2023届备考复习基本不等式

第2讲：基本不等式班级：姓名：学号：（一）基础知识回顾：1.定理1.如果a,b,那么，（当且仅当_______时，等号成立）.2.定理2（基本不等式）：如果a,b>0,那么______________（当且仅当_______时，等号成立）.称_______为a,b的算术平均数，_____为a,b的几何平均数。3.几个重要的不等式(1)(当且仅当a＝b时取“=”号)．(2)(当且仅当a＝b时取“=”号)．4.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题：（一“正”；二“定”；三“相等”）即:（1）和、积中的每一个数都必须是正数；（2）求积的最大值时，应看和是否为定值；求和的最小值时，应看积是否为定值，；简记为：和定积最_____，积定和最______.（3）只有等号能够成立时，才有最值。已知都是正数，则有(1)如果积是定值，那么当时和有最小值；(2)如果和是定值，那么当时积有最大值.（二）例题分析：1.基本不等式简单运用例1.已知a,b,下列不等式中不正确的是（）（A）（B）（C）（D）变式1.在下列函数中最小值为的函数是（）例2.（2009湖南卷文）若，则的最小值为.变式1.若为实数，且，则的最小值是（） （A）18 （B）6 （C） （D）变式2.（2009重庆卷文）已知，则的最小值是（）A．2 B． C．4 D．52.基本不等式灵活运用例2．（1）的值域是_________________________.（2）的值域是_________________________.（3）函数的值域是_________________________.变式1．(2006陕西)设x,y为正数,则的最小值为()A.6B.9C.12例3.已知正数、满足，求的最小值．变式1．函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，求的最小值。例4.（2007上海）已知，且，则的最大值为变式1.已知，且。求的最大值及相应的值。3.基本不等式解应用题例5．（2006天津）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则_______吨．变式1.（2009湖北卷文）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m（Ⅰ）将y表示为x的函数：（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。基本不等式课后作业：1.设且则必有()(A)(B)(C)(D)2．下列结论正确的是 ()A.当且时，B.时，C．当时，的最小值为2D.时，无最大值3.若，，，，则下列不等式成立的是（）4.设正数、满足，则的最大值是（）5.已知a,b为正实数，且的最小值为（） A． B．6 C．3－ D．3+6.（2009天津卷理）设若的最小值为（）A8B4C1D9、（2009韶关一模）①；②“且”是“”的充要条件；③函数的最小值为其中假命题的为_________（将你认为是假命题的序号都填上）8.函数的最小值是．9.已知两个正实数满足关系式,则的最大值是_____________.10.已知，则的最大值是11.若正数满足，则的取值范围是12.（08广东文17）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼层.经测算，如果将楼层建为（）层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.（1）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（2）若时，为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用）13.（2005北京）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：。（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/小时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？14.设计一幅宣传画，要求画面面积为，画面的宽与高的比为，画面的上、下各留空白，左、右各留空白。（1）怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？（2）如果要求，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？第2讲：基本不等式班级：姓名：学号：（一）基础知识回顾：1.定理1.如果a,b,那么，（当且仅当_______时，等号成立）.2.定理2（基本不等式）：如果a,b>0,那么______________（当且仅当_______时，等号成立）.称_______为a,b的算术平均数，_____为a,b的几何平均数。3.几个重要的不等式(1)(当且仅当a＝b时取“=”号)．(2)(当且仅当a＝b时取“=”号)．4.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题：（一“正”；二“定”；三“相等”）即:（1）和、积中的每一个数都必须是正数；（2）求积的最大值时，应看和是否为定值；求和的最小值时，应看积是否为定值，；简记为：和定积最_____，积定和最______.（3）只有等号能够成立时，才有最值。已知都是正数，则有(1)如果积是定值，那么当时和有最小值；(2)如果和是定值，那么当时积有最大值.（二）例题分析：1.基本不等式简单运用例1.已知a,b,下列不等式中不正确的是（）（A）（B）（C）（D）变式1.在下列函数中最小值为的函数是（）例2.（2009湖南卷文）若，则的最小值为.答案2解析，当且仅当时取等号.变式1.若为实数，且，则的最小值是（） （A）18 （B）6 （C） （D）变式2.（2009重庆卷文）已知，则的最小值是（C）A．2 B． C．4 D．52.基本不等式灵活运用例2．（1）的值域是_________________________.（2）的值域是_________________________.（3）函数的值域是_________________________.变式1．(2006陕西)设x,y为正数,则的最小值为()A.6B.9C.12答案B解析x，y为正数，≥≥9，选B.例3.已知正数、满足，求的最小值．变式1．函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，求的最小值。答案8例4.（2007上海）已知，且，则的最大值为变式1.已知，且。求的最大值及相应的值。3.基本不等式解应用题例5．（2006天津）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则_______吨．解析某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，≥160，当即20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。变式1.（2009湖北卷文）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m（Ⅰ）将y表示为x的函数：Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。解：（1）如图，设矩形的另一边长为am则-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+(II).当且仅当225x=时，等号成立.即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.基本不等式课后作业：1.设且则必有()(A)(B)(C)(D)2．下列结论正确的是 (B)A.当且时，B.时，C．当时，的最小值为2D.时，无最大值3.若，，，，则下列不等式成立的是（）4.设正数、满足，则的最大值是（）5.已知a,b为正实数，且的最小值为（） A． B．6 C．3－ D．3+答案D6.（2009天津卷理）设若的最小值为（）A8B4C1D【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。【解析】因为，所以，，当且仅当即时“=”成立，故选择C9、（2009韶关一模）①；②“且”是“”的充要条件；③函数的最小值为其中假命题的为_________（将你认为是假命题的序号都填上）答案①8.函数的最小值是．9.已知两个正实数满足关系式,则的最大值是_____________.10.已知，则的最大值是11.若正数满足，则的取值范围是12.（08广东文17）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼层.经测算，如果将楼层建为（）层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.（1）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（2）若时，为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用）解：设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得则，令，即，解得当时，；当时，，因此，当时，取得最小值，元.答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。13.（2005北京）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：。（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/小时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？解：（Ⅰ）依题意，（Ⅱ）由条件得整理得v2－89v+1600<0,即（v－25）（v－64）<0,解得25<v<64.答：当v=40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米14.设计一幅宣传画，要求画面面积为，画面的宽与高的比为，画面的上、下各留空白，左、右各留空白。（1）怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？（2）如果要求，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？解：设画面高为xcm，宽为λxcm，则λx2=4840．设纸张面积为S，有S=(x＋16)(λx＋10)=λx2＋(16λ＋10)x＋160，将代入上式，得．当时，即时，S取得最小值．此时，高：，宽：．答：画面高为88cm，宽为55cm补充题3、(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)若且，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．

答案D5、在下列函数中，最小值是4的是（）（A）（B）（C）（D）2.（2004湖南理）设a＞0,b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）（A）≥4（B）≥（C）≥（D）≥2、(2008江西省五校2008届高三开学联考)已知正整数满足，使得取最小值时，则实数对（是（）A．(5，10） B．（6，6） C．（10，5） D．（7，2）答案A5．（2005福建文）下列结论正