对称问题与圆锥曲线综合问题

对称问题与圆锥曲线综合问题知识要点对称问题是解析几何中的一个重要问题，主要类型有：点关于点成中心对称问题（即线段重点坐标公式的应用问题）设点，对称中心为，则点关于的对称点为点关于直线成轴对称问题由轴对称定义可知，对称轴即为两对称点连线的垂直平分线，利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程，就可以求出对称点的坐标，一般情形如下：设点关于直线的对称点为，则有可求得；特殊情形：点关于直线对称的点为；点关于直线对称的点为；若对称轴的斜率为，则可把直接代入对称轴方程求得对称点的坐标.直线关于直线轴对称问题求直线关于直线的对称直线有以下两种解法：转化为直线上的点关于直线的对称问题；转化为角相等问题（这种解法文科不予以考虑）特殊情形：直线和直线平行，则直线关于直线对称的直线也与直线平行，且到的距离等于到的距离，由两条平行线之间的距离公式即可求得.曲线关于点，曲线关于直线的中心或轴对称问题曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般转化为点的中心或轴对称（这里既可以选择特殊点，也可以选择任意点实现转化）.一般结论如下：曲线关于已知点对称的曲线方程是曲线关于已知直线的对称曲线的求法：设曲线上任意一点，点关于直线的对称点为，则与坐标满足从中解出，代入已知曲线，即应用利用坐标代换法就可以求出曲线关于直线的对称曲线的方程，若对称轴的斜率为，则可直接代入求得对称轴曲线方程.解析几何中对称问题与函数图象中的对称问题具有一致性，可以互为参照.圆锥曲线的综合问题主要体现在探究与圆锥曲线有关的定值、最值、参数范围问题.定值问题指会处理动曲线（含直线）过定点的问题以及会证明与曲线上的动点有关的定值问题.圆锥曲线中最值问题以及变量的取值范围问题的求解：一是注意题中图形的几何特征，充分考虑图形的性质；二是运用函数思想、建立目标函数、求解最值，也即是几何法与代数法两种不同的处理方法，几何法常须扣住圆锥曲线的定义并和平面几何有关的结论巧妙结合，代数法则常把有关问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用配方法、基本不等式、函数单调性或三角函数的有界性来解.经典例题例1已知椭圆的焦点，且与直线有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程.解法一：利用圆锥曲线的定义：先求得关于直线对称的点，且直线与动椭圆交点为，当为直线与椭圆的交点时（即三点共线）椭圆的长轴最短，即取，此时椭圆方程为.设直线的方程为，代入得.设，由点在椭圆上，又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式之中以代替，可得，所以直线的斜率.例4范围问题已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，点是弦的中点.若，求点的轨迹方程；求的取值范围.解：（1）①若直线//轴，则点为②设直线：，并设点的坐标分别是，则消去得（）由直线与椭圆有两个不同交点，可得由及方程（）得即由于（否则直线与椭圆无公共点），将以上方程组两式相除得，代入到方程中，整理得.综上所述，点的轨迹方程为.当直线//轴时，分别是椭圆长轴的两个端点，则点在原点处，所以；由方程（）得例5最值问题已知点分别是椭圆的左顶点和上顶点，点是线段上的任意一点，点分别是椭圆的左、右焦点，且的最大值是1，最小值是.求椭圆的方程；设椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点，求线段的长度的最小值；当线段长度取得最小值时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积是？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由.解：设，，则，，.在线段上，可以看成线段上的点到原点距离的平方，结合图形可以知道当点运动到点时取得最大，最大值为，所以的最大值为.当时，取得最小值，最小值运用等面积法可以得到的最小值为，所以的最小值为.又的最大值是1，最小值是，所以，解得，所以椭圆的方程是.直线的斜率为，显然存在，且，故可设直线的方程为，从而，由得.设，则，又由得故.当且仅当即时等号成立.时线段长度取得最小值.由（2）知，当取最小值时，此时的方程为，要使椭圆上存在点使得的面积是，只需点到直线的距离为，所以在平行于且与的距离等于的直线上.设直线的方程为，则由解得或.当时，由得，由于，故直线与椭圆有两个不同的交点.当时，由得，由于，故直线与椭圆没有交点.综上所述，当线段长度取得最小值时，在椭圆上仅存在这两个点，使得的面积是.例6已知曲线的方程为若曲线是椭圆，求的取值范围；若曲线是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是，求此双曲线的方程；满足（2）的双曲线上是否存在两点关于直线对称，若存在，求出的直线方程；若不存在，请说明理由.解：（1）当时，曲线表示直线.当时，方程为①上式表示椭圆的充要条件是即是或.方程①表示双曲线的充要条件是，即或或.当或时，双曲线的焦点在轴上，，，其一条渐近线的斜率为当时，双