时间序列分析-第三章 滑动平均模型和自回归滑动平均模型

章滑动平均模型与自回归滑动平均模型2021/5/91本章结构滑动平均模型

ARMA模型

2021/5/92§3.1滑动平均模型

模型引入MA(q)和MA(q)序列最小序列MA(q)系数的递推计算MA(q)模型举例2021/5/93q步相关平稳序列的自协方差函数若满足，

，则称是q步相关的。2021/5/94滑动平均模型的例子每隔两小时记录的化学反应数据时间序列。一阶差分得

的样本自相关系数列呈现截尾性。

2021/5/95可以拟合(1.1)

模型特点是1步截尾

2021/5/96MA(q)模型和MA(q)序列定义1.1设是，如果实数

使得则称(1.2)是q阶滑动平均模型，简称为MA(q)模型；

2021/5/97称由(1.2)决定的平均序列是滑动平均模型，简称为MA(q)序列。如果进一步要求多项式在单位圆周上也没有零点：当，则称(1.2)是可逆的MA(q)模型，称相应的平稳时间序列是可逆的MA(q)序列。2021/5/98MA的特征用推移算子把模型写为(1.3)对于可逆MA，

有Taylor展式所以(1.4)2021/5/99MA序列的自协方差函数记，则对MA(q)序列有，(1.5)

2021/5/910MA序列的谱密度定理1.1MA(q)序列的自协方差函数是q步截尾的：(1.6)并且有谱密度(1.7)2021/5/911MA(q)序列的充要条件定理1.3设零均值平稳序列有自协方差函数，则是MA(q)序列的充分必要是2021/5/912引理1.2引理1.2设实常数使得和则有唯一的实系数多项式：(1.8)使得这里为某个正常数。(注：)2021/5/913定理1.3的证明由自协方差绝对可和时谱密度公式得由引理，

单位圆内没有根

2021/5/914如果在单位圆上都没有根，则可定义，用线性滤波的谱密度公式可得的谱密度是白噪声谱密度。单位圆上可能有根的一般情况可以用hilbert空间预测的方法证明。2021/5/915MA(q)系数的计算MA(q)序列的系数及可以被数唯一确定。可以用文献方法计算模型参数。2021/5/916MA(q)系数的计算记(1.11)2021/5/917则有：(1.12)其中.(1.13)2021/5/918MA(1)序列可逆MA(1)自协方差和自相关2021/5/919谱密度偏相关系数不截尾：逆表示2021/5/920MA(2)序列可逆MA(2)可逆域：2021/5/921自协方差自相关系数谱密度2021/5/922MA(2)序列的实际例子MA(2)的实际例子：特征根为。2021/5/9232021/5/924§3.2自回归滑动平均模型ARMA(p,q)模型及其平稳解ARMA(p,q)序列的自协方差函数ARMA(p,q)模型的可识别性ARMA序列的谱密度和可逆性例子2021/5/925ARMA模型定义2.1设是。实系数多项式和没有公共根。满足以及：(2.1)2021/5/926就称差分方程：(2.2)是一个自回归滑动平均模型，简称ARMA(p,q)模型。称满足(2.2)的平稳序列为平稳解或ARMA(p,q)序列。2021/5/927ARMA模型平稳解模型写成(2.3)

在解析(为的所有根)，可以Taylor展开(2.4)易见

是线性平稳列。

2021/5/928两边用作用即是ARMA(p,q)模型(2.2)的解。2021/5/929惟一平稳解反之，若是(2.2)的一个平稳解，在(2.2)两边用既得即(2.6)是ARMA(p,q)模型(2.2)的唯一平稳解。2021/5/930称(2.6)中的为的Word系数。定理2.1由(2.6)定义的平稳序列是ARMA(p,q)模型(2.2)的唯一平稳解。2021/5/931ARMA模型方程的通解模型(2.2)的任意解可写成(2.7)其中为平稳解(2.6).为的全体互不相同的零点。有重数随机变量由唯一决定。2021/5/932ARMA序列的模拟生成(2.8)可以据此模拟ARMA模型：取初值

递推的当m较大时取后一段作为ARMA(p,q)模型的模拟数据。当有靠近单位圆的根时m要取得较大2021/5/933ARMA序列的自协方差函数

可由wold系数表示：(2.10)由于由(2.10)可得2021/5/934ARMA模型Wold系数的递推公式记或由参数计算时可以递推(2.11)2021/5/935Wold递推公式的证明记。注意

2021/5/936比较系数得即(2.11)成立。2021/5/937可识别性我们将证明：由ARMA(p,q)模型的自协方差函数可以决定ARMA(p,q)模型的参数2021/5/938引理2.2设是(2.2)的平稳解。如果又有白噪声和实系数多项式使得成立。则的阶数的阶数。2021/5/939ARMA序列的Y-W方程ARMA模型的平稳解为所以2021/5/940（1）两边同乘以求期望得即2021/5/941当时上式为2021/5/942总之(2.14)对的Y-W方程可以写成矩阵形式：(2.15)2021/5/943把系数矩阵记为：只要可逆则可解出。2021/5/944（2）解出后令则是一个MA(q)序列。其自协方差函数为q步截尾，且2021/5/945可以用3.1的方法唯一解出。于是，只要可逆，则ARMA(p,q)序列的自协方差函数和ARMA(p,q)模型的参数

相互惟一决定。2021/5/946ARMA模型中AR部分的参数求解定理2.3设为ARMA(p,q)序列的自协方差函数列，则时可逆。证明：用反证法然后由引理2.2导出矛盾。2021/5/947设不满秩。则存在

使得即(2.18)2021/5/948注意当时，。所以这是

。所以取有2021/5/949递推得上式当时也成立。因此2021/5/950令，则是零均值平稳列，利用可知的自协方差步截尾。是MA(q-1)序列，存在使得

与引理2.2矛盾。2021/5/951ARMA模型的一个充分条件定理2.4设零均值平稳序列有自协方差函数。又设实数

使得满足最小相位条件，另外(2.9)则是一个ARMA序列。其中2021/5/952定理2.4证明证明：设，则是零均值平稳序列。满足2021/5/953所以有说明的自协方差函数是q后截尾的。2021/5/954由定理1.3知道，为一个MA(q)序列。即存在单位圆内没有根的q阶实系数多项式使得和(2.20)其中是2021/5/955如果和没有公因子，上述模型就是所需要的ARMA(p,q)模型。否则设公因子是，则有

这是(2.20)变成两边乘以(显然也满足最小相位条件)后得到所需要ARMA模型：2021/5/956为2021/5/957有理谱密度由于ARMA序列的绝对可和，以及平稳解的线性序列表达式，可得ARMA(p,q)序列(2.6)有谱密度