用放缩法证明数列中的不等式(超级好!)

用放缩法证明

数列中的不等式

普宁侨中郑庆宏2021/5/91

放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容，在近几年的广东高考数列试题中都有考查.放缩法灵活多变，技巧性要求较高，所谓“放大一点点就太大，缩小一点点又太小”，这就让同学们找不到头绪，摸不着规律，总觉得高不可攀！高考命题专家说：“放缩是一种能力.”

如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键所在！其实，任何事物都有其内在规律，放缩法也是“有法可依”的，本节课我们一起来研究数列问题中一些常见的放缩类型及方法，破解其思维过程，揭开其神秘的面纱，领略和感受放缩法的无限魅力！2021/5/922021/5/93一.放缩目标模型——可求和2021/5/94不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.分析左边表面是证数列不等式，实质是数列求和2021/5/95不等式左边可用“错位相减法”求和.分析由错位相减法得表面是证数列不等式，实质是数列求和2021/5/96左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，如何放缩？分析将通项放缩为等比数列注意到左边2021/5/97左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，如何放缩？分析注意到将通项放缩为错位相减模型2021/5/98【方法总结之一】2021/5/992021/5/910左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩.分析表面是证数列不等式，实质是数列求和2021/5/911左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消模型后求和.分析保留第一项，从第二项开始放缩当n=1时，不等式显然也成立.2021/5/912变式2的结论比变式1强，要达目的，须将变式1放缩的“度”进行修正，如何修正？分析保留前两项，从第三项开始放缩思路一左边将变式1的通项从第三项才开始放缩.当n=1,2时，不等式显然也成立.2021/5/913变式2的结论比变式1强，要达目的，须将变式1放缩的“度”进行修正，如何修正？分析保留第一项，从第二项开始放缩思路二左边将通项放得比变式1更小一点.当n=1时，不等式显然也成立.2021/5/914变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？分析保留前两项，从第三项开始放缩思路一左边将变式2思路二中通项从第三项才开始放缩.当n=1,2时，不等式显然也成立.2021/5/915变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？分析保留第一项，从第二项开始放缩思路二左边将通项放得比变式2思路二更小一点.当n=1时，不等式显然也成立.2021/5/916评注2021/5/917【方法总结之二】

放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程中，很多时候要“留一手”，即采用“有所保留”的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放得过大或缩得过小.2021/5/918牛刀小试（变式练习1）证明当n=1时，不等式显然也成立.2021/5/919（08·辽宁卷）已知：求证：.故当时，有也成立．2021/5/920练习:已知数列中,求证:.当时，有也成立．2021/5/921常见的裂项放缩技巧：4.1.3.5.6.2.2021/5/922右边保留第一项思路为了确定S的整数部分，必须将S的值放缩在相邻的两个整数之间.2021/5/923分析思路左边利用指数函数的单调性放缩为等比模型∵∴2021/5/924分析左边∵∴保留第一项，从第二项开始放缩左边不能直接求和，能否仿照例4的方法将通项也放缩为等比模型后求和？

当n=1时，不等式显然也成立.2021/5/925【方法总结之三】2021/5/926已知数列中,求证:.故当时，有也成立．2021/5/927思路2021/5/928证明∵∴评注用分析法寻找证明思路显得一气呵成！2021/5/929【方法总结之四】2021/5/930二.放缩目标模型——可求积2021/5/931思路2021/5/932证明∵∴2021/5/933【方法总结之五】2021/5/934牛刀小试（变式练习2）(1998全国理25第(2)问)证明2021/5/935课堂小结

本节课我们一起研究了利用放缩法证明数列不等式，从中我们可以感受到在平时的学习中有意识地去积累总结一些常用的放缩模型和放缩方法非常必要，厚积薄发，“量变引起质变”.当然，要想达到炉火纯青的深厚功力，还必须在实践中不断去感悟，仔细揣摩其方法，逐步内化为自己个人的“修为”.南宋杰出的诗人陆游说得好：“古人学问无遗力，少壮工夫老始成。纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”讲的就是这个道理.2021/5/936例如：我们可以这样总结本节课学到的放缩模型：放缩目标模型可求和可求积等差模型等比模型错位相减模型裂项相消模型2021/5/937又如：我们可以