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节方向导数、梯度和泰勒公式2021/5/91实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．一、问题的提出2021/5/92讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．二、方向导数的定义（如图）2021/5/93当沿着趋于时，是否存在？2021/5/94记为2021/5/95证明由于函数可微，则增量可表示为两边同除以得到2021/5/96故有方向导数2021/5/97解2021/5/98解由方向导数的计算公式知2021/5/99故2021/5/910推广可得三元函数方向导数的定义2021/5/9112021/5/912解令故方向余弦为2021/5/913故2021/5/914三、梯度的概念2021/5/9152021/5/916结论2021/5/917在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影如图等高线梯度为等高线上的法向量2021/5/918等高线的画法播放2021/5/919例如,2021/5/920梯度与等高线的关系：2021/5/921类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数2021/5/9222021/5/923解由梯度计算公式得故2021/5/9241、方向导数的概念2、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）（注意梯度是一个向量）四、小结2021/5/925思考题2021/5/926思考题解答2021/5/9272021/5/928练习题2021/5/9292021/5/930练习题答案2021/5/931等高线的画法2021/5/932等高线的画法2021/5/933等高线的画法2021/5/934等高线的画法2021/5/935等高线的画法2021/5/93

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