《“飞天”凌空》教案03名师(完整版)资料

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《“飞天”凌空》教案03名师（完整版）资料(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）3“飞天”凌空教学目标知识与能力1．掌握“翘首”“悄然”“屏息敛声”“眼花缭乱”“震耳欲聋”等词语的读音和含义。2．了解新闻特写的有关知识，提高阅读新闻特写的能力。过程与方法在大声诵读的过程中体会新闻特写的特点，培养快速阅读新闻特写的能力。情感态度与价值观感受中国健儿在运动场上的精彩瞬间，增强民族自豪感和自信心，培养热爱祖国的情感，树立为国争光的理想。重点了解新闻特写的有关知识，提高阅读新闻的能力。难点体会新闻特写中的“特写”的方法及作用。教学方法：诵读法、点拨法、合作探究法。课前准备吕伟10米跳台的视频资料、敦煌壁画中“飞天”的图片、课文音频朗读资料。教学课时1课时教学过程一、新课导入1982年11月24日，在印度新德里举行的第九届亚运会上，中国运动员吕伟获得了10米高台跳水的冠军。(播放吕伟跳水的视频)，她跳水的这一过程，被记者夏浩然、樊云芳用生动的语言报道了出来。今天，我们来欣赏他们对吕伟跳水的精彩报道。二、文本链接1．新闻特写与消息的异同相同点：二者都是新闻的范畴，都要真实地报道新闻事实。不同点：消息，要迅速及时，真实准确地报道新闻事件的全过程。而新闻特写不要求报道新闻的全过程，只抓住新闻过程中的一个片段或场景对事件或人物做出形象化的报道，可以借助一些文学手法。2．敦煌壁画：敦煌飞天是敦煌莫高窟的名片，是敦煌艺术的标志。只要看到优美的飞天，人们就会想到敦煌莫高窟艺术。敦煌莫高窟492个洞窟中，几乎窟窟画有飞天。三、整体感知1．老师范读或播放音频朗读，思考：这篇新闻特写报道的主要事实是什么？中国跳水运动员吕伟赢得女子十米跳台金牌。2．学生大声朗读课文，本文在写法上最大的特点是什么？抓住吕伟跳水的瞬间，进行了生动细致的描绘，展现跳水动作的“妙极”。四、课文精读1．文章开头写她站在10米高台的姿态，为什么还要写“白云”、写“飞鸟”？用白云、飞鸟衬托她的“沉静自若、风度优雅”。2．在这篇新闻特写中，作者扣住吕伟跳水时的一个片段进行描写。(1)作者分三步描写了吕伟跳水的动作，哪三步？走路、腾空、入水。(2)选用准确的动词，口述吕伟跳水的过程。动词的选用有什么特点及作用？轻舒双臂，向上举起，轻轻一蹬，向空中飞去。紧接着，向前翻腾一周半，在空中转体三周，插进碧波之中。这些动词，准确生动地再现了吕伟跳水的过程，突出了动作的舒展自如。(3)“一瞬间，她那修长美妙的身体犹如被空气托住了，衬着蓝天白云，酷似敦煌壁画中凌空翔舞的‘飞天’。”用了什么修辞手法？有什么作用？比喻。把吕伟凌空的姿态比喻为“凌空翔舞”的“飞天”，“飞天”是中国艺术中的精品，是中国人的骄傲，用它为喻，生动地展现了吕伟姿态的美妙，表现了作者的赞美之情，也与文题相呼应。(4)读第4段，思考并回答：①“像轻盈的、笔直的箭，‘哧’地插进碧波之中”用了什么修辞手法？有什么作用？比喻。展现了吕伟入水动作的轻盈、迅速、完美。表达了作者的赞叹之情。②本段中写到了观众的反映，还写了“四面水花则悄然不惊”，有什么作用？从侧面烘托吕伟动作的迅速、轻盈、完美。3．课文结尾写到一个外国记者的表现、观众的欢呼声、印度观众的惊讶，有什么作用？从侧面烘托出吕伟这一跳的完美，也表现了作者作为一个中国人的自豪感。五、写作特色1．新闻性强。迅速及时、真实准确地报道了吕伟赢得10米跳台冠军的新闻事实。2．描写细致生动。文章选取吕伟跳水的过程这一片段进行了生动细致地描写。起跳——腾空——入水，动词选用准确，描绘细致逼真。3．综合运用多种文学手法。(1)比喻修辞手法的运用。“酷似敦煌壁画中凌空翔舞的‘飞天’”、“动作疾如流星”、“像轻盈的、笔直的箭”等。(2)侧面烘托。开头以“白云”“飞鸟”之动衬托吕伟沉静自若。结尾用外国记者“跳起来”、观众震耳欲聋的掌声和欢呼声、印度观众的“惊讶不已”从侧面突出吕伟这一跳的美妙。六、板书总结eq\a\vs4\al(“飞天”,凌空)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(跳前的气氛\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(吕伟：沉静,观众：期待)),跳水的过程：起跳—腾空—入水—妙,观众的反应\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(跳起来,掌声欢呼声,惊讶不已))))eq\a\vs4\al(为国争光)eq\a\vs4\al(骄傲自豪)教学反思这篇新闻特写层次清晰，语言生动。我在教学过程中，在引导学生理清结构层次的基础上，着重品味文章的语言，探讨文章的写法。学过之后，同学们对新闻特写这一文体的文章特点有了整体感知，激发了对新闻特写阅读的兴趣，提高了阅读新闻特写的能力。第三章中值定理与导数的应用教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。§3.1中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义并且在x0处可导如果对任意xU(x0)有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))那么f(x0)0罗尔定理如果函数yf(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且有f(a)f(b),那么在(a,b)内至少在一点,使得f()0.简要证明(1)如果f(x)是常函数,则f(x)0,定理的结论显然成立.(2)如果f(x)不是常函数,则f(x)在(a,b)内至少有一个最大值点或最小值点,不妨设有一最大值点(a,b).于是所以f(x)=0.罗尔定理的几何意义:二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么在(a,b)内至少有一点(a<<b),使得等式f(b)f(a)f()(ba)成立.拉格朗日中值定理的几何意义:f()定理的证明:引进辅函数令(x)f(x)f(a)(xa).容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件:(a)(b)0,(x)在闭区间[a,b]上连续在开区间(a,b)内可导,且(x)f(x).根据罗尔定理,可知在开区间(a,b)内至少有一点,使()0,即f()0.由此得f(),即f(b)f(a)f()(ba).定理证毕.f(b)f(a)f()(ba)叫做拉格朗日中值公式.这个公式对于b<a也成立.拉格朗日中值公式的其它形式:设x为区间[a,b]内一点,xx为这区间内的另一点(x>0或x<0),则在[x,xx](x>0)或[xx,x](x<0)应用拉格朗日中值公式,得f(xx)f(x)f(xqx)x(0<q<1).如果记f(x)为y,则上式又可写为yf(xqx)x(0<q<1).试与微分dyf(x)x比较:dyf(x)x是函数增量y的近似表达式,而f(xqx)x是函数增量y的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用,我们证明如下定理:定理如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零,那么f(x)在区间I上是一个常数.证在区间I上任取两点x1,x2(x1<x2),应用拉格朗日中值定理,就得f(x2)f(x1)f()(x2x1)(x1<<x2).由假定,f()0,所以f(x2)f(x1)0,即f(x2)f(x1).因为x1,x2是I上任意两点,所以上面的等式表明:f(x)在I上的函数值总是相等的,这就是说,f(x)在区间I上是一个常数.例2.证明当x0时,.证设f(x)ln(1x),显然f(x)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件,根据定理,就有f(x)f(0)f()(x0),0<<x。由于f(0)0,,因此上式即为.又由0x,有.三、柯西中值定理设曲线弧C由参数方程(axb)表示,其中x为参数.如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线,那么在曲线C上必有一点x,使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB,曲线C上点x处的切线的斜率为,弦AB的斜率为.于是.柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且F(x)在(a,b)内的每一点处均不为零,那么在(a,b)内至少有一点,使等式成立.显然,如果取F(x)x,那么F(b)F(a)ba,F(x)1,因而柯西中值公式就可以写成:f(b)f(a)f()(ba)(a<<b),这样就变成了拉格朗日中值公式了.§3.3泰勒公式对于一些较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于用多项式表示的函数,只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算,便能求出它的函数值,因此我们经常用多项式来近似表达函数.在微分的应用中已经知道,当|x|很小时,有如下的近似等式:ex»1+x,ln(1+x)»x.这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子.但是这种近似表达式还存在着不足之处:首先是精确度不高,这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小;其次是用它来作近似计算时,不能具体估算出误差大小.因此,对于精确度要求较高且需要估计误差时候,就必须用高次多项式来近似表达函数,同时给出误差公式.设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数,现在我们希望做的是:找出一个关于(x-x0)的n次多项式pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+×××+an(x-x0)n来近似表达f(x),要求pn(x)与f(x)之差是比(x-x0)n高阶的无穷小,并给出误差|f(x)-pn(x)|的具体表达式.我们自然希望pn(x)与f(x)在x0的各阶导数(直到(n+1)阶导数)相等,这样就有pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+×××+an(x-x0)n,pn¢(x)=a1+2a2(x-x0)+×××+nan(x-x0)n-1,pn¢¢(x)=2a2+3×2a3(x-x0)+×××+n(n-1)an(x-x0)n-2,pn¢¢¢(x)=3!a3+4×3×2a4(x-x0)+×××+n(n-1)(n-2)an(x-x0)n-3,××××××,pn(n)(x)=n!an.于是pn(x0)=a0,pn¢(x0)=a1,pn¢¢(x0)=2!a2,pn¢¢¢(x)=3!a3,×××,pn(n)(x)=n!an.按要求有f(x0)=pn(x0)=a0,f¢(x0)=pn¢(x0)=a1,f¢¢(x0)=pn¢¢(x0)=2!a2,f¢¢¢(x0)=pn¢¢¢(x0)=3!a3,××××××f(n)(x0)=pn(n)(x0)=n!an.从而有a0=f(x0),a1=f¢(x0),,×××,,.(k0,1,2,,n)于是就有pn(x)=f(x0)+f¢(x0)(x-x0)(x-x0)2+×××(x-x0)n.泰勒中值定理如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)的阶导数,则当x在(a,b)内时,f(x)可以表示为(x-x0)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和:其中(介于x0与x之间).这里多项式称为函数f(x)按(x-x0)的幂展开的n次近似多项式,公式+×××,称为f(x)按(x-x0)的幂展开的n阶泰勒公式,而Rn(x)的表达式其中(介于x与x0之间).称为拉格朗日型余项.当n=0时,泰勒公式变成拉格朗日中值公式:f(x)=f(x0)+f¢()(x-x0)(在x0与x之间).因此,泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.如果对于某个固定的n,当x在区间(a,b)内变动时,|f(n+1)(x)|总不超过一个常数M,则有估计式:,及.可见,妆x®x0时,误差|Rn(x)|是比(x-x0)n高阶的无穷小,即Rn(x)=o[(x-x0)n].在不需要余项的精确表达式时,n阶泰勒公式也可写成+×××当x0=0时的泰勒公式称为麦克劳林公式,就是,或,其中.由此得近似公式:误差估计式变为:.例1．写出函数f(x)ex的n阶麦克劳林公式.解:因为f(x)f(x)f(x)f(n)(x)ex,所以f(0)f(0)f(0)f(n)(0)1,于是(0<),并有.这时所产性的误差为|Rn(x)||xn1|<|x|n1.当x1时,可得e的近似式:.其误差为|Rn|<.例2．求f(x)sinx的n阶麦克劳林公式.解:因为f(x)cosx,f(x)sinx,f(x)cosx,,,,f(0)0,f(0)1,f(0)0,f(0)1,f(4)(0)0,,于是.当m1、2、3时,有近似公式sinxx,,.§3.4函数单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法如果函数yf(x)在[a,b]上单调增加（单调减少）,那么它的图形是一条沿x轴正向上升（下降）的曲线.这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）,即yf(x)0(yf(x)0).由此可见,函数的单调性与导数的符号有着密切的关系.反过来,能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？定理1(函数单调性的判定法)设函数yf(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.(1)如果在(a,b)内f(x)>0,那么函数yf(x)在[a,b]上单调增加;(2)如果在(a,b)内f(x)<0,那么函数yf(x)在[a,b]上单调减少.证明只证(1).在[a,b]上任取两点x1,x2(x1<x2),应用拉格朗日中值定理,得到f(x2)f(x1)f()(x2x1)(x1<<x2).由于在上式中,x2x1>0,因此,如果在(a,b)内导数f(x)保持正号,即f(x)>0,那么也有f()>0.于是f(x2)f(x1)f()(x2x1)>0,即f(x1)<f(x2),这函数yf(x)在[a,b]上单调增加.注:判定法中的闭区间可换成其他各种区间.例1判定函数yxsinx在[0,2]上的单调性.解因为在(0,2)内y1cosx>0,所以由判定法可知函数yxcosx在[0,2]上的单调增加.例2讨论函数yexx1的单调性.（没指明在什么区间怎么办？)解yex1.函数yexx1的定义域为(,).因为在(,0)内y<0,所以函数yexx1在(,0]上单调减少;因为在(0,)内y>0,所以函数yexx1在[0,)上单调增加.例3.讨论函数的单调性.解:函数的定义域为(,).当时,函数的导数为(x0),函数在x0处不可导.当x0时,函数的导数不存在.因为x<0时,y<0,所以函数在(,0]上单调减少;因为x>0时,y>0,所以函数在[0,)上单调增加.如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,那么只要用方程f(x)0的根及导数不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,就能保证f(x)在各个部分区间内保持固定的符号,因而函数f(x)在每个部分区间上单调.例4.确定函数f(x)2x39x212x3的单调区间.解这个函数的定义域为:(,).函数的导数为:f(x)6x218x126(x1)(x2).导数为零的点有两个:x11、x22.列表分析:(,1][1,2][2,)f(x)f(x)↗↘↗函数f(x)在区间(,1]和[2,)内单调增加,在区间[1,2]上单调减少.例5.讨论函数yx3的单调性.解函数的定义域为:(,).函数的导数为:y3x2.除当x0时,y0外,在其余各点处均有y>0.因此函数yx3在区间(,0]及[0,)内都是单调增加的.从而在整个定义域:(,)内是单调增加的.在x0处曲线有一水平切线.一般地,如果f(x)在某区间内的有限个点处为零,在其余各点处均为正（或负）时,那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.例6.证明:当x1时,.证明:令,则.因为当x>1时,f(x)>0,因此f(x)在[1,)上f(x)单调增加,从而当x>1时,f(x)>f(1).由于f(1)0,故f(x)>f(1)0,即,也就是(x1).二、曲线的凹凸与拐点凹凸性的概念x1x1x2yxOf(x2)f(x1)x1x2yxOf(x2)f(x1)定义设f(x)在区间I上连续,如果对I上任意两点x1,x2,恒有,那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有,那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧).定义设函数yf(x)在区间I上连续,如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的.凹凸性的判定:定理设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么(1)若在(a,b)内f(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;(2)若在(a,b)内f(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的.简要证明只证(1)设x1x2[ab]且x1x2记由拉格朗日中值公式得两式相加并应用拉格朗日中值公式得即所以f(x)在[a,b]上的图形是凹的拐点:连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点.确定曲线yf(x)的凹凸区间和拐点的步骤:(1)确定函数yf(x)的定义域;(2)求出在二阶导数f`(x);(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点;(4)判断或列表判断,确定出曲线凹凸区间和拐点;注:根据具体情况（1）（3）步有时省略.例1.判断曲线ylnx的凹凸性.解,.因为在函数ylnx的定义域(0,)内,y<0,所以曲线ylnx是凸的.例2.判断曲线yx3的凹凸性.解y3x2,y6x.由y0,得x0因为当x<0时,y<0,所以曲线在(,0]内为凸的;因为当x>0时,y>0,所以曲线在[0,)内为凹的.例3.求曲线y2x33x22x14的拐点.解y6x26x12,.令y0,得因为当时,y0;当时,y0,所以点(,)是曲线的拐点.例4.求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间.解(1)函数y3x44x31的定义域为(,);(2),;(3)解方程y0,得,;(4)列表判断:(,0)0(0,2/3)2/3(2/3,)f(x)00f(x)111/27在区间(,0]和[2/3,)上曲线是凹的,在区间[0,2/3]上曲线是凸的.点(0,1)和(2/3,11/27)是曲线的拐点.例5问曲线yx4是否有拐点？解y4x3,y12x2.当x0时,y>0,在区间(,)内曲线是凹的,因此曲线无拐点.例6求曲线的拐点解(1)函数的定义域为(,);(2),;(3)无二阶导数为零的点,二阶导数不存在的点为x0;(4)判断:当x<0当,y>0;当x>0时,y<0.因此,点(0,0)曲线的拐点.§3.5函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法极值的定义:定义设函数f(x)在区间(a,b)内有定义,x0Î(a,b).如果在x0的某一去心邻域内有f(x)<f(x0),则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值;如果在x0的某一去心邻域内有f(x)>f(x0),则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值.设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义如果在去心邻域U(x0)内有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点.函数的极大值和极小值概念是局部性的.如果f(x0)是函数f(x)的一个极大值,那只是就x0附近的一个局部范围来说,f(x0)是f(x)的一个最大值;如果就f(x)的整个定义域来说,f(x0)不一定是最大值.关于极小值也类似.极值与水平切线的关系:在函数取得极值处,曲线上的切线是水平的.但曲线上有水平切线的地方,函数不一定取得极值.定理1(必要条件)设函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取得极值,那么这函数在x0处的导数为零,即f¢(x0)=0.证为确定起见,假定f(x0)是极大值(极小值的情形可类似地证明).根据极大值的定义,在x0的某个去心邻域内,对于任何点x,f(x)<f(x0)均成立.于是当x<x0时,因此f¢(x0);当x>x0时,因此;从而得到f¢(x0)=0.简要证明假定f(x0)是极大值.根据极大值的定义,在x0的某个去心邻域内有f(x)<f(x0).于是,同时,从而得到f¢(x0)=0.驻点:使导数为零的点(即方程f¢(x)=0的实根)叫函数f(x)的驻点.定理１就是说:可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点.但的过来,函数f(x)的驻点却不一定是极值点.考察函数f(x)=x3在x=0处的情况.定理２(第一种充分条件)设函数f(x)在点x0的一个邻域内连续,在x0的左右邻域内可导.(1)如果在x0的某一左邻域内f¢(x)>0,在x0的某一右邻域内f¢(x)<0,那么函数f(x)在x0处取得极大值;(2)如果在x0的某一左邻域内f¢(x)<0,在x0的某一右邻域内f¢(x)>0,那么函数f(x)在x0处取得极小值;(3)如果在x0的某一邻域内f¢(x)不改变符号,那么函数f(x)在x0处没有极值.定理２¢(第一种充分条件)设函数f(x)在含x0的区间(a,b)内连续,在(a,x0)及(x0,b)内可导.(1)如果在(a,x0)内f¢(x)>0,在(x0,b)内f¢(x)<0,那么函数f(x)在x0处取得极大值;(2)如果在(a,x0)内f¢(x)0,在(x0,b)内f¢(x)0,那么函数f(x)在x0处取得极小值;(3)如果在(a,x0)及(x0,b)内f¢(x)的符号相同,那么函数f(x)在x0处没有极值.定理2(第一充分条件)设函数f(x)在x0连续且在x0的某去心邻域(x0x0)(x0x0)内可导(1)如果在(x0x0)内f¢(x)>0,在(x0x0)内f¢(x)<0,那么函数f(x)在x0处取得极大值;(2)如果在(x0x0)内f¢(x)0,在(x0x0)内f¢(x)0,那么函数f(x)在x0处取得极小值;(3)如果在(x0x0)及(x0x0)内f¢(x)的符号相同,那么函数f(x)在x0处没有极值.定理2也可简单地这样说:当x在x0的邻近渐增地经过x0时,如果f¢(x)的符号由负变正,那么f(x)在x0处取得极大值;如果f¢(x)的符号由正变负,那么f(x)在x0处取得极小值;如果f¢(x)的符号并不改变,那么f(x)在x0处没有极值(注:定理的叙述与教材有所不同).确定极值点和极值的步骤:(1)求出导数f¢(x);(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点;(3)列表判断(考察f¢(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况,以便确定该点是否是极值点,如果是极值点,还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值);(4)确定出函数的所有极值点和极值.例1求函数的极值解(1)f(x)在()内连续除x1外处处可导且(2)令f(x)0得驻点x1x1为f(x)的不可导点(3)列表判断x(1)1(11)1(1)f(x)不可导0f(x)↗0↘↗(4)极大值为f(1)0极小值为定理3(第二种充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f¢(x0)=0,f¢¢(x0)¹0,那么(1)当f¢¢(x0)<0时,函数f(x)在x0处取得极大值;(1)当f¢¢(x0)>0时,函数f(x)在x0处取得极小值;证明在情形(1),由于f¢¢(x0)<0,按二阶导数的定义有.根据函数极限的局部保号性,当x在x0的足够小的去心邻域内时,.但f¢(x0)=0,所以上式即.从而知道,对于这去心邻域内的x来说,f¢(x)与x-x0符号相反.因此,当x-x0<0即x<x0时,f¢(x)>0;当x-x0>0即x>x0时,f¢(x)<0.根据定理2,f(x)在点x0处取得极大值.类似地可以证明情形(2).简要证明在情形(1),由于f¢¢(x0)<0,f¢(x0)=0,按二阶导数的定义有.根据函数极限的局部保号性,在x0的某一去心邻域内有.从而在该邻域内,当x<x0时,f¢(x)>0;当x>x0时,f¢(x)<0.根据定理2,f(x)在点x0处取得极大值.定理3表明,如果函数f(x)在驻点x0处的二导数f¢¢(x0)¹0,那么该点x0一定是极值点,并且可以按二阶导数f¢¢(x0)的符来判定f(x0)是极大值还是极小值.但如果f¢¢(x0)=0,定理3就不能应用.讨论:函数f(x)=-x4,g(x)=x3在点x=0是否有极值？提示f(x)4x3,f(0)0f(x)12x2,f(0)0.但当x0时f(x)0,当x0时f(x)0,所以f(0)为极小值.g(x)3x2,g(0)0g(x)6x,g(0)0.但g(0)不是极值．例2求函数f(x)=(x2-1)3+1的极值.解(1)f¢(x)=6x(x2-1)2.(2)令f¢(x)=0,求得驻点x1=-1,x2=0,x3=1.(3)f¢¢(x)=6(x2-1)(5x2-1).(4)因f¢¢(0)=6>0,所以f(x)在x=0处取得极小值,极小值为f(0)=0.(5)因f¢¢(-1)=f¢¢(1)=0,用定理3无法判别.因为在-1的左右邻域内f¢(x)<0,所以f(x)在-1处没有极值;同理,f(x)在1处也没有极值.二、最大值最小值问题在工农业生产、工程技术及科学实验中,常常会遇到这样一类问题:在一定条件下,怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题,这类问题在数学上有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.极值与最值的关系:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则函数的最大值和最小值一定存在.函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得,如果最大值不在区间的端点取得,则必在开区间(a,b)内取得,在这种情况下,最大值一定是函数的极大值.因此,函数在闭区间[a,b]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者.同理,函数在闭区间[a,b]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者.最大值和最小值的求法:设f(x)在(a,b)内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为x1,x2,×××,xn,则比较f(a),f(x1),×××,f(xn),f(b)的大小,其中最大的便是函数f(x)在[a,b]上的最大值,最小的便是函数f(x)在[a,b]上的最小值.例3求函数f(x)|x23x2|在[34]上的最大值与最小值解在(34)内f(x)的驻点为不可导点为x1和x2由于f(3)20f(1)0f(2)0f(4)6比较可得f(x)在x3处取得它在[34]上的最大值20在x1和x2处取它在[34]上的最小值0例4工厂铁路线上AB段的距离为100km.工厂C距A处为20km,AC垂直于AB.为了运输需要,要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路.已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5.为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省,问D点应选在何处？解设AD=x(km),则DB=100-x,.设从B点到C点需要的总运费为y,那么y=5k×CD+3k×DB(k是某个正数),即+3k(100-x)(0£x£100).现在,问题就归结为:x在[0,100]内取何值时目标函数y的值最小.先求y对x的导数:.解方程y¢=0,得x=15(km).由于y|x=0=400k,y|x=15=380k,,其中以y|x=15=380k为最小,因此当AD=x=15km时,总运费为最省.例2¢工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km,A点到火车站B的距离为100km.欲修一条从工厂到铁路的公路CD.已知铁路与公路每公里运费之比为3:5.为了使火车站B与工厂C间的运费最省,问D点应选在何处？解设AD=x(km),B与C间的运费为y,则y=5k×CD+3k×DB(0£x£100),其中k是某一正数.由=0,得x=15.由于y|x=0=400k,y|x=15=380k,,其中以y|x=15=380k为最小,因此当AD=x=15km时,总运费为最省.注意:f(x)在一个区间(有限或无限,开或闭)内可导且只有一个驻点x0,并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点,那么,当f(x0)是极大值时,f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值;当f(x0)是极小值时,f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值.f(f(x0)Oax0bxy=f(x)yf(x0)Oax0bxy=f(x)y应当指出,实际问题中,往往根据问题的性质就可以断定函数f(x)确有最大值或最小值,而且一定在定义区间内部取得.这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点x0,那么不必讨论f(x0)是否是极值,就可以断定f(x0)是最大值或最小值.dhb例6把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁.问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量W()dhb解b与h有下面的关系:h2=d2-b2,因而(0<b<d).这样,W就是自变量b的函数,b的变化范围是(0,d).现在,问题化为:b等于多少时目标函数W取最大值？为此,求W对b的导数:.解方程W¢=0得驻点.由于梁的最大抗弯截面模量一定存在,而且在(0,d)内部取得;现在,函数在(0,d)内只有一个驻点,所以当时,W的值最大.这时,,即..解:把W表示成b的函数:(0<b<d).由,得驻点.由于梁的最大抗弯截面模量一定存在,而且在(0,d)内部取得;现在函数W在(0,d)内只有一个驻点,所以当时,抗弯截面模量W最大这时§3.8函数图形的描绘描绘函数图形的一般步骤:(1)确定函数的定义域,并求函数的一阶和二阶导数;(2)求出一阶、二阶导数为零的点,求出一阶、二阶导数不存在的点;(3)列表分析,确定曲线的单调性和凹凸性;(4)确定曲线的渐近性;(5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它点;(6)联结这些点画出函数的图形.例1.画出函数yx3x2x1的图形.解(1)函数的定义域为(,),(2)f(x)3x22x1(3x1)(x1),f(x)6x22(3x1).f(x)0的根为x1/3,1;f(x)0的根为x1/3.(3)列表分析:x(,1/3)1/3(1/3,1/3)1/3(1/3,1)1(1,)f(x)00f(x)0f(x)↗极大↘拐点↘极小↗(4)当x时,y;当x时,y.(5)计算特殊点:f(1/3)32/27,f(1/3)16/27,f(1)0,f(0)1;f(1)0,f(3/2)5/8.(6)描点联线画出图形:例2.作函数的图形.解:(1)函数为偶函数,定义域为(,),图形关于y轴对称.(2),.令f(x)0,得x0;令f(x)0,得x1和x1.(3)列表:x(,1)1(1,0)0(0,1)1(1,)f(x)＋＋0－－f(x)＋0－－0＋yf(x)↗拐点↗极大值↘拐点↘(4)曲线有水平渐近线y0.(5)先作出区间(0,)内的图形,然后利用对称性作出区间(,0)内的图形.例3.作函数的图形.解(1)函数的定义域为(,3)(3,).(2),.令f(x)0得x3,令f(x)0得x6.(3)列表分析x(,3)(3,3)3(3,6)6(6,)f(x)0f(x)0f(x)↘↗4极大↘11/3拐点↘(4)x3是曲线的铅直渐近线,y1是曲线的水平渐近线.(5)计算特殊点的函数值f(0)=1,f(1)8,f(9)8,f(15)11/4.(6)作图.§3.9曲率一、弧微分设函数f(x)在区间(a,b)内具有连续导数.在曲线yf(x)上取固定点M0(x0,y0)作为度量弧长的基点,并规定依x增大的方向作为曲线的正向.对曲线上任一点M(x,y),规定有向弧段的值s（简称为弧s）如下:s的绝对值等于这弧段的长度,当有向弧段的方向与曲线的正向一致时s>0,相反时s<0.显然,弧s是x的函数:ss(x),而且s(x)是x的单调增加函数.下面来求s(x)的导数及微分.设x,x为(a,b)内两个邻近的点,它们在曲线yf(x)上的对应点为M,N,并设对应于x的增量x,弧s的增量为s,于是,,因为1,又y,因此.由于ss(x)是单调增加函数,从而>0,.于是dsdx.这就是弧微分公式.因为当x®0时,s~,x又s与同号,所以因此这就是弧微分公式.二、曲率及其计算公式曲线弯曲程度的直观描述:设曲线C是光滑的,在曲线C上选定一点M0作为度量弧s的基点.设曲线上点M对应于弧s,在点M处切线的倾角为,曲线上另外一点N对应于弧s+s,在点N处切线的倾角为+.我们用比值,即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度.记,称为弧段MN的平均曲率.记,称K为曲线C在点M处的曲率.在=存在的条件下,.曲率的计算公式:设曲线的直角坐标方程是y=f(x),且f(x)具有二阶导数（这时f¢(x)连续,从而曲线是光滑的）.因为tan=y¢,所以sec2d=y¢¢dx,.又知ds=dx,从而得曲率的计算公式.例1.计算直线yaxb上任一点的曲率.例2.计算半径为R的圆上任一点的曲率.讨论:1.计算直线yaxb上任一点的曲率.提示:设直线方程为yax+b,则y¢a,y¢¢0.于是K0.2.若曲线的参数方程为x(t),y(t)给,那么曲率如何计算？提示.3.计算半径为R的圆上任一点的曲率.提示圆的参数方程为xRcostyRsint例1.计算等双曲线xy1在点(1,1)处的曲率.解由,得,.因此y|x11,y|x12.曲线xy1在点(1,1)处的曲率为.例4抛物线y=ax2+bx+c上哪一点处的曲率最大？解:由y=ax2+bx+c,得y¢=2ax+b,y¢¢=2a,代入曲率公式,得.显然,当2ax+b=0时曲率最大.曲率最大时,x=-,对应的点为抛物线的顶点.因此,抛物线在顶点处的曲率最大,最大曲率为K=|2a|.三、曲率圆与曲率半径设曲线在点M(x,y)处的曲率为K(K¹0)在点M处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点D,使|DM|K1.以D为圆心,为半径作圆,这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆,曲率圆的圆心D叫做曲线在点M处的曲率中心,曲率圆的半径叫做曲线在点M处的曲率半径.设曲线在点M处的曲率为K(K¹0),在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M且半径为K1的圆,则这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆,其圆心叫做曲率中心,其半径叫做曲率半径.曲线在点M处的曲率K(K¹0)与曲线在点M处的曲率半径有如下关系:=,K=.例3设工件表面的截线为抛物线y=0.4x2.现在要用砂轮磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适？解砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径.y¢=0.8x,y¢¢=0.8,y¢|x=0=0,y¢¢|x=0=0.8.把它们代入曲率公式,得=08.抛物线顶点处的曲率半径为K1=125.所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长,即直径不得超过2.50单位长.修改病句教案中考语文专题复习之修改病句教案一、导入:修改病句是连云港市语文中考的必考题型。请同学们看2021年连云港的中考试题。(看投影)请同学们一起读题目要求，然后说说这种题型主要考查的是什么,辨析病句、修改病句的能力。二、考点说明2021年的考试说明中也明确指出两点:(看投影)1.能准确辨识病句;2.能准确修改病句。虽说在中考中修改病句的分值仅仅为3分，然而这3分却是同学们较难掌握的知识点，容易丢分的地方。这就要求我们首先掌握常见的病句类型，在能够准确辨析病句类型的前提下，才能对病句做出适当的修改。因此这节课让我们一起来探寻病句修改的方法，希望在中考中能减少在这方面的丢分。三、什么是病句,