常微分方程课程教学大纲

《常微分方程》课程教学大纲一、课程基本信息课程名称常微分方程OrdinaryDifferentialEquations课程代码课程性质必修开课院部数学与计算科学学院课程负责人授课学期3学分/学时3/48课内学时48理论学时48实验学时0实训（含上机）0实习0其他0适用专业数学与应用数学(师范)授课语言中文对先修的要求一元函数微积分学、二元函数微分学、二元函数含参量积分，线性方程组解的存在性定理、方阵的特征值及特征向量的求解等知识点。对后续的支撑为数学模型、微分几何课程中出现的微分方程求解提供支撑。课程思政设计1、介绍国内常微分方程领域做出重要贡献的数学家叶彦谦、秦元勋、吴新谋等的事迹，培养学生探索未知、追求真理的责任感和使命感。鼓励学生学好本专业知识，积极投身祖国教育事业。2、了解常微分方程的实际背景与应用，引导学生自觉利用微分方程的思想去观察生活，建立简单的数学模型，解决生活中有关的数学问题。提高学生正确认识问题、分析问题、解决问题的能力。创新创业教育设计教学过程中，创新教学内容，选择贴合生活例子如人口老龄化问题、新冠病毒发展趋势预测、水污染评估、“天问一号”发射初始速度确定、“三星堆”出土文物年代问题等建立微分方程模型。培养学生的创新思维，引导学生自觉利用数学的思想去观察生活，建立简单的数学模型，解决生活中有关的数学问题。课程简介课程定位：常微分方程是数学与应用数学（师范）专业的专业基础课程。本课程旨在使学生了解常微分方程解的理论、求解方法，常微分方程在其它自然科学学科中的应用，提高学生的逻辑推理、数学运算、数学建模和直观想象等数学学科专业素养。培养学生数学解题和应用能力的同时，为后继课程提供解决问题的方法和工具。主要学习内容：微分方程产生的背景及基本概念；一阶微分方程解的存在唯一性定理和逐步逼近法；高阶线性微分方程、一阶线性微分方程组解的基本理论；特殊类型一阶微分方程及可降阶高阶微分方程的初等积分法求解；常系数高阶线性微分方程、常系数一阶线性微分方程组的求解；微分方程在物理、经济以及生物等其它学科的应用。核心学习结果：能利用微分方程的基本概念判定微分方程的类型；会描述并证明一阶微分方程解的存在唯一性定理，高阶线性微分方程以及一阶线性微分方程组解的基本理论；会利用初等积分法求解特定类型的一阶微分方程及可降阶高阶微分方程；会利用特征根法和比较系数法求解常系数线性微分方程；会求解特殊类型的一阶常系数线性微分方程组。综合运用本学科和其它学科知识建立微分方程数学模型，通过微分方程的解分析解决实际问题。主要教学方法：主要采取课堂讲授法传授常微分方程的理论知识，同时通过生活中或者其它学科的例子引导学生讨论，进而引入不同类型的微分方程，分析方程特点给出相应的求解方法。本课程知识传授过程中，注重培养学生的逻辑推理能力、计算推导能力、空间想象能力以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。二、课程目标及对毕业要求指标点的支撑序号课程目标支撑毕业要求指标点毕业要求1目标1：了解微分方程产生的背景，理解微分方程的基本概念；理解并掌握一阶微分方程解的存在唯一性定理，高阶线性微分方程、一阶线性微分方程组解的基本理论；熟练掌握特殊类型一阶微分方程及可降阶高阶微分方程的求解方法；熟练掌握常系数线性微分方程、特殊类型常系数一阶线性微分方程组的求解方法。3.1了解数学学科的发展历史，理解中学数学与高等数学的内涵联系，具备一定的数学科学素养。3.2掌握数学分析学科体系的基本知识、原理、基本思想和方法。具有较好的分析、演绎推理和数学表达能力。3.学科素养：了解数学学科的历史概况和发展情况，理解中学数学与高等数学的内涵联接，具有一定的数学素养。掌握数学学科的基本知识、基本原理和基本技能，理解数学学科知识体系的基本思想和方法，具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模和直观想象等数学学科专业素养。具备一定的物理、计算机及相关人文社科知识，初步具备运用数学知识解决实际问题的能力，初步具备适应中学教育教学所需的综合素养。2目标2：综合运用本学科和其它学科知识建立微分方程数学模型，通过所学方法和相关软件（如Matlab）求解微分方程并解决分析实际问题。3.5具备一定的物理、计算机及相关人文社科知识，初步具备运用数学知识解决实际问题的能力，初步具备适应中学教育教学所需的综合素养。3.学科素养：了解数学学科的历史概况和发展情况，理解中学数学与高等数学的内涵联接，具有一定的数学素养。掌握数学学科的基本知识、基本原理和基本技能，理解数学学科知识体系的基本思想和方法，具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模和直观想象等数学学科专业素养。具备一定的物理、计算机及相关人文社科知识，初步具备运用数学知识解决实际问题的能力，初步具备适应中学教育教学所需的综合素养。三、教学内容及进度安排序号教学内容学生学习预期成果课内学时教学方式支撑课程目标1教学内容:自然与社会科学中的常微分方程模型、常微分方程的基本概念。教学重点：常微分方程基本概念。教学难点：建立常微分方程模型。会根据定义判断常微分方程的阶数、类型；会重复微分方程解、通解、初值问题的定义；会综合其它学科知识列出简单微分方程模型。4课程思政讲授目标1目标22教学内容:特殊类型一阶微分方程的形式及其基本解法。教学重点：一阶微分方程的类型判定和求解方法。教学难点：一阶微分方程的类型判定和求解方法。会判定一阶微分方程的类型并进行求解；能根据微分方程的特点运用适当的变换将方程化为能求解的类型进行求解。14课程思政讲授讨论创新训练目标1目标23教学内容:一阶微分方程解的存在唯一性定理和逐步逼近法；解的延拓定理、解对初值的连续性与可微性。教学重点：逐步逼近法求一阶微分方程的近似解。教学难点：一阶微分方程解的存在唯一性定理的证明。会描述并证明解的存在唯一性定理，会应用逐步逼近法求一阶微分方程初值问题的近似解。6课程思政讲授目标14教学内容:高阶线性微分方程解的基本理论；常系数线性微分方程的基本解法、欧拉方程的基本解法。教学重点：常系数线性微分方程的基本解法；欧拉方程的基本解法。教学难点：高阶线性微分方程解的基本理论。会应用特征根法和比较系数法求解常系数线性微分方程、会应用变量代换求解欧拉方程。12创新训练课程思政讲授讨论目标1目标25教学内容:一阶线性微分方程组解的基本理论；一阶线性微分方程组与高阶线性微分方程的解的关系；一阶常系数线性微分方程组的求解。教学重点:一阶常系数线性微分方程组的求解。教学难点：一阶线性微分方程组解的基本理论。会分析一阶线性微分方程组与高阶线性微分方程解之间的关系，会应用基解矩阵、常数变易公式求解一阶常系数线性方程组。12创新训练讲授目标1目标2四、课程考核序号课程目标（支撑毕业要求指标点）考核内容评价依据及成绩比例(%)成绩比例(%)作业考试总评1目标1：了解微分方程产生的背景，理解微分方程的基本概念；理解并掌握一阶微分方程解的存在唯一性定理，高阶线性微分方程、一阶线性微分方程组解的基本理论；熟练掌握特殊类型一阶微分方程及可降阶高阶微分方程的求解方法；熟练掌握常系数线性微分方程、特殊类型常系数一阶线性微分方程组的求解方法。（支撑毕业要求指标点3.1、3.2）微分方程基本概念；特殊类型一阶微分方程及部分可降阶的高阶微分方程的求解；一阶微分方程初值问题的近似解；常系数线性微分方程（组）的求解；线性微分方程（组）解的性质与解的结构。3054842目标2：综合运用本学科和其它学科知识建立微分方程数学模型，通过所学方法和相关软件（如Matlab）求解微分方程并解决分析实际问题。（支撑毕业要求指标点3.5）会结合其他学科知识，根据题目所给条件列出微分方程并求解。10616合计4060100注：各类考核评价的具体评分标准见《附录：各类考核评分标准表》五、教材及参考资料教材：王高雄等.常微分方程(第四版).高等教育出版社，2020.ISBN:9787040514650.参考资料：[1]张伟年等.常微分方程（第二版）。高等教育出版社，2014.ISBN:9787040405804.[2]丁同仁等.常微分方程教程(第二版).高等教育出版社，2004.ISBN:9787040143690.[3]周义仓等.常微分方程及其应用(第二版).科学出版社，2010.ISBN:9787030265111.[4]化存才等.微分方程学习、设计与建模应用导引(第一版).西安交通大学出版社，2011.ISBN:9787564310813.[5]张天德.常微分方程辅导及习题精解（第一版）.浙江教育出版社.2021.ISBN:9787572212963.其它课程资源[1]常微分方程，清华大学，许世壁老师，精品课程，公开课，壹课堂，HYPERLINK/vod/1936-play.html?1936-0-1.[2]常微分方程，东北师范大学，潘家齐老师，精品课程，公开课，壹课堂，http://www.1/vod/1607-play.html?1607-0-1；[3]微分方程，麻省理工学院，ArthurMattuck，公开课，/special/opencourse/equations.html。六、教学条件多媒体教室，电脑安装好Windows7、MicrosoftPowerPoint2010以上版本的正版软件。附录：各类考核评分标准表作业评分标准教学目标要求评分标准权重（%）90-10080-8960-790-59目标1：了解微分方程产生的背景，理解微分方程的基本概念；理解并掌握一阶微分方程解的存在唯一性定理，高阶线性微分方程、一阶线性微分方程组解的基本理论；熟练掌握特殊类型一阶微分方程及可降阶高阶微分方程的求解方法；熟练掌握常系数线性微分方程、特殊类型常系数一阶线性微分方程组的求解方法。（支撑毕业要求指标点3.1、3.2）按时按量完成并提交作业；掌握基本类型微分方程的求解，会利用变量变换将给定微分方程化为基本类型求解，求解方法正确，计算无误或仅有极少计算错误；掌握解的性质、理解解的唯一性定理的证明思路并掌握证明过程。按时按量完成作业；掌握基本类型微分方程的求解方法，计算有少量错误；理解解的性质、解的唯一性定理的内容以及证明思路。基本能按时完成作业；掌握大部分基本类型微分方程的求解方法，有较多的计算错误；理解解的性质和解的唯一性定理的内容。大部分时间不能按时提交作业；对基本类型微分方程的求解方法掌握不够，计算错误很多；对解的性质和解的唯一性定理的内容掌握不到位。30目标2：综合运用本学科和其它学科知识建立微分方程数学模型，通过所学方法和相关软件（如Matlab）求解微分方程并解决分析实际问题。（支撑毕业要求指标点3.5）按时按量完成并提交作业；会结合其它学科知识，正确列出题目所给条件满足的微分方程；会根据方程解对问题进行进一步分析。按时按量完成作业；会根据物理或几何的基本知识，列出相应问题中涉及的微分方程；会根据方程解的特点对问题进行进一步分析。基本能按时完成作业；会列简单的物理以及几何问题中涉及的微分方程；基本会根据方程解的特点对问题进行进一步分析。大部分时间不能按时提交作业；不太会列微分方程；不太会根据解的特点对问题进行分析。10注：评分标准的分数段划分可以根据课程需要自行设计。考试评分标准教学目标要求评分标准权重（%）90-10080-8960-790-59目标1：了解微分方程产生的背景，理解微分方程的基本概念；理解并掌握一阶微分方程解的存在唯一性定理，高阶线性微分方程、一阶线性微分方程组解的基本理论；熟练掌握特殊类型一阶微分方程及可降阶高阶微分方程的求解方法；熟练掌握常系数线性微分方程、特殊类型常系数一阶线性微分方程组的求解方法。（支撑毕业要求指标点3.1、3.2）微分方程求解方法正确，计算无误或仅有极少计算错误；理解解的性质，掌握解的唯一性定理的证明过程。微分方程求解方法基本正确，计算有少量错误；理解解的性质、解的唯一性定理的内容以及证明思路。掌握基本类型微分方程的求解方法，有较多的计算错误；理解解的性质和解的唯一性定理的内容。对基本类型微分方程的求解方法掌握不够，计算错误很多；对解的性质和解的唯一性定理的内