测量误差基本知识测

测量误差基本知识测第一页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日

测量误差主要来源：

(1)外界环境主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化。

(2)仪器误差仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪器结构能够满足各种几何关系。

(3)观测误差

观测者的自身条件，观测者的感官鉴别能力，技术熟练程度，会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。由于以上原因，使得观测值偏离观测量的真值或理论值而产生真误差或闭合差，统称测量误差，简称误差。第二页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日真误差：设某一观测量的真值或理论值为X，在等精度观测条件下对该量进行了n次观测，其观测值为li（i=1,2,3,…n),则相应的误差Δi

定义为Δi=li

–X称为真误差。闭合差：例如闭合水准测量的闭合差：全线高差观测值之和与其理论值（0）之差不为0；三角形闭合差，三内角观测值之和与理论值（1800）之差不为0；往返距离丈量的闭合差：同一距离往返观测值之差与理论值（0）之差不为0。等均说明观测中存在误差。第三页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日粗差：粗差是测量中的疏忽大意而造成的错误或电子测量仪器产生的伪观测值。例如，观测者由于判断错误而瞄错目标；量距时不细心，将钢尺上的6字看成9；观测者吐字不清或记录者思想不集中，导致听错或记错数据等。粗差非常有害，它不仅影响测量成果的可靠性，造成返工浪费，严重的甚至会对工程造成难以估量的损失，所以，应尽量将粗差剔除。

粗差剔除：有些粗差可以通过分析观测值中的异常值加以发现；有些粗差可以通过检核(如进行多余观测)计算加以发现；而有些小粗差很难发现，对测量成果的精度影响极大，已引起人们的高度重视，形成了现代误差理论中一个重要内容，叫做“粗差探测”。第四页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日在进行测量工作时，测量人员只要有高度的责任感和认真负责的态度，较完善地组织好观测方法和记录工作，加强检核，严格执行“规范”等，粗差还是可以被及时发现和避免的。

第五页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日

测量误差按性质可分为系统误差和偶然误差(又称随机误差)两类。二、系统误差（又称累积误差）

在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。系统误差一般具有累积性。例如，用一把名义长度为50m的钢尺去量距，经检定钢尺的实际长度为50.005m，则每量一尺，就带有+0.005m的误差，丈量的尺段越多，所产生的误差越大。所以这种误差与所丈量的距离成正比。在水准测量时，当视准轴与水准管轴不平行而产生夹角时，对水准尺的读数所产生的误差为D*i″/ρ″（ρ″=206265″是一弧度对应的秒值)，它与水准仪至水准尺之间的距离D成正比，所以这种误差按某种规律变化。第六页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日这些误差都属于系统误差，在测量成果中具有累积性，对测量成果的影响较为显著，但由于这些误差具有一定的规律性，所以，我们可以采取措施来消除或尽量减少其对测量成果的影响。通常有以下三种处理方法：（1）检校仪器：把仪器的系统误差降低到最小程度。例如，在测量工作开始前，对仪器进行检验和校正，可以使系统误差减少。（2）求改正数：对观测成果进行必要的改正，如钢尺经过检定，求出尺长改正数。（3）对称观测：使系统误差对观测成果的影响互为相反数，例如：水准测量采用中间法，水平角测量采用盘左盘右观测等，都是为了达到削弱系统误差的目的。第七页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日系统误差具有明显的规律性和累积性，其误差的大小和符号有一定的规律，所以可以采取适当措施加以消除或削弱。当观测值中剔除了粗差，排除了系统误差的影响，或者与偶然误差相比系统误差处于次要地位后，占主导地位误差就是偶然误差。在观测过程中，系统误差和偶然误差总是相伴而生。当系统误差占主导地位时，观测误差就呈现一定的系统性；反之，当偶然误差占主导地位时，观测误差就呈现偶然性。如前所述，系统误差有明显的规律性，容易发现，也较易控制，所以在测量过程中总可以采取各种办法消除其影响，使其处于次要地位。而偶然误差则不然，不能完全消除，故本章中所讨论的测量误差，均系指偶然误差而言的。

第八页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第五章测量误差的基本知识三、偶然误差

在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出现的大小和符号均不一定，则这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。例如，用经纬仪测角时的照准误差，钢尺量距时的读数误差等，都属于偶然误差。偶然误差，就其个别值而言，在观测前我们确实不能预知其出现的大小和符号。但若在一定的观测条件下，对某量进行多次观测，误差列却呈现出一定的规律性，称为统计规律。而且，随着观测次数的增加，偶然误差的规律性表现得更加明显。第九页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日例如，在相同的观测条件下，对358个三角形的内角进行了观测。由于观测值含有偶然误差，致使每个三角形的内角和不等于180°。设三角形内角和的真值为X，观测值为L，其观测值与真值之差为真误差Δ。用下式表示为：Δi=Li-X （i=1,2,…,358）（6-1） 由（6-1）式计算出358个三角形内角和的真误差，并取误差区间为dΔ=3″，以误差的大小和正负号，分别统计出它们在各误差区间内的个数k和频率k/n，结果列于表中。第十页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第十一页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日四、偶然误差的特性：为了更直观地表示偶然误差的分布情况，以△为横坐标轴，以 （即真误差在各区间的分布密度）为纵坐标作直方图，

为图中任一长条矩形的面积称为频率。此图称为偶然误差分布直方图（在统计学上称为频率直方图）：偶然误差的统计规律的四个特性：①在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；（有界性）②绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(密集性)；第十二页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日③绝对值相等的正、负误差出现的机会相等；（对称性）④在相同观测条件下，当观测次数n无限增大，即 时，偶然误差的算术平均值趋于零，即

在数理统计中，称为偶然误差的数学期望等于零。即（抵偿性）第十三页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日在上表和上图中所反映的误差分布，是观测次数有限时的分布，称为经验分布。当观测次数n→∞、误差区间间隔dΔ→0（即无限缩小）时，落在各区间的误差频率k/N将趋近于其概率P(Δi)，这时直方图中长方形顶边所形成的折线将变成一条光滑曲线。称为误差的理论分布(或误差分布曲线)，这就是概率论中著名的高斯正态分布。第十四页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日高斯正态分布曲线的纵坐标表示误差分布的概率密度，它是偶然误差的函数，简称概率函数，表示为f(Δ)，横坐标表示误差的大小，曲线下的面积表示误差出现的概率，即：高斯根据偶然误差的统计特性，推导出了概率密度函数的数学模型为：称为高斯正态分布概率密度函数。它是德国科学家高斯（Causs）于1974年17岁时研究误差的规律时发现的。第十五页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第五章测量误差的基本知识图中每个小长方形的面积就形象地表达了该区间真误差分布的频率。例如图中带有斜线的长方形的面积为0.069，即表示真误差出现在+6″~+9″区间的频率为0.069。

第十六页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第五章测量误差的基本知识在概率统计中，称△为随机变量。当△为连续型随机变量时，可以证明：第十七页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日五、精度与观测质量：当偶然误差Δ=0时，密度函数有最大值；若对密度函数关于△取二阶导数并令其等于0，可求得曲线两个拐点的横坐标值为，所包围的曲边梯形面积时误差落在区间（+σ，-σ

）的概率，为一定值。见下图，可见误差顶点的位置由σ决定，σ愈小y值愈大，函数顶峰高而陡峭，表示误差小，密度大，观测精度高；反之低而平缓，精度低。例如，y=2比y=1的误差曲线要陡峭的多，这是因为σ2∠σ1，第二组的观测精度高于第一组的结果。第十八页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日综合上述，得到偶然误差所表现出的两大数学特征：（1）

Δ的数学期望为0，表明误差列的分布，是以它的数学期望0为中心和终点，逐步密集。该中心称为离散（取值为有限个或可列无限个）中心，是误差真值所在位置。误差在0的左右对称取值，其范围、大小、符号、误差的补偿性，均如上述偶然误差的特性所述。（2）Δ2的数学期望为方差σ2，它说明了误差在离散中心周围所聚集的紧密度，也就是观测值之间的离散程度。σ愈小误差愈小，观测值愈密集地接第十九页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日近其真值或它的数学期望（观测值的均值）。

测量工作总是希望尽可能地获得小的σ值。它是衡量观测值精度高低的理论尺度。第二十页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第三节衡量精度的指标一、方差及其中误差高斯分布密度函数中的参数σ，在几何上是曲线拐点的横坐标，概率论中称为随机变量的标准差(方差的平方根)。当观测条件一定时，误差分布状态唯一被确定，误差分布曲线的两个拐点也唯一被确定。这就是说参数σ与观测条件、误差分布的密集程度及观测质量一一对应，即将误差分布的密集或离散程度定义为“精度”。用σ作为精度指标，可以定量地衡量观测质量。所以在衡量观测精度时，只要设法计算出该组误差所对应的标准差σ值即可。方差σ2在概率论中有严格的定义：方差σ2是随机变量x与其数学期望E(x)之差的平方的数学期望，用数学公式表达为：σ2=E［x-E(x)］2第二十一页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日方差的定义：中误差的定义：中误差的估值：例:真误差甲组+5+2-2-10-3乙组+6-7-1-4+5+2第二十二页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日中误差的几何意义可以证明中误差是正态分布曲线上两个拐点的横坐标值。第二十三页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日若用测量专业的术语来叙述标准差σ，就是在一定观测条件下，当观测次数n无限增加时，测量真误差Δ的均方根用下式表示：因为观测次数n不可能无限增加，故标准差难以求得。在测量工作中，观测次数n总是有限的，只能求得标准差的“估值”，记作m，称为“中误差”。其值可用下式计算：

式中［ΔΔ］=△2+△2+△2+···为真误差Δ的平方和，n为观测次数。通常把m称为观测值中误差或一次观测值中误差。作为精度指标，中误差最为常用，这是因为中误差对大误差的出现特别敏感，只要在误差列中有大误差存在，中误差迅速增大，说明观测质量不好。第二十四页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日【例】设有两组等精度观测列，其真误差分别为第一组-3″、+3″、-1″、-3″、+4″、+2″、-1″、-4″；第二组+1″、-5″、-1″、+6″、-4″、0″、+3″、-1″。试求这两组观测值的中误差。解：比较m1和m2可知，第一组观测值的精度要比第二组高。第二十五页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第二十六页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日上式的绝对误差是采用往返丈量之差，即真误差来计算相对误差，称为相对真误差；采用中误差计算的相对误差，称为相对中误差。第二十七页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日3极限误差限差的理论依据就是偶然误差的特性(1)：误差不会超过一定的限值。理论研究表明，误差落在区间(-kσ，+kσ)的概率为：k=1时，P(|Δ|<σ)≈68.3%；k=2时，P(|Δ|<2σ)≈95.5%；k=3时，P(|Δ|<3σ)≈99.7%；k=4时，P(|Δ|<4σ)≈1。在测量工作中，常取两倍中误差作为误差的限值，作为测量成果取舍的极限误差，Δ极=3σ第二十八页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日简称限差，也称容许误差。要求较严的取2m,要求较宽的取3m.观测值中，凡是误差超过容许误差的，一律舍弃重测。在实际工作中，为了确保观测成果质量，根据测量对精度的不同要求，参考极限误差，将观测值预期中误差的2~3倍，定为检核观测质量，决定观测值取舍所能容许的最大限值标准，称为容许误差。Δ容=（2~3）m第二十九页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第五章测量误差的基本知识5-4误差传播定律

对于能直接观测的量(如角度、距离、高差等)，经过多次观测后，便可通过真误差或改正数计算出观测值的中误差，作为评定观测值精度的标准。但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，这些未知量即为观测值的函数。例如，在水准测量中，两点间的高差h=a-b，则h是直接观测值a和b的函数；在三角高程测量的计算公式中，如果觇标高v等于仪器高i，则h=Dtanδ，这时，高差h就是观测值D和δ的函数，等等。

第三十页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日本节所要讨论的就是在观测值中误差为已知的情况下，如何求观测值函数中误差的问题。阐述观测值中误差与函数中误差之间函数关系的定律，称为误差传播定律。第三十一页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第五章测量误差的基本知识一、线性函数1、倍数函数设有函数Z=KX式中X为直接观测值，其中误差为mx；Ｋ为常数；Z为观测值X的函数。若对X作n次同精度观测，则有：mＺ2＝Ｋ2mx2或mＺ＝Ｋmx上式表明：对于倍数函数，函数的中误差等于观测值中误差的K倍。还可以证明如下：第三十二页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第五章测量误差的基本知识设有函数

z=kx

式中k为常数，x为直接观测值，其中误差为mx，现在求观测值函数Z的中误差mZ。设x和Z的真误差分别为Δx和ΔZ，由式知它们之间的关系为ΔZ=kΔx若对x共观测了n次，则△Zi=k△Xi（i=1,2,…,n）将上式两端平方后相加，并除以n，得

第三十三页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第五章测量误差的基本知识按中误差定义可知或即观测值倍数函数的中误差，等于观测值中误差乘倍数。

例用水平视距公式D=k·l求平距，已知观测视距间隔的中误差ml=±1cm，k=100，则平距的中误差mD=100·ml=±1m。第三十四页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第五章测量误差的基本知识2和、差函数设有函数Z=x±y式中，x、y为两个相互独立的观测值，均作了n次观测，其中误差分别为mx和my。设真误差分别为Δx和Δy，由（6-10）式可得第三十五页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第五章测量误差的基本知识第三十六页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第五章测量误差的基本知识当z是一组独立观测值x1、x2、…、xn的和或差函数时，即：z=x1±x2±…±xn根据上述推导方法，可得函数z的中误差平方为：m2z=m2x1+m2x2+…+m2xn式中：mxi为观测值xi的中误差。于是，上式可表述为：n个独立观测值代数和或差的中误差平方，等于n个观测值中误差平方之和。特别是，当xi为同精度观测值时，有mx1=mx2=…=mxn=m则m2z=nm2,n个同精度观测值代数和的中误差等于观测值中误差的根n倍。第三十七页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第五章测量误差的基本知识3一般线性函数设有函数Z=K１x１±K2x２±…±Knxn式中，K１、K２…Kn为常数;x１、x２…xn为独立观测值，其相应的中误差分别为m１、m２…mn。根据倍数函数与和差函数的中误差公式，可列出求一般线性函数中误差的公式为：m2Ｚ＝（Ｋ１m１）２＋（Ｋ２m２）２＋…＋（Ｋnmn）２第三十八页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第五章测量误差的基本知识二、非线性函数

设有非线性函数Z=f(x１，x２…xn）式中，x１，x２…xn为独立观测值，其相应的中误差分别为m１、m２…mn。则有

第三十九页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第五章测量误差的基本知识上式是误差传播定律的一般形式，其他形式的函数都是它的特例。第四十页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日求任意函数中误差的步骤列出关于直接观测量的函数关系式全微分套用中误差关系式第四十一页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日常用函数的中误差公式：第四十二页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日例1、量得某圆形建筑物得直径D=34.50m,其中误差,求建筑物的圆周长及其中误差。解：圆周长第四十三页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日例3、用长30m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为5mm，求全长D及其中误差。第四十四页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第四十五页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第五章测量误差的基本知识第四十六页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第五章测量误差的基本知识例5设以同精度测得三角形三内角为ˊ、ˊ、ˊ，其中误差为m。由于三内角和不为１８０而产生闭合差，ω＝ˊ＋ˊ＋ˊ－１８０为了消除闭合差，对每个角值分配三分之一的闭合差，得各角的最后结果，即＝ˊ－ω

／３

＝ˊ－ω／３

＝ˊ－ω

／３试求ω及的中误差mω及m第四十七页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第五章测量误差的基本知识解：由式ω

＝ˊ＋ˊ＋ˊ－１８０得m2ω

=m2ˊ+

m2ˊ+m2ˊ=3m2mω

=m由ω

＝ˊ＋ˊ＋ˊ－１８０代入＝ˊ－／３得＝2/3ˊ-1/3ˊ-1/3ˊ-60即m=第四十八页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日

5-5算术平均值及其中误差一、算术平均值

在相同的观测条件下对某未知量进行了一组等精度观测，其观测值分别为l１、l２、…、ln，观测值的真值为X，则观测值的真误差为：第四十九页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日

上式表明，当观测次数无限增多时，各个观测值的算术平均值趋近于未知量的真值。当n为有限值时，通常取算术平均值作为未知量的最或然值（最可靠值）(最或是值)，并以它作为测量的最后成果。算术平均值的一般表达式为：x=（l１＋l２＋…＋ln）/n＝[l]/n

5-5算术平均值及其中误差第五十页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日二、算术平均值的中误差观测次数算术平均值的中误差20.7140.5060.41100.32200.22500.14第五十一页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日一、改正数由于观测值li的真误差Δi一般是不知道的，所以实际工作中常采用观测值的改正数vi来计算中误差。所谓改正数，就是最或是值与观测值之差，用v表示，即：v=x-l

式中v为观测值的改正数；l为观测值；x为观测值的最或是值。各观测值的改正数：v１＝x－l１v２＝x－l2

…vn＝x－ln将上式两边求和:［v］=nx-［l］将x=[l]/n代入，得［v］=0。此式可作为改正数计算正确性的检查。5-5用改正数计算等精度观测值的中误差第五十二页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日二、用改正数计算中误差设对某个量进行n次观测，观测值为li（i=1,2…n)，则它的最或是值就是n个观测值的算术平均值x，5-5用改正数计算等精度观测值的中误差（i＝１，…n）第五十三页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第五十四页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日例6

对某段距离用同等精度丈量了6次，结果列于下表，求这段距离的最或然值，观测值的中误差及最或然值的中误差。次序观测值(m)δLi（mm）vi=δx-δLi(mm)v′(mm)v′v′(mm2)1346.53515+4+4162346.54828-9-8643346.5200+19+193614346.54626-7-7495346.55030-11-101006346.53717+2+24取L0=346.520[δL]=116mm[v]=-2[v]=0[vv]=594第五十五页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日例6（续）测量中常用下法解：第五十六页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第五十七页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日例7（课本例5-9）设用经纬仪对某角等精度观测了6个测回，其观测值列于表中，试求该角的最或然值、观测值中误差和最或然值中误差。测回观测值/(°′″)改正数v/（″）vv计算1365030-4162365026003365028-244365024+245365025+116365023+39∑2210236034第五十八页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日从上例计算可以看出，m=±2.6″,M=±1.1"算术平均值的精度显然提高。从公式可以看出，增加观测次数可以提高算术平均值的精度。例如，设观测值的中误差m=1,算术平均值的中误差M与观测次数n的关系如图，由该图可以看出，当n增加时，M减小。但当观测次数达到一定数值后（例如n=10），再增加观测次数，工作量增加，但提高精度的效果就不太明显了。故不能单纯以增加观测次数来提高测量成果的精度，还应设法提高观测值本身的精度。例如，采用精度较高的仪器，提高观测技能，在良好的外界条件下进行观测等。第五十九页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日5-6由真误差计算中误差一、由三角形闭合差求测角中误差三角形三个内角和的真值为180°，现设以等精度观测了三角网中每个三角形的各个内角αi、βi、γi，求每个三角形的闭合差ω

i,ω

i

=αi+βi+γi-180°i=1,2,3,…n可见，ωi是三角形内角和的真误差，于是，由中误差定义公式得三角形内角和的中误差为：第六十页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第六十一页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日由德国测量学家菲列罗所创，在三角测量中，常用它来初步评定测量的精度，该公式于1887年被国际地球测量委员会认定，沿用至今。例8见课本例5-10第六十二页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日二、用等精度按双次观测列差值求观测值中误差在测量工作中，常常对一些量观测两次，我们把这种观测称为双次观测。对一个未知量进行的双次观测值，称为一个观测对。多个双次观测值称为双次观测列。双次观测值之差的真值为零。若同一个量两次观测值的差设为di，则有：di=li′-li"di就是差值的真误差。根据中误差定义式，差值的中误差应为：第六十三页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第六十四页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日观测量的最或然值是两次观测结果的算术平均值，即：第六十五页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日例8水准测量在水准点1~6各点之间往返各测了一次，各水准点间的距离均为1km,各段往返测所得的高差见下表。求每公里单程水准测量高差的中误差和每公里往返测平均高差的中误差。测段高差观测值(m)dd1~2-0.185+0.188+392~3+1.626-1.629-393~4+1.435-1.430+5254~5+0.505-0.509-4165~6-0.007+0.005-24第六十六页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日三、误差传播定律在测量上的应用举例（一）距离测量的误差传递钢尺量距：设用长度为L的钢尺丈量A、B之间的距离S，共量了n个尺段。若每尺段丈量中误差均为mL,求S的中误差。（1）列出线性函数：则S的中误差为：表明：距离丈量的中误差与所测尺段数n的平方根成正比。由于丈量是采用同一根钢尺和相同的方法进行的，式中的L与mL可视为定值，令第六十七页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日当L=1时，m=mL,即m为单位长度的丈量中误差，故有即距离S的中误差，与距离的平方根成正比，或者说等于单位长度的丈量中误差的倍。第六十八页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日（2）光电测距：光电测距，通常将已知每千米距离测量中误差（比例误差）作为单位权中误差，设为mkm,则对Dkm的距离，其中误差为：表明：光电测距的中误差与所测距离的平方根成正比。例1、用50m的钢尺分四段丈量长为200m的距离，已知每尺段量距中误差为±10mm，试求全长的中误差和相对中误差。解：S=200m，n=4，mL=±10mm,则第六十九页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日二、水准测量的误差传递设在A、B两点之间进行水准测量，中间共设n站，则A、B两点之间的高差应等于n站所测高差之和，即：hAB=h1+h2+···+hn式中hi为各站的观测高差。设每站的高差观测中误差均为m站，则A、B两点之间的高差中误差为：表明：水准测量高差的中误差等于各站高差观测中误差的倍，即与测站数的平方根成正比。第七十页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日当水准路线通过平坦地区时，各站的视线长度大致相等，每千米的测站数也大致相同。故可认为每千米水准测量高差的中误差相同，设为mkm。当A、B两点之间的水准路线长为Skm时，A、B两点间高差的中误差为：表明：在平坦地区进行水准测量时，水准测量高差的中误差与距离S的平方根成正比。可见，水准路线越长，高差中误差就越大。所以，为保证测量精度，《规范》对不同等级的水准测量的路线长度作了限制。第七十一页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日例2、在长为R公理的水准路线上，进行往、返观测，已知往返测高差中数的每公里中误差为m，问往返测高差较差的中误差是多少？在四等水准测量中，已知m=±5mm，问往返测高差较差的极限值应为多少？解（1）高差中数是往返测高差的平均数。若已知每公里高差中数的中误差为m，则单程观测每公里的高差中误差为：当路线长为R公里时，单程观测高差的中误差为：第七十二页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日（2）取两倍中误差为极限误差，并以m=±5mm代入，则四等水准往返测高差较差的极限值为：往返测高差较差及其中误差为：R是水准路线长，单位km。第七十三页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日三、角度测量的误差传递（一）水平角观测的精度与前面所述各种误差的综合影响有关，如仪器误差、对中误差、目标偏心、外界条件影响、观测误差、人员条件等。在这些误差中大都包含系统误差和偶然误差，系统误差可以采取相应措施使其消除或减小。剩下的真误差将是各个独立偶然误差的代数和。这里就只包括照准误差和读数误差在内的观测误差进行分析。用m照表示望远镜照准误差，通常用来估计照准误差，V为望远镜放大率。对DJ6型经纬仪，V=26ˆ，则又设DJ6型经纬仪的读数误差m读=6"第七十四页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日一测回的方向值是上、下两个半测回方向值的平均值，即：而方向值的每次观测都是一次瞄准和一次读数的结果。即:b左=b右=a左=a右=L瞄准+L读数，所以m2每次=m2照+m2读而一测回的方向值是：第七十五页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日由误差传播定律可知，一测回的方向中误差m方为：第七十六页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日实际上因为仪器使用时轴系间的磨损及其它不利因素的影响，设计精度一般要更高一点，新出厂的仪器在精度上有所富裕。DJ6型经纬仪设计时考虑了各种误差的综合影响，保证野外一测回的方向中误差为6“。现以m方=6″为依据，按误差传播定律来分析水平角观测精度。第七十七页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日设野外一测回的方向中误差m方=6″，则各测回同一方向的较差为：L方d=L方1-L方2则各测回同一方向的较差中误差m方d为：由于一测回的方向值是两个半测回方向值的平均值，即：则半测回方向值的中误差为：第七十八页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日从而得到上、下两个半测回同一方向的较差为：L半方d=b左-（b右±180º）=a左-（a右±180º）由于角值是两个方向值之差，故得野外一测回角值的中误差mβ为：由误差传播定律得：上、下两个半测回同一方向的较差中误差m半方d为：m2半方d=m2半方+m2半方=2m2半方，即:第七十九页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日5-7加权平均值及其中误差（一）权在对某一未知量进行非等精度观测时，各观测结果的中误差也各不相同，各观测值便具有不同程度的可靠性。在求未知量的最可靠值时，就不能象等精度观测那样简单地取算术平均值。

各非等精度观测值的可靠程度，称为各观测值的权。“权”是权衡轻重的意思。观测值的精度愈高，其权愈大。例如，设对某一未知量进行了两组非等精度观测，但每组内各观测值是等精度的。设第一组观测了四次，其观测值为l1、12、l3、l4;第二组观测了三次，观测值为l1′、12′、l3′。第八十页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日这些观测值的可靠程度都相同，则每组分别取算术平均值作为最后观测值，即对观测值L1、L2来说，彼此是非等精度的观测，故观测值的最后结果应为上式计算实际是：从非等精度的观点来看，观测值L1是四次观测值的平均值，L2是三次观测值的平均值。两者的可靠性是不一样的，故可取4和3为其相应的权，以表示两者可靠程度的差别。权通常以字母P表示，且为正值。第八十一页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第八十二页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日（二）权与中误差的关系一定的中误差，对应着一个确定的误差分布，即对应着一定的观测条件。观测结果的中误差愈小，其结果愈可靠，权就愈大。因此可以根据中误差来定义观测结果的权。设非等精度观测值的中误差分别为m1、m2、…、mn,则权可定义为：权与中误差的平方成反比。其中λ为任意大于零的常数。据上例，l1、12、l3、l4、l1′、12′、l3′是等精度观测列，设其观测值的中误差皆为m，则第一组算术平均值L1的中误差m1可求：同理设第二组平均值L2的中误差为m2，有第八十三页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日根据权的定义，分别得L1和L2的权：式中λ为任意正常数。设λ=m2，则L1、L2的权为：p1=4,p2=3例设以非等精度观测某角度，各观测结果的中误差分别为m1=±2.0″、m2=±3.0″、m3=±6.0″，则其权各为设λ=4，则第八十四页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日设λ=36，则p1=9，p2=4，p3=1,任意选择λ值，可以使权变为便于计算的数值。例设对某一未知量进行了n次观测，求算术平均值的权。设一测回角度观测值的中误差为m,则算术平均值的中误差由权的定义并设λ=m2，则一测回观测值的权为算术平均值的权为第八十五页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日由上知，取一测回角度观测值之权为1，则n个测回观测值的算术平均值的权为n。故角度观测的权与其测回数成正比。在非等精度观测中引入“权”的概念，可以建立各观测值之间的精度比值，以便更合理地处理观测数据。第八十六页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日（三）单位权和单位权中误差

例如，设每一测回的观测值的中误差为m2，其权为p0，并设λ=m2,则权等于1的权称为单位权p0，而权等于1的中误差称为单位权中误差，一般用m0或µ表示。对于中误差为mi的观测值，其权pi为则相应的中误差的另一表达式可写为:第八十七页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日

(四)加权算术平均值及其中误差1、加权算术平均值设对同一未知量进行了n次非等精度观测，观测值为l1、L2、…ln,其相应的权为p1、p2、…pn,则加权算术平均值L0为非等精度观测值的最可靠值，其计算公式可写为或2、加权算术平均值的中误差M0第八十八页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日式中m1、m2、…mn相应为l1、l2、…ln的中误差。由定义得：p1m12=p2m22=…pnmn2=m02(m0为单位权中误差)，故有由nm02=p1m12+…+pnmn2可知，当n足够大时，mi可用相应观测值li的真误差△i来代替，故即可得单位权中误差m0为：第八十九页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日于是可得，此式即为用真误差计算加权算术平均值的中误差的公式。实用中常用观测值的改正数vi=L0-li来计算中误差M0，其中L0是加权算术平均值，li为观测值。于是有：第九十页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日确定权的方法：例6-8在相同的观测条件下，对某一未知量分别用不同的次数n1、n2、n3进行观测，得相应的算术平均值为L1、L2、L3,求L1、L2、L3的权。解：设各观测值算术平均值L1、L2、L3的中误差分别为m1、m2、m3。若观测一次的中误差为m，则由算术平均值的中误差公式得:第九十一页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日例5-9用同样观测方法，经由长度为L1,L2,L3的三条不同路线，测量两点间的高差，分别得出高差为h1,h2,h3。已知每公里的高差中误差为mkm,求三个高差的权。第九十二页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日不同精度观测值的最或然值设对某角进行了两组观测，第一组测n1个测回，其平均值为L1,第二组测n2个测回，其平均值为L2。第九十三页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日加权平均值的中误差

第九十四页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日单位权中误差的计算第九十五页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日用最或然误差计算单位权中误差（1）第九十六页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第九十七页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日例5-10如图，从已知水准点A,B,C,D经四条水准路线，测得E点的高程及水准路线长见下表。求E点的最或然值及其中误差，及每公里高差的中误差。第九十八页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日表5-7不同精度观测的数据处理水准路线E点的观测高程路线长(km)Pi=1/LiδL(mm)piδLiv(mm)pvpvv123456789158.7591.520.66+1+0.66+8+5.342.4258.7841.430.70+26+18.20-17-11.9202.3358.7581.510.6600+9+5.953.1458.7671.620.62+9+5.58000[p]=2.64[pδL]=24.44[pv]=-0.7[pvv]=297.8第九十九页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第一百页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第一百零一页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第一百零二页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日第一百零三页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日例17（L）如图，经A、B、C水准点三条水准路线L1、L2、L3测定结点Q的高程，其观测值Hi和路线长Li见表，试求Q点最或然值及其中误差，各观测值中误差，每公里线路观测值中误差。列表计算如下：路线高程观测值H/m路线长L/km权P=100/L改正数（Vi=H0-Hi）v/mmPv/mmPvv/mmL148.75945.62.2+13+28.6372L248.78432.83.0-12-36.0432L348.76840.32.5+4+10.040∑7.7+2.6844第一百零四页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日(1)加权平均值的计算观测值的权按式计算，其中取C=100km，表示100km的水准测量观测值的权P=1。(2)单位权中误差的计算由于单位权观测值是以100km计的，因此计算的单位权中误差也是以100km为单位的，即第一百零五页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日(3)加权平均值中误差的计算：注：从上表得：[pv]=+2.6mm,不为0，表明有凑整误差，如果[pv]的绝对值未超过0.5[p],（本例为0.5×7.7mm=3.9mm）,可忽略不计。否则应检查其原因，直至达到要求为止。第一百零六页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日(4)各观测值中误差的计算(5)每公里观测值中误差的计算计算每公里观测值中误差，是为了查看测量精度是否符合规范要求。每公里观测值的权Pkm应为：第一百零七页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日例18设对N个多边形内角进行观测，其内角闭合差为ω1、ω2、…ωn，相应多边形内角数为n1、n2、…nN，试求测角中误差mβ。解：观测值闭合差即为真误差，观测值的权即为内角代数和的权。权与内角数ni成反比，pi=c/ni。取c=1，即一个内角为单位权观测值，而单位权中误差µ，即为测角中误差mβ。根据式可得即第一百零八页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日上式用于计算导线测量中的测角中误差。当式中n1=n2=…=nN=3时，上式变为菲列罗公式。第一百零九页，共一百二十二页，编辑于2023年，星期日思考题：1、名词解释：系统误差、偶然误差、绝对误差、相对误差、最或然值、精密度、准确度、权、单位权观测值。2、测