大学物理-振动和波

章2021/5/91§1-1简谐振动§1-2简谐振动的合成§1-3简谐波§1-4波的叠加和干涉2主要内容2021/5/923振动：任何一个物理量随时间的周而复始的变化。1-1简谐振动2021/5/934机械振动：CLABK微观振动：电磁振荡如图,电荷在LC电路中往复运动.物体在其平衡位置附近,位移x随时间t的周期性变化.电磁振动：电场、磁场等电磁量随t周期性变化.如晶格上原子的振动。振动的分类1：mglq2021/5/945——(简谐振动)振动的分类2：

无阻尼自由谐振动无阻尼自由非谐振动阻尼自由振动无阻尼自由振动自由振动受迫振动2021/5/956一.简谐振动（S.H.V.）:

1.定义：

位置坐标按余弦(或正弦)规律随时间变化。tx，qtx,x(t)=Acos(t+)x(t)=Asin(t+’)或——简谐振动的运动学方程也可用复数表示：计算结果一般取实部2021/5/9672021/5/9782.简谐振动的速度、加速度由 ,得a,,x都是谐振动，振幅不同，角频率不变a,,x依次超前

/2；a,x

反相（谐振动特点）2021/5/98曲线描述图图图2021/5/9910等幅、周期性3.简谐振动特性最简单、最基本。其他复杂振动可分解成谐振动的叠加。简谐振动被认为是各式周期运动的基本成分，这有两个根据。1.数学上：傅里叶分析2.物理上：动力学系统的线性2021/5/91011弹簧振子(谐振子)在弹性恢复力的作用下作自由振动——简谐振动由则——简谐振动的动力学方程(特征方程)(加速度与“位移”正比、反向)Ox二.简谐振动动力学方程2021/5/91112质点作直线谐振动.对特征方程两边同乘以振子质量m,有且即:作直线谐振动的质点必受线性回复力.1.线谐振动

k*—有效劲度系数

2021/5/9122.角谐振动(定轴转动/小角摆动)13特征方程:或同乘以I：即：角谐振动

线性回复力矩,且摆：当

很小,sin

时

单摆

mglqTm2021/5/91314如果物体受到的力是线性回复力，则可判定物体作简谐振动，如果不是，那么物体不作简谐振动。线性回复力f=-kx的特点如下：1.力f与位移x的一次方成正比，这个就是“线性”的含义；2.式中负号表明力的方向永远与位移方向相反，即力总是指向平衡位置，这个就是“回复”的含义；3.当x=0时，力f=0，运动存在一个平衡位置，在这个位置上物体沿振动方向不受力。2021/5/914简谐振动的判据3）简谐振动运动学方程2）简谐振动动力学方程1）受力情况受到线性回复力

2021/5/915例：如图,宽阔水面上的柱形浮体,质量m,水平截面面积为S,平衡时吃水深度h. 试证明它作简谐振动.

16解：宽阔水面液面不变。取坐标系如图， 与x无关.…mX-h平衡Ox-(h-x)m'm偏离平衡位置为x时,浮体所受合力为得证！2021/5/91617三.简谐振动的参量相位频率振幅初相周期或圆频率(角频率)2021/5/917182.圆频率(角频率)、周期、频率描述振动系统的固有属性圆频率：(注意和的区别)(rad/s)——也称为固有圆频率质点离开平衡位置的最大距离1.振幅：A

2021/5/91819——单位时间内振动的次数(Hz)频率：T完成一次振动的时间(s)周期：∴——也称为固有周期——也称为固有频率2021/5/919203.位相和初相相位(位相):描述t时刻的振动状态(周期变化的物理量变化到哪个阶段)如当时物体在O点向左运动物体在O点向右运动当时

t0时的相位初相：2021/5/92021谐振动系统特征量的求法：谐振动系统的角频率取决于系统的弹性元件和质量元件，因此分析系统的装置情况一般就可以得到角频率。振幅和初相位则取决于振动的初始状态（初始位置和初始速度），因此求振幅和相位就归结为求初始位置和初始速度。2021/5/921常数和的确定初始条件对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件（两个）决定.2021/5/922曲线描述图图图2021/5/923四.谐振系统的能量24由有简谐振动系统机械能守恒，各时刻的机械能均等于起始能量E0

(t0时输入的能量)。动能弹性势能1.谐振系统的动能和势能及,同乘以m2021/5/924谐振系统中动能、势能间的关系如右图：

25EEpEkEtxt由起始能量求振幅：

2.谐振系统的平均动能和平均势能

周期函数 在一个周期内的平均值:应用于谐振动：2021/5/925262021/5/926例1：简谐振动物体的位移为振幅的一半时，其动能和势能之比为：（A）1：1；（B）1：2；（C）3：1；（D）2：1。正确答案：（C）简谐振动的总能量为：其势能为：其动能为：当物体的位移为振幅的一半时2021/5/927例2:竖直弹簧谐振子,平衡后用恒力F向下拉0.5m,撤去F,此时t=0,已知:k=200N/m,m=4.0kg,F=100N,S=0.5m,求振动方程.

28OSXkmF解:如图，m作谐振动的圆频率为对谐振系统(k,m)用功能原理:由得谐振动方程:2021/5/928能量守恒简谐运动方程推导2021/5/929例3:光滑U型管内装水银,密度为.管截面为S,使水银偏离平衡位置后任其自由振动.求其往复振动的周期T.

30OxX解:如图,平衡时右管中液面坐标x=0,t

时刻为x.各处水银质元切向加速度相等

2021/5/930五.谐振动的旋转矢量表示31

旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.2021/5/931以

为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.当时2021/5/932以

为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.时2021/5/933（旋转矢量旋转一周所需的时间）用旋转矢量图画简谐运动的

图2021/5/934旋转矢量表示的优越性直观展示简谐振动各参量的关系，便于确定j的象限便于对两个或多个简谐振动进行比较便于处理简谐振动叠加问题2021/5/935讨论相位差：表示两个相位之差.1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.2021/5/936同相2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.（解决振动合成问题）为其它超前落后反相2021/5/937由图看出：速度超前位移加速度超前速度称两振动同相3）方便比较不同物理量振动步调位移与加速度称两振动反相若2021/5/938

例1如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数，物体的质量.

（1）把物体从平衡位置向右拉到处停下后再释放，求简谐运动方程；（3）如果物体在处时速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其运动方程.

（2）求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度；0.052021/5/939解（1）由旋转矢量图可知（1）把物体从平衡位置向右拉到处停下后再释放，求简谐运动方程；2021/5/940解

由旋转矢量图可知（负号表示速度沿轴负方向）

（2）求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度；2021/5/941解（3）如果物体在处时速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其运动方程.因为，由旋转矢量图可知2021/5/942

例2一质量为的物体作简谐运动，其振幅为，周期为，起始时刻物体在处，向轴负方向运动（如图）.试求

（1）

时，物体所处的位置和所受的力；解2021/5/943代入2021/5/944代入上式得2021/5/945（2）由起始位置运动到处所需要的最短时间.法一

设由起始位置运动到处所需要的最短时间为2021/5/946解法二起始时刻时刻2021/5/947阻尼振动

48能量耗散

阻尼振动原因:空气阻力,摩擦力,电阻,电磁辐射等机械振动:低速时阻力速度:阻力系数阻尼振动特征方程:

0

系统无阻尼时的固有频率,且

表示阻尼大小

阻尼系数

阻尼项2021/5/94849按特征根 分类:

弱阻尼:振幅随t衰减

临界阻尼:

,非周期,直接回到平衡位置

过阻尼:

非周期,缓慢趋向平衡位置.振幅随

t减小,近似具有周期过阻尼临界阻尼弱阻尼xt02021/5/949受迫振动

50外界周期性驱动(交变电动势)可使振动不衰减设驱动力为 非齐次微分方程解:

其中t

时,即:系统以外来驱动力的频率

振动阻尼项周期驱动项2021/5/950共振

51分析振幅A、相位

: 时,

A取极大值

位移共振；例：Tacoma大桥(1940.11.7,4个月，驻波+共振)同理，可以讨论速度共振

2021/5/9511-2.简谐振动的合成52

简谐振动.

频率不变,A和与分振动有关.tx202A2xAx10O1A1(k0,1,2…)

振动加强!振动减弱!

一.同方向、同频率谐振动的合成2021/5/952

多个同方向同频率简谐运动的合成多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动2021/5/953二.同方向不同频率的谐振动的合成

54A2A1OX2>1A两个同方向、不同频率的谐振动合成不再是简谐运动！以同振幅情况为例：拍(beat)：当时

拍这时质点近似作角频率 的谐振动,但 振幅随时间t缓慢变化.A2A1A2021/5/95455拍频:合振动在单位时间内加强(或减弱)的次数2021/5/955三.相互垂直的谐振动的合成

1.同频率

56轨迹方程:5/43/27/4=0/4

/23

/4P·Q2021/5/956用旋转矢量描绘振动合成图2021/5/957简谐运动的合成图两相互垂直同频率不同相位差2021/5/9582.不同频率

59n1,n2为不可约的正整数

合振动周期:

轨迹成闭合平面曲线

李萨如图形频率不成整数比频率成整数比2021/5/959李萨如图形李萨如图形与和

都有关N1—x方向切线对图形切点数N2—y方向切线对图形切点数2021/5/960谐振分析（频谱分析）一个周期性振动可分解为一系列频率分立的简谐振动

61若周期振动的频率为：0

则各分振动的频率为：0，20，30，…，分别称作基频，二次谐频，三次谐频，…xOt锯齿波A03050锯齿波频谱图O2021/5/96162x3Otx5OtOtx0+x1+x3+x5x1x0+x1x0Ot方波的分解t方波xO思考:歌唱家“声音洪亮,音域宽广,音色甜美”。各指什么？2021/5/962一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动

63阻尼振动曲线xO阻尼振动频谱图OAFourier分析：2021/5/963波

某处的扰动以特定规律在空间传播

能量传播的一种方式，t时刻、附近物理量的分布在t+Δt

时刻出现在的周围.用波函数描写(特定边界条件下波动方程的解)分类:

按物理量:机械波(弹性波),电磁波,物质波…按传播方式:纵波,横波；按波面：球面波、柱面波、平面波…波动性:对线性无吸收媒质满足叠加原理

反射,折射,干涉,衍射,(横波:偏振)…1-3简谐波2021/5/964波源介质+弹性作用机械波一机械波的形成产生条件：1）波源；2）弹性介质.波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播.注意机械波：机械振动在弹性介质中的传播.真空机械波的传播2021/5/965

横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直纵波：质点的振动方向与波的传播方向平行软绳软弹簧波的传播方向质点振动方向波的传播方向质点振动方向在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。空气中的声波是纵波。液体表面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。2021/5/966横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.（仅在固体中传播）二横波与纵波

特征：具有交替出现的波峰和波谷.2021/5/967纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.（可在固体、液体和气体中传播）特征：具有交替出现的密部和疏部.2021/5/968水表面的波既非横波又非纵波2021/5/969

波前波面波线波面振动相位相同的点连成的面。波前最前面的波面。平面波（波面为平面的波）球面波（波面为球面的波）波线（波射线）波的传播方向。在各向同性媒质中，波线恒与波面垂直。2021/5/970波传播方向

l波速u周期T波长l振动状态完全相同的相邻两质点之间的距离。波形移过一个波长所需的时间。频率n周期的倒数。n1T波速u单位时间内振动状态（相位）的传播速度，又称相速。机械波速取决于弹性媒质的物理性质。ulTnl或luT2021/5/971球面波、柱面波、平面波:

xyz平面波xyz柱面波xyz球面波媒质中各质点的位移都随时间变化，如何描述？2021/5/972二.波函数(波方程)波函数

y

:随其平衡位置和时间t变化的数学函数振动方程：

对确定的

,给出以为平衡位置的质点的振动。相应的y-t曲线称为振动曲线

波形方程：对确定的

给出t0时刻各质点的位移。注意波函数与振动方程、波形方程的区别！相应的y-x曲线称为波形曲线2021/5/973线性无吸收媒质中的平面简谐波平面简谐波

—波场中各质点在各时刻的振动方程均为余弦(或正弦)形式的平面波.线性无吸收媒质中,波不衰减!各质点振幅相同.平面简谐波的波函数(波方程)已知某点振动情况+描述波的参数(如波速)求媒质中任意质点的振动.各质点(质元)都按照波源的振动规律振动振动相位沿波的传播方向依次落后?2021/5/974若t时刻x0处有t+txp令为波数,有平面简谐波波函数:其他形式:如xytOu则xp点在t时的位移为2021/5/975注意:1.

波函数的意义:是平衡位置为x的质元在t时刻对于其平衡位置的位移.2.波速媒质,频率波源.3.0的意义：原点处质点振动的初相位4.区别波速u和质点振动速度v，确定传播方向5.波速u是相位传播速度(相速度).相速度:令某相位在x，t变化时保持不变,则2021/5/976波动方程的一般形式

(线性无吸收媒质):满足该方程都是平面波(或多个简谐波的叠加).三维:一维:对各求关于x和t的二阶偏导数2021/5/977例:一平面简谐波在媒质中以u=20ms-1的速度沿直线传播，已知传播路径上某点A的振动方程为y=3cos4t，如下图所示。(1)如以A点为坐标原点，写出波函数；(2)如以距A点为5m处的B点为坐标原点，写出波函数；(3)写出图中C、D点的振动方程及振动速度表达式。8m5m9muABCD2021/5/978解：已知u=20m/s,=2s-1,=u/=10mA点的振动方程为y=3cos4t(1)以A点为原点的波函数为(2)已知波的传播方向由左向右，故B点的相位比A点超前，其振动方程为以B点为原点的波函数为2021/5/979(3)分别将xC=-8m,xD=14m代入B点为原点的波函数，得到C点和D点的振动方程为将上两式分别对时间求导，可得C点、D点的振动速度表达式2021/5/980例:如图,已知两个不同时刻的波形曲线,试确定其传播方向.

t

=0xyt=3T/4t

=0Ot=3T/4解:旋转矢量法或：波形沿传播方向传播距离的时间内，y(x=0处)传播方向向右2021/5/981x(m)y(cm)o1050.10.40.71.01.3t=0u=1.2102m/s例:已知t=0时的平面余弦波波形如图,求:1)波方程,2)t=0.0025s时的波形3)x=0.6m处的质元振动曲线.解:(1)设波方程由图得2021/5/982图中处最大,故该点振动方程为:对任一x,波方程为方法二:2021/5/983(2)求时的波形x(m)y/6Oo2/3y(cm)101.00.4-0.18.7x1t=0.0025s2021/5/984(3)求处质元的振动曲线波形图：t(s)y(cm)o5T/12=4.1710-2-10-511T/12=9.1710-2

2021/5/985现象：若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元）上下抖动振速最小v振速最大v形变最小形变最大t时刻波形t+dt在波动中，各体积元产生不同程度的

弹性形变，具有

弹性势能pEr未起振的体积元各体积元以变化的振动速率上下振动，具有振动动能vEkr理论证明:当媒质中有波传播时，媒质中一个体积元在作周期性振动的过程中，其弹性势能和振动动能同时增大、同时减小，而且其量值相等，即pErEkrpErEkr。波的能量2021/5/9861.能量密度（单位体积媒质中波的能量）

可见，波动过程是媒质中各体积元不断地从与其相邻的上一个体积元接收能量，并传递给与其相邻的下一个体积元的能量传播过程过程。振动速度veetysinAww()tux体积元的动能2Ekr21mrv21rVrsinAww()tux222EkrpEr势能Ekr总量能ErpEr+rVrsinAww()tux222设一平面简谐波cosyA()wtux媒质密度rx处取体积元rV,体积元的质量mrrVr在能量密度0limwrVErrVrsinAww()tux222平均能量密度Tt0d1TwwrAw2221w是w在一周期内的时间平均值。单位：焦耳米3（J·m–3

）2021/5/987能流、能流密度2.能流和能流密度平均能流一周期内垂直通过某截面积

S的能量的平均值单位：瓦(W

)能流密度（波的强度）垂直通过单位截面积的平均能流单位：瓦·米-2(W·m–2)振动状态以波速

u

在媒质中传播

体积元的能量取决于其振动状态能量以波速u在媒质中传播能流单位时间垂直通过的某截面积S的能量su2021/5/9883.

各向同性均匀无吸收媒质中波的振幅变化S1S2S1S2,A1A2S1S2S2S1平面波柱面波球面波以平面波为例：由得平面波在媒质不吸收的情况下,振幅不变。2021/5/9894.波的吸收I0IIOxx波在传播中的能量损耗对线性媒质，设入射波强I0，透射dx距离，波强改变dI,

(指数衰减!）分离变量法求解：

媒质的吸收系数，与物性和波频率有关对确定物质，或

色散、滤色如滤色镜、交通灯颜色、卫星通讯频率2021/5/990在弹性介质中传播的机械纵波，一般统称为声波.

可闻声波20~20000Hz次声波低于20Hz超声波高于20000Hz声强：声波的能流密度.声波和超声波2021/5/991贝尔（B）声强级：人们规定声强（即相当于频率为1000Hz

的声波能引起听觉的最弱的声强）为测定声强的标准.如某声波的声强为I，则比值的对数，叫做相应于I的声强级

LI

.声强：声波的能流密度.能够引起人们听觉的声强范围：分贝（dB

）2212W/m1W/m10®-2021/5/992声源声强W/m2声强级dB响度引起痛觉的声音1120钻岩机或铆钉机10-2100震耳交通繁忙的街道10-570响通常的谈话10-660正常耳语10-1020轻树叶的沙沙声10-1110极轻引起听觉的最弱声音10-120几种声音近似的声强、声强级和响度2021/5/993一.惠更斯原理

任一点振动邻近各点振动 各点都可视为新波源,发球面波.惠更斯原理:媒质中波动传到的各点,都可以看作是发射子波的波源,在其后的任一时刻,这些子波的包络面就决定了新的波阵面. ChristianHuygens,(荷),1690

平面波:球面波:可定性解释波的衍射、反射和折射§1-4.波的叠加和干涉2021/5/994二.波的衍射(绕射)波传播中遇到有限大障碍物(或大障碍物中的孔隙)绕过边缘,传播方向弯曲(障碍物或孔隙边缘的背后衍展)三.波的反射和折射两种媒质的界面

反射和折射.对各向同性的媒质,有波的反射定律:ii'12入射线、反射线和界面法线共面入射角等于反射角,i=i'2021/5/995波的折射定律:入射线、反射线和界面法线共面入射角和反射角正弦值之比等于相应波速之比n21

相对折射率i123.不足之处：未涉及振幅，相位等的分布规律。2021/5/996一.波的叠加原理线性波相遇:各波保持原有特性(如,,振动方向等), 并沿各自的传播方向继续前进（波的独立性）。在交叠区:质元合振动

各波分振动的矢量叠加.数学:线性波动方程的几个解之和仍是该方程的解.二.波的干涉现象几列波的交叠区中,质元的合振动出现强弱(振幅)随位置不同而异的稳定图象.三.波的干涉2021/5/9971.波的相干条件频率相同;振动方向相同;分振动的相位差恒定.从观察角度还要求：各分振动振幅相差不太大.相干波源2.两列简谐波的干涉如图，两相干波源，Pr1r2S1,y1S2,y2经在P点相遇波程：几何距离或2021/5/998波程差：相位差波源S1,S2的振动方程:两波在P点相遇，引起的振动方程分别为：Pr1r2S1,y1S2,y22021/5/999P点相遇，质点的合振动方程：两列波在P点的相位差:合振幅:2021/5/9100波的强度