4计1«

c=.=--24<1

⑵设巴以+1,证明：i。

“s*

=>%=次+1

⑴由题意得凡一凡-1........3分

々+i+1=2（%+1）

数列（/+»是以々+1=2为首项，以2为公比的等比数列。...........6

分

［则+1=2*.,4=2*-1（附eMl

⑵由4=2*-1及如=log2（。*+D+4得晨1=瓦十”

]J®T）

-2-

....8分

4.^-1

r_E_2*11

则"4%（2"-i）（2«+1-i）=^-f-^r-[

10分

§CA=(2^1-23-1)+(23-l-23-J+G3-l-24-J+-"+(2,,-l-2*+1-l)

=1-------<1

2"+1-l............12分

y=1--

69、(湖北省鄂州市2008年高考模拟)已知函数"2的图象按向量

而=(2，1)平移后便得到函数网的图象，数列⑷满足CSQ(n>2,n(N*).

a^^=—

(I)若15，数列S・)满足，求证:数列0・)是等差数列；

_3

(II)若‘一$,数列["・)中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，

若不存在，说明理由；

(IH)若1<6<2，试证明：1<%<4<2.

11。1

网=1-------+1=2--%=2-----

解：x-2+2"则％](〃、2,"(N").

(〃它2,/XN*)..•.数列次)是等差数列.

(II)由(I)知，数列是等差数歹U,首项为-12，公差为1,则其通项公式

%=7•n--4=1+-----

由凡7得2，故2n-7.

y=1-+-----丫=一^<Dy=14-----

构造函数2x-7,则（2L7）.函数2x-7在区间

q,+8）

uu上为减函数.

X<_J=l+----<1(_总一)cLX

.••当2时，2x-7，且在2上递减，故当”=3时，，取最小值4

当2时，2x-7，且在2上递减，故当•=4时取最大值4=3.故存

在.

3D先用数学归纳法证明1<肛<2，再证明明&.

①当〃=1时<2成立，

②假设〃=k时命题成立，即1<&<2,

一<一<I=2€(t~)

则当〃=々+1时,2%，《2，则1<心<2,故当〃=々+1时也成立.

综合①②有，命题对任意”(N*时成立，即1<%<2.下证"u<%.

al，-<31=2---a=2-(0.+—)<2-2LA=0

­•44V4:0•.综上所述：1<〃气<2.

【总结点评】本题集数列、向量、函数、导数、不等式于一体，充分展示了《考

试大纲》"构造有一定深度和广度的数学问题，要注重问题的多样化,体现思维的发

散性”的题目，这需要我们加强这一方面的训练，需要从多层次、多角度去思考问

题.

70、(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)把正奇数数列I2附一1)

中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：

35

7911

设》是位于这个三角形数表中从上往下数第，行，从左往右数第/个数。

（I）若a*=2007,求血力的值;

（H）已知函数/⑴的反函数"以）=『/（x>0）为,若记三角形数表中从上往下

数第4行各数的和为勾，求数歹u{/⑷）的前3项和凡。

1+2+3+-+*四辿

解:（I）•.,三角形数表中前施行共有2个数，

加伽+1）

・••第加行最后一个数应当是所给奇数列中第一2一项，即

cm（掰+1）,2■1

2—------l=?ra3+w-l

2

O

因此，使得A*=2007的“是不等式桁2+%―IN2007的最小正整数解。

-1^+8032-1+^921

由加？+加一1之2007得利*+加一2008N0-22

.加=45

2007-1981+1_M

第45行第一个数是44?+44-1+2=19812

（II）.J%）=8hSo）,“上曲痂>0）。

・••第"行最后一个数是『+%一1，且有,个数，若/+国T将看成第附行第一个数,

b=«（«2+n-1）+（-2]^^——=«3

则第〃行各数成公差为一2的等差数列，故2

凡=2+2（1］+3^-1+…%［口名=2—5+2）（工］

故212）UJ{2）。用错位相减法可求得12）。

71、（湖北省黄冈市2007年秋季高三年级期末考试）已知各项均为正数的数列

低）满足*+114+14-2*二°5e犷）且的十2是%、的等差中项

（1）求数列{%）的通项公式％.

（2）若亍，求使%+*•」成立的正整数〃的

最小值。

解.⑴■。*+1一。K+1，%—2a*=。,一（a*+］+a*）（a*+1—2%）=0,

,■,数列SJ的各项均为正数，,:4+1+%）＞°，,（%+1-2即）=°,

即%“=2%5c"）数列SJ是以2为公比的等比数列。

冬+2是%。4的等差中项出+%=2%+4

2%+84=8。］+4,..,=2,

•­•数列的通项公式为4=2"

a=a*・logi%__a

⑵由⑴及5，得4一一附,（6分）

s

s*=么+瓦+......+2?xsx=-2—2*2^—3•2^—4•2*—•••—«•2

2S,=-22-2»23-3«24------5-1）・2*—万・2*+1②

②-①得：%=2+2*+2,+2,+,,,2”—加・2*+i=（1-N）・2X+1—2

要使0+%•泮>5°成立，只需2*"-2>50成立，即2m>52/25

s*+"・2d>50成立的正整数门的最小值为5。（12分）

72、（湖北省荆门市2008届上期末）已知。>°,且aw1,数列S）的前阀项和为

aa-l-=],-.1.

用，它满足条件凡a.数列间中,4=%1g。

(1)求数列的前射项和4

(2)若对一切％eM都有4<4+i,求a的取值范围。

..。*一11.&心"一1)

解:⑴凡13°-1

1,=凡=0"

当万=1时，a-l2分

当〃>2时,%=一凡-1c2—1a-\

乐=6

4分

此时4=4Iga*.Iga*=〃a*Iga

备=d+&2+&_(a+2a‘+3。'+....+«a*)lga

6分

设“*=a+2a'+3a3++«a*

33以"一1)一小川

.(l-a)^=a+a+a++白―a-\

4=[Q_g”ga

fl-1(a-1)a-1(a—1)8分

(2)由4v8*+i=%a*lga<(«+l)a*+1Iga可得

nn

a>___,:_<_1_(%e>1,

10当a>1时，由Iga>。可得n+1n+1

n

〃+1对一切％eM都成立，;此时的解为。>110分

n

i八n>+<

2n当°<1时，由Iga<°可得

n|(«e2/),0<a<l,nn

0<a<-----,

•/n+\>阀+1对一切附eM都成立,

0<a<—

此时的解为212分

口0T*右0<4<一

由1,2可知，对一切刀都有与<4+1的&的取值范围是2或a>l.

73、(湖北省荆门市2008届上期末)设数列的前n项和为Sn=2n2,电｝为

等比数列，且“】=伉。式町一的)=如

(1)求数列SJ和eJ的通项公式；

£*=--

(2)设2，求数列匕J的前n项和40

解:⑴:当"=1时臼/=2；

,33

当花N2时，a*=5；-5M_1=2«-2(«-1)=4附一2,

故｛<2〃｝的通项公式为4=布-2,即(%)是a产2,公差d=4的等差数列.

g,则%gd==4,..q=—.

设｛小｝的通项公式为4

工/“=gi-2x占同电.)的通项公式为九=占.

故今今.........6分

⑵L

：,7；=匕1+凸+…+q=[1+3x41+5x4?+…十。附—1)4*7],

4(=[1x4+3x42+5x43+…+(2%-3)4*T+(2”1)4"]

两式相减得

123

3着=-1-2(4+4+4+•••+4+(2«-1)4*=1[(6»-5)4*+5]

T*=^[(I5«-5)4I<+5].

74、(湖北省荆州市2008届高中毕业班质量检测)已知数列以)为等差数

列,，=2，且其前10项和为65，又正项数列9J满足4="戒5£/)

⑴求数列他J的通项公式；

⑵比较“也也也的大小；

⑶求数列14)的最大项；

⑷令c*=ig%，数列9J是等比数列吗？说明理由。

65=10,+l^d

解:⑴设的公差为日，则

且勺=2,得d=l，从而。*=附+1

故V而M(3分)

⑵4=<V?二为=匕2

4==y]2=4，%=V4=>^5*-=^5=%

二力》4=&>4伊分)

⑶由⑵猜想递减，即猜想当”>2时,"母币>”+的”

(8分)

Inx

y=---(x>e)

考察函数X，当x>e时lnx>l

,1-lnx

y=——<0

Inx

故y一丁在(巴.)上是减函数，而“+123”

ln(x+2)ln(x+1)

所以K+2K+1，即“二+2<馥必+1

于是猜想正确，因此，数列｛4)的最大项是4=逝(io分)

⑷不是等比数列

由4=lg%=坨5+1)知

c*c*+2=lg(%+l)lg(«+3)<[且一一

lg(«+l)lg(«+3)lg(«4-2)a

=1----2---]32

=lg2(»+2)=